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一元二次方程的判别式

发布时间:2014-01-06 10:39:54  

一元二次方程根的判别式

复习
? ?

一元二次方程的一般形式是什么? 用配方法解一元二次方程的解法步骤是 什么?

如何把一元二次方程 ax 2 ?bx ? c ?0? a ? 0 ? 写 成 ? x ? h ?2 ? k 的形式?

ax 2 ? bx ? c ? 0

b c x ? x? ?0 a a b c 2 x ? x?? a a
2

b c ? b ? ? b ? x ? x?? ? ? ? ?? ? a a ? 2a ? ? 2a ?
2

2

2

b ? b 2 ? 4ac ? ?x? ? ? 2a ? 4a 2 ?
2

b ? b ? 4ac ? (a ? 0) ?x? ? ? 2 2a ? 4a ?
2 2

当 b 2 ? 4ac >0 时, 方程的右边是一个正数, 方程有两个不
?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 相等的实数根: x1 ? ; x2 ? ; 2a 2a

b 2 ? 4ac =0 时,方程的右边是 0,方程有两个相等的 当

b 实数根: x1 ? x2 ? ? ; 2a

当 b ? 4ac <0 时,方程的右边是一个负数,因为在实
2

数范围内,负数没有平方根.所以,方程没有实数根.

反过来,对于方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? ,
2

如果方程有两个不相等的实数根,那么 b

2

? 4ac ? 0;

如果方程有两个相等的实数根,那么
如果方程没有实数根,那么
2

b ? 4ac ? 0;
2

b ? 4ac ? 0.

我们把 b2 ? 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的根的判别式,用符号“? ”来表示,
2 即一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? ,

当 ? ? 0 时,方程有两个不相等的实数根; 当方程有两个不相等的实数根时, ? ? 0 ;

反之,

当 ? ? 0 时,方程有两个相等的实数根;
当 ? ? 0 时,方程没有实数根.

当方程有两个相等的实数根时, ? ? 0 ; 当方程没有实数根时, ? ? 0 .

让我们一起学习例题

例1 按要求完成下列表格:
1 2 4 3x ? 4 x ? ? 0 ? x ? x ? 1 ? 0 3 3
2

x2 ? 1 ? 0

Δ的值 根的 情况

0
有两个相等 的实数根

1 ? 3
没有实数根

4
有两个不相 等的实数根

让我们一起学习例题

例2 不解方程,判别方程

4 y ? 1 ? 4 y 的根的情况.
2

一般步骤: 1、化为一般式,确定 、 、 的值.

ab c

2、计算

? 的值,确定 ? 的符号.

3、判别根的情况,得出结论.

你会了吗?来练一下吧! 我相信你肯定行!

练习 不解方程,判别下列方程的根的情况:

1 2 (1) x ? 3x ? 8; 4
(2)5 ? t ? 1? ? 7t ? 0.
2

例3:不解方程,判别关于 x 的方程

x ? 2 2kx ? k ? 0
2 2

的根的情况.

解:? ? 2 2k ? 4 ?1? k

?

?

2

2

? 8k ? 4k ? 4k
2 2
2 2

2

? ? ∵ k ? 0, 4k ? 0,即? ? 0,
?方程有两个实数根.

很好!你真聪明!

你已学会了系数中 含有字母的一元二次方 程的根的情况的判定! 真棒!

a x ? ax ? 1 ? 0 ? a ? 0 ? 的根的情况.
2 2

不解方程,判别关于 x 的方程

不解

方程,判别关于 x 的一元二次方程

a x ? ax ?1 ? 0
2 2

的根的情况.

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

方程的 形式

?

根的情况
方程有两个相等的 实数根 方程有两个实数根

b ? 0, c ? 0 ax 2 ? 0 b ? 0, c ? 0 ax2 ? bx ? 0 b ? 0, c ? 0 ax 2 ? c ? 0

0

b

2

?4ac

a、c 异号,方程有两个不相
等的实数根

a、c 同号,方程无实数根


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