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3.3.1圆心角与圆周角的关系(1)

发布时间:2014-01-06 11:38:49  

回顾与思考
O
如图1 ,∠AOB是 圆心 角。 B A C 如图2 , AB=CD ,则∠AOB与∠COD的大小 关系是: 相等 。 B

O

D

A

用心想一想,马到功成
在射门游戏中,球员射中球门的难易与他所处的位 置B对球门AC的张角(∠ABC)有关。

用心想一想,马到功成

如图,当他站在B,D,E的位置射球时,对球门AC的 张角的大小相等吗? 你能观察到这三个角有什么共同特征吗?

用心想一想,马到功成
为解决这个问题我们先来研究一种角。 观察图中的∠ABC,顶点在什么位置?角的两边有什么特点? A

B

C

用心想一想,马到功成
观察图中的∠ABC,可以发现,它的顶点在圆上,它的两 边分别与圆还有另一个交点。像这样的角,叫做圆周角。 A

B

C

请同学们考虑两个问题: (1)顶点在圆上的角是圆周角吗? (2)角的两边都和圆相交的角是圆周角吗?

下列各图形中的角是不是圆周角?请说明理由。

A

B

C

D

E

由圆周角的定义可知,只有C是圆周角,其它都不是。 你能总结出圆周角的特征吗? 圆周角有两个特征: ①角的顶点在圆上; ②两边在圆内的部分是圆的两条弦。

用心想一想,马到功成

如图,当他站在B,D,E的位置射球时,对球门AC的 张角的大小相等吗? 你能观察到这三个角有什么共同特征吗?

用心想一想,马到功成
我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系。

请同学们在圆上确定一条劣弧,画出它所对的圆心角与圆周 角。

A

C

用心想一想,马到功成
归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。 A O B ① C A C O B B ② ③ A C O

①∠ABC的一边BC经过圆心O。 ②∠ABC的两边都不经过圆心O。 ③∠ABC的两边都不经过圆心O。

请问∠ABC与∠AOC 它们的大小有什么关 系?说说你的想法, 并与同伴进行交流。

下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况,即∠ABC的一边BC 经过圆心O。 ∵ ∠AOC是△ABO的外角, ∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。 ∵ OA=OB, ∴ ∠ABO=∠BAO。 ∴ ∠AOC=2∠ABO, 1 ∴ ∠ABC= 2 ∠AOC。

A O
B

C

下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况,即∠ABC的一边BC 经过圆心O。 ∵ ∠AOC是△ABO的外角, C A ∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。 ∵ OA=OB, O ∴ ∠ABO=∠BAO。 ∴ ∠AOC=2∠ABO, B 1 ∴ ∠ABC= ∠AOC。 2 那么当∠ABC的两边都不经过圆心O时,∠ABC与∠AOC又 有怎样的大小关系呢? A A C C O B B O

我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。 也就是借用直径,连接BO并延长,与圆相交于点D。 (此时我们得到与图①同样的情形) ∵ ∠1是△ABO的外角, A D
3

C

A O B ①

C

∴ ∠1=∠2+∠3。
∵ OA=OB, ∴ ∠2=∠3。 ∴ ∠1=2∠2, 1 ∴ ∠2= ∠1。 2 同理, ∠4= 1 ∠5

。 2 1 ∴ ∠2+∠4= ( ∠ 1+∠5) 。 2 1 ∴ ∠ABC= ∠AOC。 2

1 5

24

O

B

如图,连接BO并延长,与圆相交于点D。(此时我们得到与图① 同样的情形) ∵ ∠AOD是△ABO的外角, ∴ ∠AOD=∠A+∠ABO。 A C D O B B O ① A C

∵ OA=OB,
∴ ∠A=∠ABO。 ∴ ∠AOD=2∠ABD, 1 ∴ ∠ABD= ∠AOD。 2

如图,连接BO并延长,与相交于点D。(此时我们得到与图①同 样的情形) ∵ ∠AOD是△ABO的外角, ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。 A C D O B B O ① A C

∵ OA=OB,
∴ ∠A=∠ABO。 ∴ ∠AOD=2∠ABD, 1 ∴ ∠ABD= ∠AOD。 2 1 同理 , ∠CBD= ∠COD。 2

如图,连接BO并延长,与相交于点D。(此时我们得到与图①同 样的情形) ∵ ∠AOD是△ABO的外角, ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。 A C D O B B O ① A C

∵ OA=OB,
∴ ∠A=∠ABO。

∴ ∠AOD=2∠ABD, 1 ∴ ∠ABD= ∠AOD。 2 1 同理 , ∠CBD= ∠COD。 2 1 1 ∴ ∠ABD-∠CBD= 2∠AOD- ∠COD 2 = 1 (∠AOD-∠COD)。 2 ∴ ∠ABC= 1 ∠AOC 2

认真观察,探求结果
通过对三种情形的证明,同学们再认真观察图形,你会得到什么结 果? A A C C C A O B O B B 一半 O

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的



如图,在⊙O中,∠BOC=50°, 则∠BAC= 25° 。 A O

B
C

0

如图,在⊙O中, ∠BOC=50° , 则∠BAC= 25° 。 A

B

C
O

变化题1:如图,点A,B,C是 ⊙O上的三点, ∠BAC=40°, 则∠BOC= 80° 。
0

O B C

A

变化题2:如图,∠BAC=40°,则 50° 。 ∠OBC=

如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠ AOB=2∠ BOC, ∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系?为什么? 答:∠ACB=2∠BAC.理由是: ∵∠AOB=2∠ACB ∠BOC=2∠BAC ∠AOB=2∠BOC ∴2∠ACB =2(2∠BAC) ∴∠ACB=2∠BAC A B O C

如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,且∠BCD=100° , 求∠BOD(BCD所对的圆心角)和∠BAD的大小。 解:∵∠BCD=100° A O1 B C

D

∴∠1=200°
∴∠BOD=360°-200°=160°

如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,且∠BCD=100° , 求∠BOD(BCD所对的圆心角)和∠BAD的大小。 解:∵∠BCD=100° A O1 B C

D

∴∠1=200°
∴∠BOD=360°-200°=160° 1 1 ∴∠BAD= 2 ∠BOD= 2 ×160°=80°

课内拓展延伸
1.到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什么特 点?相互之间有什么关系? 答:和圆有关的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心;圆周角顶点 在圆上,角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的一半。 2.课后思考 如图,当他站在 B,D,E的位置 射球时对球门 AC 的 张 角 的 大 小相等吗?为什 么?


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