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与圆有关的位置关系

发布时间:2014-01-05 16:42:59  

复习课

本专题知识结构图:
与 圆 有 关 的 位 置 关 系
点和圆的位置关系 直线与圆的位置关系 圆和圆的位置关系
三角形外接圆 (圆的确定) 三角形内切圆 (切线的性质及判定)

一:点与圆的位置关系
.o .p r
点与圆的位 置关系 点在圆外 点在圆上

.o

.p

.o .p

点到圆心的距离d与圆的半径r 之间关系

点在圆内

d﹥r d=r d﹤r

二:直线与圆的位置关系
r l O ┐d r




O l

r



O

相交
直线l叫做___

d A┐ 相切
直线l叫做___

d

┐ 相离

l

点A叫做___

位置关系
相离 相切 相交

d与r的关系 d﹥ r d=r d﹤ r

交点个数 0

1 2

三:圆与圆的位置关系
交点个数
d R r

名称

d与R,r的关系

对称性
都 是 轴 对 称 图 形 , 其 对 称 轴 是 : 两 圆 连 心 线

0 1 2 1

外离 外切

d>R+r
d=R+r R-r< d < R+ r d=R-r

相交 内切 内含

0

d<R-r

时结 ,论 连 心: 线相 垂切 直时 平, 分切 两点 圆在 的连 公心 共线 弦上 。; 相 交

三:圆的确定(圆心,半径)
不在同一直线上 确定 ______的三点__一个圆

四:三角形的外接圆(如:⊙O)和内切圆(如:⊙I)
A A

O
B C B

I C

定义
三角形 的外心 三角形 的内心 三角形外接圆的圆心 叫三角形的外心 三角形内切圆的圆心 叫三角形的内心。

实质
三角形三边垂直平分 线的交点 三角形三内角角平分 线的交点

性质
到三角形各顶点的距离 相等 到三角形各边的距离 相等

1.有两个同心圆,半径分别为8和5,P是圆环内一点,则op的取值范围是 5<op <8 ____. 2.已知⊙O和⊙P的半径分别为5和2,OP=3,则⊙O和⊙P的位置 关系 是( D ) A、外离 B、外切 C、相交 D、内切 3.两圆相切,圆心距为10cm,其中一个圆的半径为6cm,则另一个圆的半径 4cm或16cm 为________. 4.已知⊙O的半径为5 cm,直线l上有一点Q且OQ =5cm,则直线l与⊙O的位置 关系是( D ) A、相离 B、相切 C、相交 D、相切 或相交 5.某市有一块由三条马路围成的三角形 A 绿地,现准备在其中建一小亭供人们小憩, 使小亭中心到三条马路的距离相等, B 试确定小亭的中心位置。

C

五:切线的判定与性质
(一)切线的判定方法:
方法 距离 法 判定 定理 具体内容
圆心到直线的距离等于 圆的半径,则此直线是 圆的切线 过半径的外端且垂直于 半径的直线是圆的切线

适用情况
交点A不明确: 作OA⊥CD于A,证OA=r即可 交点A明确: 连OA,证OA⊥CD即可

(二)切线的性质
性质
数量方面 位置方面 具体内容
直线与圆相切,则圆心到 直线的距离等于圆的半径 切线垂直于过切点的半径


O C A D

1.如图1,△ABC中,AB=AC,O是BC的中 点, 以O为 圆心的圆与AB相切于点D, 求证:AC是圆

的切线 (距离法) 2.如图,AB是圆O的直径,圆O过AC的中点D,DE⊥BC于E. 证明:DE是圆O的切线. (判定定理)
A

C

D
E

D
? (图1) B

· O

A
C (图2)

. O

E B

七:切线长定理
从圆外一点向圆所引的两条切线长 相等;并且这一点和圆心的连线平分 两条切线的夹角. P 几何语言:若PA,PB切⊙O于A,B
?

A
1 2



O

则①PA=PB

②∠1=∠2

B

八:三角形的内切圆半径公式

A

r=2s÷L
直角三角形的内切圆半径公式
① r=(a+b-c) ÷2 ② r=ab ÷(a+b+c)

D


O


┗ F

九:圆环的面积公式

B

E

C

s=∏a2÷4

3 1.如图1中,圆O切PB于点B,PB=4,PA=2,则圆O的半径是____.
2. 如图2中,一油桶靠在墙AB的D处,量得BD的长为0.6m,并且 BC⊥AB,则这个油桶的直径为_ 1.2 _m 3.在直角三角形ABC中, ∠C=90度,AC=6,BC=8,则其外接圆 5 2 半径=___, 内切圆半径=___.
A B
O

A

.O
P C B

D

综合应用
1.如图4,⊙M与x轴相交于点A(2,0), B(8,0),与y轴相切于点C, 求圆心M的坐标.
y

C

M

N
O A 图4 B x

自然界中的数学
2.据报道 :我国探月“嫦娥计划”第一颗卫星“嫦娥一号” 已定于10 月24日发射.
听到这则新闻,大大激发了王坤同学爱好天文的热情.他通过上网查阅资料 了解到.地球和金星的运行轨道可以近似地看着以太阳为圆心的同心圆,且这两 个同心圆在同一平面上(如图所示).由于金星和地球运转速度不同,所以两 者的位置不断地发生变化: 当金星,地球距离最近时,此时叫“下合” 当金星,地球距离最远时,此时叫“上合” 在地球上观察金星的视线恰好与金星轨道相切时,此时分别叫“东大距” 和“西大距”. 已知地球与太阳相距约15(千万km),金星与太阳相距约10(千万km), 分别求“下合” ,“东大距”,“西大距”,“上合”时,金星与地球的距 C 地球轨道 离. (可用根号表示) A B
金星轨道

O
E

D

当堂检测

A

1、三角形的外接圆的圆心是( ), A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 2、三角形的内切圆的圆心是( ) A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 3、下列说法中正确的是( ). (A)若两圆没有公共点,则这两圆必外离 (B)若两圆只有一个公共点,则这两圆必外切 (C)若两圆有两个公共点,则这两圆必相交 (D)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则这两圆必相交 4、已知小圆半径是大圆半径的三分之一,两圆的圆心距是小圆半径的两倍, 那么这两圆的位置关系是( )。 (A)外切 (B)相交 (C)内切 (D)内含 5、两圆的半径之比为3∶2,当两圆外切时圆心距为10cm,那么当两圆

内含 时,圆心距为( ). (A)大于2cm且小于6cm (B)小于2cm (C)等于2cm (D)小于4cm

B 选做题
6、如右图,⊙O是△ABC 的内切圆, 与AB、BC、CA分别切于点D、E、F, ∠DOE=120°,∠EOF=150°, 求∠A= ,∠B= ,∠C= 。 7、在三角形ABC中,∠A=68°,点I是内心,则∠BIC= 8、如下图,已知∠AOB=30°,M为OA边上的一点,以M为圆心, 3cm为半径作⊙M,若点M在OA边上运动,则当OM= cm时, ⊙M与OB相切。 9、如下图,AB与⊙O相切,且⊙O半径为3cm,AB=6cm,则△ABO 的面积为 。
A M O 第5题 B



O A 第6题 B

C能力提高题
10、如图,在以O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O, 且与小圆相交于点A.与大圆相交于点B.小圆的切线AC与 大圆相交于点D,且CO平分∠ACB. (1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系,并说明理由; (2)试判断线段AC.AD.BC之间的数量关系,并说明理由;

(3)若
求大圆与小圆围成的圆环的面 积.(结果保留π)


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