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26.1.3 二次函数的图象

发布时间:2014-01-05 12:44:33  

y ? x2

y ? 2 x2

8
6

4
2 -4 -2 2

y?

1 2 x 2

4

二次函数y=ax2的性质
y=ax2 图象 开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点(0,0) 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点 a>0 a<0

开口
对称性

顶点
增减性

2 2 例2 在同一直角坐标系中,画出二函数 y ? x ? 1, y ? x ? 1 的图象. 解:先列表:

x

·· -3 ·

-2 5 3 10 8 6

-1 2 0

0 1 -1

1 2 0

2 5 3

3 10 8

·· · ·· ·

· y = x2+1 ·· 10

· y = x2-1 ··

8

·· ·

y ? x2 y = x2+1

4
2 y = x2-1 -4 -2 -2 2 4

(1)抛物线 y ? x ? 1, y ? x ? 1 的开口方向、对 称轴、顶点各是什么? 开口方向都向上,对称轴为y轴, y = x2+1的顶点坐标是 (0,1), y = x2-1的顶点坐标是(0,-1)
2 2

(2)抛物线 y ? x ? 1, y ? x ? 1 与抛物线 如右图所示
2 2

y ? x 2 有什么关系?
10 8 6 4 2
y ? x2

10 8 6 4 2 y = x2+1

y ? x2

y = x2+1

y = x2-1
-4

y = x2-1
-4

-2
-2

2

4

-2
-2

2

4

抛物线y=x2+1,y=x2-1与抛物线y=x2的关系:

抛物线y=x2 向上平移 抛物线 y=x2+1
抛物线y=x2

1个单位 向下平移 抛物线 y=x2-1 1个单位
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y

y=x2+1
y=x2

y=x2-1
x

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

把抛物线y = 2x2向上平移5个单位,会得到哪条抛物线?向下平移3.4 个单位呢?
y ? 2x2 ? 5

8

6
4 2 -4 -2 -2 -4 2

y ? 2 x2

4
y ? 2 x 2 ? 3.4

一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

x

抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下 平移|k|得到.

(k>0,向上平移;k<0向下平移.)

二次函数y=ax2+k的性质
y=ax2+k 图象 a>0 a<0

开口 对称性 顶点

开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 关于y轴对称
(0,k)

顶点是最低点

顶点是最高点

增减性

在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减

二次函数y=ax2+k的性质
y=ax2+k 图象 a>0 a<0

开口 对称性

开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 关于y轴对称
(0,k)

顶点

顶点是最低点

顶点是最高点

增减性

在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减

(1)抛物线y= ?2x2+3的顶点坐标是 是 ,在___

,对称轴

侧,y随着x的增大而 ,它是由抛物线y=

增大;在

侧,y随着x的增大而减小,当x= _____

时,函数y的值最大,最大值是

?2x2线怎样平移得到的__________.
( 2)抛物线 y=4x2 的顶点坐标是____,对称轴是 -5 ____,在对称轴的左侧,y随着x的 ;在对称 轴的右侧,y随着x的 ,当x=_

___时,函数y的 值最___,最小值是 .

练习
在同一直角坐标系中,画出下列二处函数的图象:

1 2 1 2 1 2 y ? x , y ? x ? 2, y ? x ? 2 2 2 2
观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方

1 2 向、对称轴及顶点.你能说出抛物线 y ? x ? k 2
的开口方向、对称轴及顶点吗?它与抛物线 有什么关系?

1 2 y? x 2

小结:二次函数y=ax2+k的性质
y=ax2+k 图象 a>0 a<0

开口 对称性 顶点

开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 关于y轴对称
(0,k)

顶点是最低点

顶点是最高点

增减性

在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减


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