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数学:第25章解直角三角形复习课件(华东师大版九年级上)

发布时间:2014-01-06 10:39:49  

解直角三角形的依据
1、三边之间的关系 锐角之间的关系

a2+b2=c2(勾股定理);
∠ A+ ∠ B= 90o


边角之间的关系(锐角三角函数)

a sinA = c
b cosA= c

c


a


tanA= a b

b

2、30°,45°,60°的三角函数值
30°
sina

45°

60°

1 2
3 2
3 3

2 2
2 2

3 2

300
450 450 ┌ 600

cosa

1 2
3



tana

1

计算下列各题

? 1 sin30


十 cOS45





tan6〇

0

2
3
4

6tan 30°-sin 60°-2sin 45°

c0t44· cot450· cot460

O

2sin30 ? 2cos 60 ? tan 45
? ?

?

概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念

(1)仰角和俯角
(2)坡度
tan α =

视线

h

l

α为坡角
h α

铅 垂 线

仰角
水平线 俯角
北 A

视线

(3)方位角
西

30° 东

l
B

O 45°


解直角三角形:(如图)
只有下面两种情况:

B c A b a

(1)已知两条边;

┌ C

1.已知a,b.解直角三角形(即求:∠A,∠B及C边)

(2)已知一条边和一个锐角

2. 已知∠A,a.解直角三角形 3.已知∠A,b. 解直角三角形
4. 已知∠A,c. 解直角三角形

题型1 三角函数 1. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4, 3 则sinA的值为_______. 5 2. 在Rt△ABC中,∠C =90°,BC=4,AC=3, 3 5 则cosA的值为______. 3. 如图1,在△ABC中,∠C =90°,BC=5, D) AC=12,则cosA等于(
2 5 12 12 A. , B. , C. , D. 12 13 5 13

【热点试题归类】

4. 如图2,在Rt△ABC中,∠ACB =90°, 5 , CD⊥AB于点D,已知AC= BC=2,那么sin∠ABC=( A )
A.

5. 如图3所示,AB是⊙O的直
径,弦AC、BD相交于E,则
A.tan∠AED C.sin∠AED


5 3

B.

2 3

C.

2 5 5

D.

5 2

CD AB

等于( D )

B.cot∠AED D.cos∠AED

6.计算: |- 2 |+(cos60°-tan30°)+ 8

3 2 ?1

1.如图4,在矩形ABCD中DE⊥AC于E, 设 3 ∠ADE=a, 且cosα = 5 , AB=4,则AD的长为( B ) A.3 2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标 如图5所示,它是由四个相同的直角三角形与中 间的小正方形拼成的一个大正方形.? 大正方形 若 的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形 的较长直角边为a,较短直角边为b, 则a+b的值为( B )
16 B. 3 20 C. 3 16 D. 5

题型2 解直角三角形

题型3 解斜三角形 1.如图6所示,已知:在△ABC中,∠A=60°, ∠B=45°,AB=8,? △ABC的面积(结果可 求 保留根号). 2.如图,海上有一灯塔P,在它周围3 海里处有暗礁,? 艘客轮以9海里/时 一 的速度由西向东航行,行至A点处测 得P在它的北偏东60°的方向,继续 行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔 P在它的北偏东45°方向,问客轮不 改变方向继续前进有无触礁的危险?

解:过C作CD⊥AB于D, , 设CD=x.在Rt△ACD中,cot60°=
∴AD=

在Rt△BCD中,BD=CD=x. ∴
3 x+x=8. 3

3 3

x.

AD CD

解得x=4(31 2

3 ).
1 2

∴S△

ABC=

AB· CD=

×8×4(3- 3 )

=16(3-

3)=48-16 3 .

2.解:过P作PC⊥AB于C点,据题意知:
2 AB=9× 6

=3,∠PAB=90°-60°=30°, ∠PBC=90°-45°=45°,∠PCB=90°. ∴PC=BC. 在Rt△APC中, PC PC PC ? ? tan30°= AC AB ? BC 3 ? PC ,



3 3

=

PC 3 3 ?3 , PC ? 3 ? PC 2



PC>3. ∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险.

3.如图,某校九年级3班的一个学生小组进行测 量小山高度的实践活动.部分同学在山脚点A测 得山腰上一点D的仰角为30°,并测得AD? 长度 的 为180米;另一部分同学在山顶点B测得山脚点A 的俯角为45°,山腰点D的俯角为60°.请你帮 助他们计算出小山的高度BC(计算过程和结果 都不取近似值).

3.解:如图设BC=x, 在Rt△ADF中,AD=180,∠DAF=30°, . 3 ∴DF=90,AF=90 ∵∠BAC=∠ABC=45°, ∴AC=BC=x. ∴BE=BC-EC=x-90. 在Rt△BDE中,∠BDE=60°, 3 3 ∴DE= 3 BE= 3(x-90). FC=AC-AF=x-90 3 . ∵DE=FC, 3 ∴ (x-90)=x-90 3 . 3 解得x=90
3

+90.

4.如图,在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角 为60°,铁塔底部B的仰角为45°.已知塔高 AB=20m,观察点E到地面的距离EF=35m,求 小山BD的高(精确到0.1m, 3 ≈1.732).

4.解:如图,过C点作CE⊥AD于C.
设BC=x,则EC=BC=x. 在Rt△ACE中,AC= 3 x,

∵AB=AC-BC, 即20= 3 x-x. 解得x=10 3 +10. ∴BD=BC+CD=BC+EF =10 3+10+35≈45+10×1.732≈62.3(m). 所以小山BD的高为62.3m.

题型4 应用举例

1.有人说,数学家就是不用爬树或把树砍倒就 能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树 的高(如图1),她测得CB=10米, ∠ACB=50°,请你帮助她算出树高AB约为 12 ________米.(注:①树垂直于地面;②供选 用数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64, tan50°≈1.2)

2.如图2,小华为了测量所住楼房的高度,他请 来同学帮忙,测量了同一时刻他自己的影长和 楼房的影长分别是0.5米和15米,已知小华的身 高为1.6米, 那么分所住楼房的高度 48 为________米. 3.如图3,两建筑物AB和CD 的水平距离为30米,从A点测 得D? 的俯角为30°,测得C 点 点的俯角为60°,则建筑物 20 3 CD的高为______米.

4.如图,花丛中有一路灯杆AB.在灯光下,小明 在D? 处的影长DE=3米,沿BD方向行走到达G 点 点,DG=5米,这时小明的影长GH=5米.? 果 如 小明的身高为1.7米,求路灯杆AB的高度(精确 到0.1米).

4.解:设AB=x米,BD=y米. 由△CDE∽△ABE得
CD DE 1.7 3 ? ,即 ? AB BE x 3? y.
FG GH 1.7 5 ? ,即 ? AB BE x 10 ? y

① 由△FGH∽△ABH得

. ② 由①,②得y=7.5,x=5.95≈6.0米. 所以路灯杆AB的高度约为6.0米.

5.如图,在两面墙之间有一个底端在A点的梯 子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点; 当它靠在另一

侧墙上时,梯子的顶端在D 点.已知∠BAC=?5°,∠DAE=45°,点D到 6 2 地面的垂直距离DE=3 m,求点B到地面的垂直距离BC
(精确到0.1m).

5.解:在Rt△ADE中,DE=3 2 , ∠DAE=45°, DE ∴sin∠DAE= AD , ∴AD=6. 又∵AD=AB, BC 在Rt△ABC中,sin∠BAC= AB , ∴BC=AB· sin∠BAC=6· sin65°≈5.4. 答:点B到地面的垂直距离BC约为5.4米.

6.如图,我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固 定,CD? 地面成40°夹角,且DB=5m,现要在 与 C点上方2m处加固另一条钢缆ED,那么EB的 高为多少米?(? 果保留三个有效数字) 结
6.解:在Rt△BCD中, ∠BDC=40°,DB=5m,BC ∵tan∠BDC= DB , ∴BC=DB· tan∠BDC =5×tan40°≈4.195. ∴EB=BC+CE=4.195+2≈6.20. 答:略.

7.如图,在电线杆上的C处引位线CE、CF固定 电线杆,拉线CE和地面成60°角,在离电线杆6 米的B处安置测角仪,在A处测得电线杆C处的仰 角为30°,已知测角仪AB高为1.5米,求拉线CE 的长.(结果保留根号)

7.解:过点A作AH⊥CD,垂足为H. 由题意可知四边形ABDH为矩形, ∠CAH=30°, ∴AB=DH=1.5,BD=AH=6. CH 在Rt△ACH中,tan∠CAH= AH , 3 ∴CH=AH· tan∠CAH=6tan30°=6× 3 =2 ∵DH=1.5,∴CD=2 3 +1.5. 在Rt△CDE中 , CD ∵∠CED=60°,sin∠CED= CE ∴CE=
CD 2 3 ? 1.5 ? sin 60? 3 2

3

=(4+

3

)(米).

答:拉线CE的长为(4+

3 )米.

8.已知:如图,在山脚的C处测得山顶A的仰 角为45°,沿着坡度为30°的斜坡前进400米到 D处(即∠DCB=30°,CD=400米),测得A的 仰角为60°,求山的高度AB. 9.如图,在一个坡角为15°的斜 坡上有一棵树,高为AB.当太 阳光与水平线成50°时,测得该 树在斜坡的树影BC的长为7m, 求树高.(精确到0.1m)

8.解:如图,作DE⊥AB于E,作DF⊥BC 于F,在Rt△CDF中∠DCF=30°,CD=400米, 1 ∴DF=CD· sin30°= 2 ×400=200(米). 3 3 CF=CD· cos30°= 2 ×400=200 (米). 在Rt△ADE中,∠ADE=60°,设DE=x米, ∴AE=tan60°· 3 x(米). x= 在矩形DEBF中,BE=DF=200米, 在Rt△ACB中,∠ACB=45°, ∴AB=BC, 即 3 x+200=200 3 +x. ∴x=200, ∴AB=AE+BE=(200 3 +200)米.

9.解:如图,过点C作水平线与AB的延长线 交于点D,则AD⊥CD. ∵∠BCD=15°, ∴∠ACD=50°, 在Rt△CDB中, CD=7×cos15°, BD=7×sin15°. 在Rt△CDA中, AD=CD×tan50°=7×cos15°×tan50°. ∴AB=AD-BD =(7×cos15°×tan50°-7×sin15°) =7(cos15°×tan50°-sin15°)≈6.2(m).

?这节课你有哪些收获?
?你能否用所学的知识去解决一些 实际问题吗?

题型5 综合与创新

1.小明骑自行车以15千米/小时的速度在公路上向 正北方向匀速行进,如图1,出发时,在B点他 观察到仓库A在他的北偏东30°处,骑行20分钟 后到达C点,发现此时这座仓库正好在他的东南 1.8 方向,

则这座仓库到公路的距离为_____千 3 ≈1.732,结果 米.(参考数据: 保留两位有效数字)

2.先将一矩形ABCD置于直角坐标系中,使点A? 与坐标系的原点重合,边AB、AD分别落在x轴、 y轴上(如图2),? 将此矩形在坐标平面内按 再 逆时针方向绕原点旋转30°(如图3),若 AB=4,BC=3,则图(2)和图(3)中点B的 坐标为___,点C的坐标为____. 答案:图(2)中:B(4,0),图(3)中:B(2 ,2);
3

图(2)中:C(4,3),图(3)中:C( 4

3 ?3 3 3 ? 4 , ). 2 2

3.数学活动课上,小敏、小颖分别画了△ABC 和△DEF,? 据如图,如果把小敏画的三角形 数 面积记作S△ABC,小颖画的三角形面积记作S△DEF, 那么你认为( ) C A.S△ABC >S△DEF B.S△ABC <S△DEF C.S△ABC =S△DEF D.不能确定

小敏画的三角形

小颖画的三角形

4.已知:如图,在△ABC中,AD是边BC上的高, 4 E? 边AC? 中点,BC= 14,AD=12,sinB= 为 的 ,求:(1)线段DC的长;
5

(2)tan∠EDC的值. AD 12 ? 4.解:(1)在Rt△ABD中,AB= sin B 4 =15. 5 ∴BD= AB 2 ? AD 2 =9. ∴CD=BC-BD=14-9=5. (2)∵E是Rt△ADC斜边AC的中点, ∴DE=EC,∴∠EDC=∠C.


∴tan∠EDC=tan∠C=

AD 12 ? CD 5

块平地,? 图所示,BC∥AD,斜坡AB长22m, 如 坡角∠BAD=68°,为了防止山体滑坡,保障安 全,? 校决定对该土坡进行改造.经地质人员勘 学 测,当坡角不超过50°时,? 确保山体不滑 可 坡.(1)求改造前坡顶与地面的距离BE的长(精 确到0.1m);(2)为确保安全,学校计划改造时 保持坡脚A不动,坡顶B沿BC削进到F点处,? 问BF 至少 是多少米(精确到0.1m)? (参考数据:sin68°≈0.927 2,
cos68°≈0.374 6,tan68°≈2.475 1, tan50°≈0.766 0,cos50°≈0.642 8,

5.解:如图,(1)作BE⊥AD,E为垂足. 则BE=AB· sin68°=22sin68°≈20.40=20.4(m)(2) 作FG⊥AD,G为垂足, 连结FA,则FG=BE. =17.12, ∵AG= AE=AB· cos68°=22cos68° ≈8.24, ∴BF=AG-AE=8.88≈8.9 ( m). 即BF至少是8.9m.
FG tan 50?

6.如图,小岛A在港口P的南偏西45°方向,距 离港口81海里处.甲船从A出发,沿AP方向以9 海里/时的速度驶向港口,乙船从港口P? 发,? 出 沿 南偏东60°方向,以18海里/时的速度驶离港口, 现两船同时出发, (1)出发后几小时两船与港口P的距离相等? (2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向? (结果精确到0.1小时) 2 ≈1.41, 3 (参考数据: ≈1.73)

6.解:(1)设出发后x小时时两船与港口P 的距离相等. 根据题意,得81-9x=18x, 解这个方程,得x=3. ∴出发后3小时两船与港口P的距离相等.

(2)如图,设出发后x小时 乙船在甲船的正东方向,此 时甲、乙两船的

位置分别在 点C、D处,连结CD.过点 P作PE⊥CD,垂足为E.则 在Rt△CEP中,∠CPE=45°, 点E在点P的正南方向. ∴PE=PC· cos45°. 在Rt△PED中,∠EPD=60°, ∴PE=PD· cos60°. ∴(81-9x)· cos45°=18x· cos60°. 解这个方程,得x≈3.7. ∴出发后约3.7小时乙船在甲船的正东方向.

1.如图①,一架长4米的梯子AB斜靠在与地面 题型6 中考新题型

OM? 直的墙ON上,梯子与地面的倾斜角α 为 垂 60°.(1)求AO与BO的长;(2)若梯子顶端A 沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行.①如图②, 设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且AC: BD=2:3,? 计算梯子顶端A沿NO下滑多少米; 试 ②如图③,当A点下滑到A′点,B点向右滑行到B′ 点时,梯子AB的中点 P也随之运动到 P′点,若 ∠POP′=15°, 试求AA′的长. ① ② ③

2.如果正方形网格中的每一个小正方形边长都是 1,? 每个小格的顶点叫做格点. 则 (1)在图①中,以格点为顶点画一个三角形,使 三角形的三边长分别为3 5 ,2 2 (2)在图②中,线段AB的端点在格点上,请 画出以AB为一边的三角形,使这个三角形的面 积为6(要求至少画出3个). (3)在图③中,△MNP的顶点M、N在格点上 ,P在小正方形的边上,问这个三角形的面积相 当于多少个小方格 的面积?在你解 出答案后,说说
① ② ③

3.已知:如图,AD为Rt△ABC斜边BC上的高, 点E为DA延长线上一点,连结BE,过点C作 CF⊥BE于点F,交AB、AD于M、N两点. (1)若线段AM、AN的长是关于x的一元二次 5 2-2mx+n2-mn+ m2=0的两个实数根, 方程x 4 求 ? 证:(1)AM=AN.
15 9 (2)若AN= 8 , DN ? 8 ,

求DE的长; (3)若在(1)的条件下,S△AMN:S△ABE=9:64, 且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y216ky+10k2+5=0的两个实数根,求BC的长.


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