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第三章 整式及其加减单元复习

发布时间:2014-01-05 14:37:13  

《整式的加减》复习课

知识结构:
系数 单项式 整式的概念 多项式 整式的加减 次数 项,项数,常数项, 最高次项 次数 同类项与合并同类项 去括号 化简求值 用字母来表示生活中的量

整式的计算

数字或字母的乘积 定义: 由_________________组成的式子。 一个数 一个字母 单独的______或________也是单项式。 单项式: 数字因数 系数: 单项式中的_________。 所有字母的指数和 次数: 单项式中的__________________.

注意的问题: 1.当单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写。 2.当式子分母中出现字母时不是单项式。 3.圆周率π是常数,不要看成字母。 4.当单项式的系数是带分数时,通常写成假分数。 5.单项式的系数应包括它前面的性质符号。 6.单项式次数是指所有字母的指数的和,与数字的次数没 有关系。

7.单独的数字不含字母, 规定它的次数是零次.

单项式的和 定义:几个__________. 每一个单项式 项: 组成多项式中的_____________. 多项式 几项式 有几项,就叫做_________. 不含字母的项 常数项:多项式中_______________. 多项式中次数最高的项的次数。 多项式的次数: _________________________. 注意的问题: 1.在确定多项式的项时,要连同它前面的符号, 2.一个多项式的次数最高项的次数是几,就说这个多项式是几次 多项式。 3.在多项式中,每个单项式都是这个多项式的项,每一项都有系 数,但对整个多项式来说,没有系数的概念,只有次数的概念。

同类项的定义:
字母 1.____相同, (两相同) 相同的字母的指数也 2._________________相同。 系数 1.与____无关 (两无关) 字母的位置 2.与__________无关。 同类项。 注意:几个常数项也是______ 合并同类项概念: 把多项式中的同类项合并成一项 _________________________. 合并同类项法则: 系数 1.______相加减; 2._________________不变。 字母和字母的指数

同类项

③⑤⑥ 1.下列各式中,是同类项的是:___________
3 2 ① 2x y 与 x y

2

3

2 ② ? x yz 与? x y

2

2 ③10mn与 mn 3

④ (? a ) 与 (?3)
5

5

? 3x 2 y 与 0.5 yx2 ⑤

⑥-125与 ?

2 x 3 y n 与? x m y 2 是同类项,则m+n=___. 5 2.若

3.若 x ?

a ?6

y

a?4

ab 4 与 3x y 的和是一个单项式,则 =___.
4 b

-4 4.若 2a 3? mb5 ? pa4b n?1 ? ?7b5a 4 ,则m+n-p=______

整式的加减混合运算步骤(有括号先去括号) 一:去括号 (按照先小括号,再中括号,最后大括号的顺序) 1.如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各 项的符号与原来的符号相同。 2.如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各 项的符号与原来的符号相反。 “去括号,看符号。是‘+’号,不变号,是‘-’号,全变号” 二:计

算 1.找同类项,做好标记。 找 2.利用加法的交换律和结合律把同类项放在一起。 放 3.利用乘法分配律计算结果。 并 排 4.按要求按“升”或“降”幂排列。

易错点总结:

一、概念中的易错题 二、运算中的易错题

1,单项式的定义 例1,下列各式子中,是单项式的有 ①、②、④、⑦ ______________(填序号)
1 2? x?1 x ①a; ② ? ; ③x ? y; ④xy; ⑤ ;⑥ ;⑦ ; 2 x 2 ?
注意:1,单个的字母或数字也是单项式; 2,用加减号把数字或字母连接在一起 的式子不是单项式; 3,只用乘号把数字或字母连接在一起 的式子仍是单项式; 4,当式子中出现分母时,要留意分母里有 没有字母,有字母的就不是单项式,如 果分母没有字母的仍有可能是单项式 (注:“π”当作数字,而不是字母)

2,单项式的系数与次数

例2 指出下列单项式的系数和次数; 单项式
系数 次数
?a
?1 1
ab2 ? 3
1 ? 3

a 2 bc 3

?a 2 b 3

1
6

3

? 7 5

7

22 x 2 y

4
3

注意:1,字母的系数“1” 可以省略的,但不代表没有系 数(次数也是同样道理); 2,有分母的单项式,分母中的数字也是单项式系 数的一部分; 3,注意“π”不是字母,而是数字,属于系数的一 部分; 4,计算次数的时候并不是简单的见到指数就相 加,注意单项式的次数指的是字母的指数和;

3,多项式的项数与次数

例3 下列多项式次数为3的是( C )
A. ? 5 x ? 6 x ? 1 C .a 2 b ? ab ? b 2
2

B.?x ? x ? 1
2

D. x 2 y 2 ? 2 x 3 ? 1

注意(1)多项式的次数不是所有项的次数的和,而是它的最高 次项次数; (2)多项式的每一项都包含它前面的符号; (3)再强调一次, “π”当作数字,而不是字母 例4 请说出下列各多项式是几次几项式,并写出多项式的最高 次项和常数项;
3
3 2 2

四 三 (1)2 5 ? x 2 y ? xy 3是 _____次 _____项式,最高次项是 ? xy ,常数项是_________ _________ 2 ;
5
3

x2 y2 1 ? ?x ? x y ? 1 四 三 ( 2) 是 _____次 _____项式,最高次项是 _________ ; 3 ,常数项是_________ 3

4,书写格式中的易错点

例5 下列各个式子中,书写格式正确的是( F)
A.a ? b D.a 3 1 B . ? 1 ab 2 C .a ? 3 a 2b F. ? 3

E . ? 1ab

1、代数式中用到乘法时,若是数字与数字乘,要用“×” 若是数字与字母乘,乘号通常写成”.”或省略不写,如 3×y应写成3· y或3y,且数字与字母相乘时,字母与 字母相乘,乘号通常写成“·”或省略不写。 2、带分数与字母相乘,要写成假分数 3、代数式中出现除法运算时,一般用分数写,即用分数 线代替除号。 4、系数一般写在字母的前面,且系数“1”往往会省略;

例6 王强班上有男生m人,女生比男生的一半多5

人,王强班上的总人数(用m表示)为______人。
1 易错点:结果不进行化简,直接写(m ? m ? 5). 2
1 点拨:结果中有 m, 2 m, 它们是同类项,应合并 3 以保证最后的结果最简.正确的写法是 ( m ? 5). 2

1,同类项的判定与合并同类项的法则: 例1 判断下列各式是否是同类项?
(1)2a b 与2 x y
2 3 2 3 2 3 2 3

( 2) ? 102与2
2

2 2

( 3)2 x y 与3 y x

(4)2 x y与 ? 3 yx

点拨:对于(1)、(3),考察的是同类项的定义,所含字母相同,相 同字母的指数也相同的称为同类项;所以(1)、(3)不是同类项; 对于(2),虽然好像它们的次数不一样,但其实它们都是常 数项,所以,它们都是同类项; 对于(4),虽然它们的系数不同,字母的顺序也不同,但它 依然满足同类项的定义,是同类项;

答:(2)、(4)是同类项,(1)(3)不是同类项;

例2 下列合并同类项的结果错误的 ①、②、③、④、⑤ 有_______________. 注意:1,合并同类项 ① 3a 2 ? 2a 3 ? 5a 5 ; 的法则是把同类项的系 ②2 x ? 4 x ? 6 x 2 ; 数相加,字母和字母的 ③ 7ab ? 2ab ? 5; 次数不变; ④ ? 3ab ? 2ab ? ?1ab; 2,合并同类项后 1 2 2 1 2 ⑤3 x ? x ? 2 x ; 也要注意书写格式; 2 2 3,如果两个同类 ⑥ ? ab 2 ? b 2 a ? 0; 项的系数互为相反数, 那么合并同类项后,结 果得____; 0

例3 合并同类项:
小明的解法:
1 2 3 2 (1)3 x y ? 2 xy ? xy ? yx 3 2
2 2

( 2)3a ? a-b-2b 2-a+b ? 2b 2

1 3 2 (1)解:原式=3 ? 2 ? ? ) x y ( 3 2 1 =? x2 y 6 (1)错在把所有项都当作同类项了;
正确的解法:

3 2 2 1 (1)解:原式=3 x y ? yx ) ? ( ?2 xy ? xy 2 ) ( 2 3 3 5 = x 2 y ? xy 2 2 3
2

例3 合并同类项:
小明的解法:
1 2 3 2 (1)3 x y ? 2 xy ? xy ? yx 3 2
2 2

( 2)3a ? a-b-2b 2-a+b ? 2b 2

( 2)解:原式=3a ? a ? a ) ? (b ? b) ? ( 2b 2 ? 2b 2 ) (

=a ? 2b
(2)错在把结合同类项时弄错了符号;
正确的解法:
( 2)解:原式=3a ? a ? a ) ? ( ? b ? b) ? ( ?2b 2 ? 2b 2 ) (

=a ? 4b 2

总之,合并同类项现要找出式子中的同类项,并把它们写在一起, 最后合并,注意同类项的系数是带符号的。

2,去括号中的易错题:

1,判断下列各式是否正确:

(1)a ? (b ? c ? d ) ? a ? b ? c ? d (2)c ? 2(a ? b) ? c ? 2a ? b 3 2 3 2 3 ( 3 ) x ? ( x ? 2) ? x ? x ? 4 4 2 (4) ? (a ? b ? c ) ? ?a ? b ? c

(×)
(×) (×) (√ )

去括号时,1,注意括号外面的符号,括号前面是“+”号,把括号和 它前面的“+”号去掉,括号里各项都不用变符号;括号前面是“—” 号,把括号和它前面的“—”号去掉,括号里各项都改变符号。 2,注意外面有系数的,各项都要乘以那个系数;


练一练: 1,化简下列各式:

(1)( 3 x ? 2 x ? 1) ? ( ? x ? x ? 3) ( 2)( 2a b ? 2ab ) ? 3(a b ? 2ab )
解: )原式= x 2 ? 3 x ? 2 (1 4 ( 2)原式=? a 2 b ? 4ab 2
2 2 2 2

2

2

整式的加减一般步骤是(1)如果有括号就先去括号,(2)然后再合 并同类项.

4,多重括号化简的易错题

1, 化简 : 3 x ? [2 x ? 3( x ? 1) ? 2 x ]
2 2 2

解:原式= x ? [2 x ? 3 x ? 3 ? 2 x ] 3

2

2

2

=3 x ? 2 x ? 3 x ? 3 ? 2 x
2 2 2

2

2

2

=( 3 x ? 3 x ? 2 x ) ? 2 x ? 3

=4 x ? 2 x ? 3
注意:有多重括号的,一般先去小括号,再去中括号,最后再去 大括号;

2

3,化简求值中的易错题:

1 1, 求多项式 ( x ? 4 x ? 1) ? ( 3 x 3 ? 4 x 2 ? 6)的值,其中 ? ?2; 3 x 3 2 3 4 2 解:原式= x ? 12 x ? 3 ? x ? x ? 2 (先去括号) 3
2

3

(合并同类项,化简完成) 当x=-2时 (代入)
3

4 2 (降幂排列) = ? x ? 3 x ? x ? 12 x ? 3 ? 2 3 3 5 2 = ? x ? x ? 12 x ? 1 3
3 2

5 原式=? ( ?2) ? ? ( ?2) 2 ? 12 ? ( ?2) ? 1 3 20 =8 ? ? 24 ? 1 (代入时注意添上括号,乘号 3 改回“×”) 2 =39 3

1.去掉下列各式中的括号。 =8m-3n-5 (1)8m-(3n+5) =n-12+8m (2)n-4(3-2m) =2a-4b-6m+3n (3)2(a-2b)-3(2m-n) 2.化简: -(3x-2y+z)-[5x-(x-2y+z)-3x] 解:原式= -(3x-2y+z)-[5x-x+2y-z-3x] =-(3x-2y+z)-[(5x-x-3x)+2y-z] =-(3x-2y+z)-[x+2y-z] =-3x+2y-z-x-2y+z =(-3x-x)+(2y-2y)+(-z+z) =-4x

1,“A+2B”类型的易错题: 例1 若多项式 A ? 3 x 2 ? 2 x ? 1, B ? ?2 x 2 ? x ? 1; 计 算多项式A-2B;

解:A ? 2 B ? ( 3 x 2 ? 2 x ? 1) ? 2( ?2 x 2 ? x ? 1)

? 3x2 ? 2x ? 1 ? 4x2 ? 2x ? 2 ? 3x ? 4x ? 2x ? 2x ? 1 ? 2 ? 7x ? 4x ? 1
注意:列式时要先加上括号,再去括号;

2

2

2

例2 一个多项式A加上 3 x 2 ? 5 x ? 2 得 2 x 2 ? 4 x ? 3 ,求 这个多项式A?

解:因为 ? ( 3 x ? 5 x ? 2) ? 2 x ? 4 x ? 3 A
所以A ? 2 x ? 4 x ? 3 ? ( 3 x ? 5 x ? 2)
2 2

2

2

A ? 2x2 ? 4x ? 3 ? 3x2 ? 5x ? 2 A ? 2x ? 3x ? 4x ? 5x ? 3 ? 2 A ? ?x ? x ? 1
注意:我们在移项的时候是整体移项,不要漏了添上 括号;

2

2

2

2,实际问题中的易错题: 例1 某种手机卡的市话费上次已按原收费标准降低了m元/分钟, 现在再次下调20%,使收费标准为n元/分钟,那么原收费标准为 ( ). B

5 A.( n ? m )元 / 分钟 4 1 C .( n ? m )元 / 分钟 5

5 B .( n ? m )元 / 分钟 4 1 D.( n ? m )元 / 分钟 5

点拨:为了弄清各数之间的关系,我们可以借助方程来求 解.假设原收费标准为每分钟x元,可得: 解得 .应选B. 5 (1 ? 20% )(x ? m ) ? n, x ? n?m 4

例2 若长方形的一边长为a+2b,另一边长比它的3倍少a-b,求 这个

长方形的周长? 分析:如果直接列式的话,非常麻烦,我们可以先求出 另一边长,再求周长,这样就比较容易求出答案; 解:一边长为:a+2b; 另一边长为:3(a+2b)-(a-b) =3a+6b-a+b =3a-a+6b+b =2a+7b; 周长为:2(a+2b+2a+7b) =2(a+2a+2b+7b) =2(3a+9b) =6a+18b; 答:长方形的周长为6a+18b

4.已知数a,b在数轴上的位置如图所示 a 化简下列式子: 0 b

a ? 2 a ? b ? 3b ? a

解:由题意知:a<0,b>0且|a|>|b| ∴原式=-a-2[-(a+b)]-3(b-a) =-a+2[a+b]-3b+3a =-a+2a+2b-3b+3a =(-a+2a+3a)+(2b-3b) =4a-b

补充两题:
1.指出下各式的关系(相等、相反数、不确定):
(1) a-b与b-a (3) –(a-b)与b-a (2) -a-b与-(b-a) (4) –(a-b)与b-a

2. 若3 x ? 2 x ? 3的值是9,
2

则9 x 2 ? 6 x ? 7的值是

从错误中吸取教训, 从失败中取得进步, 完善完整知识网络, 我将会成为最棒的!

补充例题:
2 3.求当x= 3

时,多项式
2 2

解:原式=

1 1 的值。 2 (2 x ? x ? 1) ? ( x ? x ? ) ? (3x ? 3 ) 3 3

2x2 ? x ?1 ? x2 ? x ?
2

=(2 x 2 ? x 2 ? 3x 2 ) ? (? x ? x) ? (?1 ? 1 ? 3 1 )
2 把x= 3

1 1 ? 3x 2 ? 3 3 3

3 4x 2 ? 4 ? 4 ? ( )2 ? 4 ? 5 带入 4 x ? 4中,得 2
2

= 4x ? 4

3

3

∴ 原式=5

ax3 ? bx ? 2 ? 3; 则当x=-1时,ax3 ? bx ? 2 ? ____ 5.当x=1时,
ax3 ? bx ? 2 ? 3 中得: 解:将x=1代入

a+b-2=3 ∴ a+b=5;
当x=-1时 ax3 ? bx ? 2 =-a-b-2 =-(a+b)-2 =-5-2 =-7

2 2 2 6.已知多项式A=3x ? 5 xy ,B= ? 3xy ? 3x ,C= 8 x ? 5 xy

求 2A-5B+3C=? 解:原式= =
2(3x 2 ? 5 xy) ? 5(?3xy ? 3x 2 ) ? 3(8 x 2 ? 5 xy)

6 x 2 ? 10 xy ? 15 xy ? 15 x 2 ? 24 x 2 ? 15 xy
(6 x 2 ? 15 x 2 ? 24 x 2 ) ? (?10 xy ? 15 xy ? 15 xy)

=
=

45 x 2 ? 10 xy

(8x 2 ? 6ax ? 14) ? (8 x 2 ? 6 x ? 5) 的值与x 6.如果关于x的多项式

无关,则a的取值为_____. 1 解:原式=

8x 2 ? 6ax ? 14 ? 8x 2 ? 6 x ? 5

? (8 x 2 ? 8 x 2 ) ? (6ax ? 6 x) ? (14 ? 9)

由题意知,则:

? (6a ? 6) x ? 5

6a-6=0 ∴a=1

7.如果关于x,y的多项式 (mx 2 ? 2 xy ? x)与3x 2 ? 2nxy ? 3y) 的差 n m 的值。 不含有二次项,求 解:原式= (mx 2 ? 2 xy ? x) ? (3x 2 ? 2nxy ? 3 y)
? mx 2 ? 2 xy ? x ? 3x 2 ? 2nxy ? 3 y
? (m ? 3) x 2 ? (2 ? 2n) xy ? x ? 3 y

由题意知,则: m-3=0 2+2n=0 ∴m=3,n=-1; m (?1) 3=-1 ∴ n =


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