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2013年最新重庆中考数学25题专题及答案

发布时间:2014-01-06 13:35:57  

重庆中考25题专题训练(及答案)

1、(12分)如图, 已知抛物线y?12x?bx?c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点2

A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1).

(1)求抛物线的解析式;

(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面

积最大时,求点D的坐标;

(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,

若不存在,说明理由.

26题图备用图

解:(1)∵二次函数y?12x?bx?c的图像经过点A(2,0)C(0,-1) 2

?2?2b?c?0∴? c??1?

1 c=-1-------------------2分 2

121∴二次函数的解析式为y?x?x?1 --------3分 22 解得: b=-

(2)设点D的坐标为(m,0) (0<m<2)

∴ OD=m ∴AD=2-m

由△ADE∽△AOC得,

∴ADDE --------------4分 ?AOOC2?mDE ?21

2?m∴DE=-----------------------------------5分 2

12?m∴△CDE的面积=××m

22

m2m11=??=?(m?1)2? 4244

当m=1时,△CDE的面积最大

∴点D的坐标为(1,0)--------------------------8分

(3)存在 由(1)知:二次函数的解析式为y?

设y=0则0?121x?x?1 22121x?x?1 解得:x1=2 x2=-1 22

∴点B的坐标为(-1,0) C(0,-1)

设直线BC的解析式为:y=kx+b

??k?b?0∴ ? 解得:k=-1 b=-1 b??1?

∴直线BC的解析式为: y=-x-1

0在Rt△AOC中,∠AOC=90 OA=2 OC=1

由勾股定理得:AC=

∵点B(-1,0) 点C(0,-1)

∴OB=OC ∠BCO=450

①当以点C为顶点且PC=AC=时,

设P(k, -k-1)

过点P作PH⊥y轴于H

∴∠HCP=∠BCO=450

CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中

k2+k2=5? 解得k=2

1, k2=- 22

∴P1(?1) P2(-?1)---10分 ,-,2222

②以A为顶点,即AC=AP=5

设P(k, -k-1)

过点P作PG⊥x轴于G

AG=∣2-k∣ GP=∣-k-1∣

在Rt△APG中 AG2+PG2=AP2

(2-k)+(-k-1)=5

解得:k1=1,k2=0(舍)

∴P3(1, -2) ----------------------------------11分 ③以P为顶点,PC=AP设P(k, -k-1)

过点P作PQ⊥y轴于点Q

PL⊥x轴于点L 22

∴L(k,0)

∴△QPC为等腰直角三角形

PQ=CQ=k

由勾股定理知

CP=PA=2k

∴AL=∣k-2∣, PL=|-k-1|

在Rt△PLA中 (2k)2=(k-2)2+(k+1)2

解得:k=

2、(本题满分12分)已知抛物线y?x?bx?c交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点,交y轴于点C,其顶点为D.

(1)求b、c的值并写出抛物线的对称轴;

(2)连接BC,过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E.

求证:四边形ODBE是等腰梯形;

(3)抛物线上是否存在点Q,使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的

求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

2、(1)求出:b??4,c?3,抛物线的对称轴为:x=2

(2) 抛物线的解析式为y?x?4x?3,易得C点坐标为(0,3),D点坐标为(2,-1)

设抛物线的对称轴DE交x轴于点F,易得F点坐标为(2,0),连接OD,DB,BE ∵?OBC是等腰直角三角形,?DFB也是等腰直角三角形,E点坐标为(2,2), ∴∠BOE= ∠OBD=45 ∴OE∥BD

∴四边形ODBE是梯形 ………………5分

在Rt?ODF和Rt?EBF中,

?22 557∴P4(,-) ------------------------12分 2221?若存在,3

OD=OF?DF22?22?12? ,BE=EF2?FB2?22?12? ∴OD= BE

∴四边形ODBE是等腰梯形 ………………7分

(3) 存在, ………………8分 由题意得:S四边形ODBE?

设点Q坐标为(x,y), 由题意得:S三角形OBQ?

∴y??1

2当y=1时,即x?4x?3?1,∴ x1?2?119OB?DE??3?3? ………………9分 222131193OB?y?y=S四边形ODBE??? 2233222, x2?2?2,

∴Q点坐标为(2+2,1)或(2-2,1) ………………11分 当y=-1时,即x?4x?3??1, ∴x=2,

∴Q点坐标为(2,-1)

综上所述,抛物线上存在三点Q1(2+2,1),Q2 (2-2,1) ,Q3(2,-1) 使得S三角形OBQ=

21S四边形ODBE. ………………12分 3

3、(11分)如图,

已知抛物线F 1Q3

y?a(x?1)2?a?0)经过点A(?2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上,连结BC.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?

(3)若OC?OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分

别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当

其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时

间为t(s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?并求

出最小值及此时PQ的长.

解:(1)?

抛物线y?a(x?1)?a?0)经过点A(?2,0),

2

?0?9a?a?? ························· 1分 3

2x?x············· 3分 ?

二次函数的解析式为:y?过D作DN?OB于N

,则DN?

(2)?

D为抛物线的顶点?D(1AN?3,?AD??6??DAO?60° ·············· 4分 ?OM∥AD

①当AD?OP时,四边形DAOP是平行四边形

?OP?6?t?6(s) ············· 5分 ②当DP?OM时,四边形DAOP是直角梯形

过O作OH?AD于H,AO?2,则AH?1 (如果没求出?DAO?60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA求AH?1)

·························· 6分 ?OP?DH?5t?5(s)

③当PD?OA时,四边形DAOP是等腰梯形

?OP?AD?2AH?6?2?4?t?4(s)

综上所述:当t?6、5、4时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形. 7分

(3)由(2)及已知,?COB?60°,OC?OB,△OCB是等边三角形

则OB?OC?AD?6,OP?t,BQ?2t,?OQ?6?2t(0?t?3)

过P作PE?OQ于E

,则PE? ···················· 8分

11?SBCPQ??6??(6?2t)?

222

3?··························· 9分 =t????2?当t?23时,S

BCPQ··················· 10分 2?QE?3?39?44PE? 433?

此时OQ?3,OP=,

OE?24

··············· 11分 ?PQ???

4.(本小题满分13分)

如图,抛物线经过A(4,,0)B(1,,0)C(0,?2)三点.

(1)求出抛物线的解析式;

(2)P是抛物线上一动点,过P作PM?x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.

2解:(1)?该抛物线过点C(0,?2),?可设该抛物线的解析式为y?ax?bx?2.

将A(4,0),B(1,0)代入,

1?a???16a?4b?2?0,??2得?解得? ?a?b?2?0.?b?5.

??2

15

?此抛物线的解析式为y??x2?x?2. ··············· (3分)

22

(2)存在. ······························ (4分) 如图,设P点的横坐标为m,

15

则P点的纵坐标为?m2?m?2,

22

当1?m?4时,

15

AM?4?m,PM??m2?m?2.

22

又??COA??PMA?90°,

?①当

AMAO2

??时, PMOC1

△APM∽△ACO,

即4?m?2??

?125?

m?m?2?.

2?2?

解得m1?2,m2?4(舍去),?P(2,1). ················ (6分) ②当

AMOC115

??时,△APM∽△CAO,即2(4?m)??m2?m?2. PMOA222

解得m1?4,m2?5(均不合题意,舍去)

1). ······················ (7分) ?当1?m?4时,P(2,

类似地可求出当m?4时,P(5,·················· (8分) ?2). 当m?1时,P(?3,?14).

综上所述,符合条件的点P为(2,········ (9分) 1)或(5,?14). ?2)或(?3,(3)如图,设D点的横坐标为t(0?t?4),则D点的纵坐标为?过D作y轴的平行线交AC于E. 由题意可求得直线AC的解析式为y?

125

t?t?2. 22

1

(10分)

x?2. ··············

2

?1??E点的坐标为?tt?2?. ?2?

151?1?(11分) ?DE??t2?t?2??t?2???t2?2t. ············· 2222??

1?1??S△DAC????t2?2t??4??t2?4t??(t?2)2?4. 2?2?

?当t?2时,△DAC面积最大.

?D(2,1).

5.如图,二次函数的图象经过点D(0,7),且顶点C的横坐标为4,该图象在x 轴上截9

得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式;

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;

⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

⑴设二次函数的解析式为:y=a(x-h)+k

∵顶点C的横坐标为4,且过点(0,7) 9

∴y=a(x-4)+k 7?16a?k ………………① 922

又∵对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6 ∴A(1,0),B(7,0)

∴0=9a+k ………………②

由①②解得a=,k=- 9

2∴二次函数的解析式为:y=(x-4)- 9

⑵∵点A、B关于直线x=4对称

∴PA=PB

∴PA+PD=PB+PD≥DB

∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值

∴DB与对称轴的交点即为所求点P

设直线x=4与x轴交于点M

∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∠PBM=∠DBO

∴△BPM∽△BDO 7?3PMBM 9∴ ∴PM???DOBO73

∴点P的坐标为(4,3) 3

⑶由⑴知点C(4,?),

又∵AM=3,∴在Rt△AMC中,cot∠ACM=3, 3

∴∠ACM=60,∵AC=BC,∴∠ACB=120

oo

①当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N

如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ有

BQ=6,∠ABQ=120,则∠QBN=60

∴QN=33,BN=3,ON=10,

此时点Q(10,3),

如果AB=AQ,由对称性知Q(-2,3)

②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB,

此时点Q的坐标是(4,?),

经检验,点(10,3)与(-2,3)都在抛物线上

综上所述,存在这样的点Q,使△QAB∽△ABC

点Q的坐标为(10,3)或(-2,3)或(4,?3).

6、(12分) 如图,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,

-3),设抛物线的顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;

(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?

(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存

在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明

理由.

oo

解:(1)设该抛物线的解析式为y?ax?bx?c,

由抛物线与y轴交于点C(0,-3),可知c??3.

即抛物线的解析式为y?ax?bx?3. ………………………1分 22

把A(-1,0)、B(3,0)代入, 得?

解得a?1,b??2. ?a?b?3?0, 9a?3b?3?0.?

∴ 抛物线的解析式为y = x-2x-3. ……………………………………………3分 ∴ 顶点D的坐标为?1,?4?. ……………………………………………………4分 说明:只要学生求对a?1,b??2,不写“抛物线的解析式为y = x-2x-3”不扣分.

(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分 理由如下:

过点D分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、

F. 22

在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,∴ BC?18. …………………………6分 在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,∴ CD?2. …………………………7分 在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,∴ BD?20. …………………………8分 222

∴ BC?CD?BD, 故△BCD为直角三角形. …………………………9分

(3)连接AC,可知Rt△COA∽ Rt△BCD,得符合条件的点为O(0,0). ………10分

222

过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1,可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD, 求得符合条件的点为P1(0,). …………………………………………11分 过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2,可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD,

求得符合条件的点为P2(9,0). …………………………………………12分 ∴符合条件的点有三个:O(0,0),P1(0,),P2(9,0).

7、如图,抛物线y?ax?bx?1与x轴交于两点A(-1,0),B(1,0),与y轴交于点

C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D,求四边形ACBD的面积;

(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点M,过M作MN⊥x轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,则求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)解:(1)把A(?1,0) B(1,0)代入y?ax?bx?1得: 221313

?a?b?1?0?a??1 解得:? ?b?0a?b?1?0??

?y??x2?1………………………………………………………………………3分

(2)令x?0,得y?1 ∴C?0,1? ……………………………………………4分 ∵OA=OB=OC=1 ∴?BAC=?ACO=?BCO=?ABC =45

∵BD∥CA, ∴?ABD=?BAC ?45?

过点D作DE?x轴于E,则?BDE为等腰直角三角形

令OE?k ?k?0?,则DE?k?1 ∴D??k,?k?1?

2∵点D在抛物线?y??x?1上 ∴ ?k?1????k??1 2 ?

解得k1?2,k2??1(不合题意,舍去)

D??2,?3? ∴DE=3

(说明:先求出直线BD的解析式,再用两个解析式联立求解得到点D的坐标也可) ∴四边形ACBD的面积S=11AB?OC +AB?DE 22

11??2?1??2?3?4………………………………7分 22

(说明:也可直接求直角梯形ACBD的面积为4)

(3)存在这样的点M……………………………………………………………………8分

∵?ABC=?ABD=45 ∴?DBC=90

∵MN?x轴于点N, ∴?ANM=?DBC =90

在Rt△BOC中,OB=OC=1 有

在Rt△DBE中,BE=DE=3 有

BD=

设M点的横坐标为m,则M m,?m?1

①点M在y轴左侧时,则m??1

(ⅰ) 当?AMN ∽?CDB时,有

2??? ?2?ANMN ?BCBD∵AN??m?1,MN?m?1

2?即

解得:m??1(舍去) m2??2

则M??2,?3?

(ⅱ) 当?AMN ∽?DCB时,有ANMN ?BDBC

22? 解得m1??1(舍去) m2?(舍去)…………10分 3

② 点M在y轴右侧时,则m?1

(ⅰ) 当?AMN ∽?DCB时,有

2 ANMN ?BDBC∵AN?m?1,MN?m?1

2? ∴

解得m1??1(舍去) m2?

∴M?4 3?47?,?? 39??

(ⅱ) 当?AMN ∽?CDB时,有ANMN ?BCBD

2?即

解得:m1??1(舍去) m2?4 ∴M?4,?15?

∴M点的坐标为??2,?3?,?

8、在直角坐标系xOy中,设点A(0,t),点Q(t,b)。平移二

次函数y??tx的图象,得到的抛物线F满足两个条件:

①顶点为Q;②与x轴相交于B,C两点

(∣OB∣<∣OC∣),连结A,B。

(1)是否存在这样的抛物线F, 2?47?,??,?4,?15?…………………………12分 ?39?

OA?OB?OC?请你作出判断,并说明理由;

(2)如果AQ∥BC,且tan∠ABO=

对应的二次函数的解析式。

【思路点拨】(1)由关系式OA223,求抛物线F 2?OB?OC来构建关于t、b的方程;(2)讨论 t的取值范围,来求抛物线F对应的二次函数的解析式。

(1)∵ 平移y??tx的图象得到的抛物线F的顶点为Q,

∴ 抛物线F对应的解析式为:y??t(x?t)?b. ∵ 抛物线与x轴有两个交点,∴tb?0. 22 令y?0, 得OB?t?b,OC?t?t

b)( t?tb, t∴ |OB|?|OC|?|(t?

即t2?bb2)|?|t? |?t2?OA2 , ttb

??t2, 所以当b?2t3时, 存在抛物线F使得|OA|2?|OB|?|OC|.-- 2分

2(2) ∵AQ//BC, ∴ t?b, 得F: y??t(x?t)?t,

解得x1?t?1,x2?t?1. 在Rt?AOB中,

1) 当t?0时,由 |OB|?|OC|, 得B(t?1,0),

当t?1?0时, 由tan?ABO?t3|OA|??, 解得t?3, 2|OB|t?1

2此时, 二次函数解析式为y??3x?18x?24;

当t?1?0时, 由tan?ABO?t3|OA|3??, 解得t?, 2|OB|?t?15

321848. x +x +525125此时,二次函数解析式为y??

2) 当t?0时, 由 |OB|?|OC|, 将?t代t, 可得t??

(也可由?x代x,?y代y得到)

所以二次函数解析式为 y?

3, t??3, 53218x +x –48或y?3x2?18x?24. 525125

9、如图,抛物线y?x?4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.

(1)求点A的坐标;

(2)以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等

腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点

P的坐标;

(3)设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,

点P的横坐标为x,

当4??S?6?,求x的取值

范围.

【思路点拨】(3)可求得直线l的函数关系式是y=-2x,

所以应讨论①当点P在第二象限时,x<0、 ②当点P在第四

象限是,x>0这二种情况。

(1)∵y?x?4x?(x?2)?4

∴A(-2,-4)

(2)四边形ABP1O为菱形时,P1(-2,4) 222

4) 5

48四边形ABP3O为直角梯形时,P1(?) 55

612四边形ABOP4为直角梯形时,P1(,?) 55四边形ABOP2为等腰梯形时,P1(,?

(3)

25

由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l的函数关系式是y=-2x

①当点P在第二象限时,

x<0,

△POB的面积S?POB?

∵△AOB的面积S?AOB1?4?(?2x)??4x 21??4?4?8, 2

∴S?S?AOB?S?POB??4x?8(x?0) ∵4?62?S?6?82, ??S?4?62∴? ??S?6?82

?2?32x??????4x?8?4?622即? ∴? ??S?1?42??4x?8?6?82?2?

∴x的取值范围是1?422?32?x? 22

②当点P在第四象限是,x>0,

过点A、P分别作x轴的垂线,垂足为A′、P′ 则四边形POA′A的面积

SPOA?A?S梯形PP?A?A?S?PP?O?

∵△AA′B的面积S?AA?B?4?2x1?(x?2)??(2x)?x?4x?4 221?4?2?4 2

∴S?SPOA?A?S?AA?B?4x?8(x?0) ∵4?62?S?6?82, ?3x??????S?4?62?4x?8?4?62∴? 即? ∴????S?4?S?6?82?4x?8?6?82??

∴x的取值范围是

2?22 2?1232?242?1?x? 22

10、如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为(2,4),直线x?2与x轴相交于点B,连结OA,抛物线y?x从点O沿OA方向平移,与直线x?2交于点P,顶点M到A点时停止移动.

(1)求线段OA所在直线的函数解析式; (2)设抛物线顶点M的横坐标为m,

①用m的代数式表示点P的坐标; ②当m为何值时,线段PB最短;

(3)当线段PB最短时,相应的抛物线上是否存在点Q,使△QMA的面积与△PMA的面积相等,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【思路点拨】(2)构建关于PB的二次函数,求此函数的最小值;(3)分当点Q落在直线OA的下方时、当点Q落在直线OA的上方时讨论。

(1)设OA所在直线的函数解析式为y?kx,

∵A(2,4), ∴2k?2, k?4, ?

∴OA所在直线的函数解析式为y?2x

(2)①∵顶点M的横坐标为m,且在线段OA上移动, ∴y?2m(0≤m≤2).

∴顶点M的坐标为(m,2m).

2

?(x?m)?2m∴抛物线函数解析式为y.

∴当x?2时,

22

y?(2?m)?2m(0≤m≤2). ?m?2m?4

2

2m?4∴点P的坐标是(2,m?).

2m?4② ∵PB=m?=(, 又∵0≤m≤2, m?1)?3

∴当m?1时,PB最短

2

2

2

????x?12(3)当线段PB最短时,此时抛物线的解析式为y.

2

假设在抛物线上存在点Q,使S.

S?QMA??PMA

2x?3 设点Q的坐标为(x,x?).

①当点Q落在直线OA的下方时,过P作直线PC//AO,交y轴于点C, ∵PB?4, B?3,A

∴A,∴OC?1,∴C点的坐标是(0,?1). P?1

∵点P的坐标是(2,3),∴直线PC的函数解析式为

y?2x∵S,∴点Q落在直线y?2上. Sx?1?QMA??PMA

2

2x?3∴x?=2x?1.

解得x,即点Q(2,3). 2,x21?2?∴点Q与点P重合.

∴此时抛物线上不存在点Q,使△QMA与△APM的面积相等.

②当点Q落在直线OA的上方时,

2

作点P关于点A的对称称点D,过D作直线DE//AO,交y轴于点E,

OD?A?1∵A,∴E,∴E、D的坐标分别是(0,1),(2,5), P?1

∴直线DE函数解析式为y?2. x?1

S∵S,∴点Q落在直线y?2上. x?1?QMA??PMA2x?3∴x?=2x?1.

解得:xx2?21?2

5? 5?,y代入y?2,得yx?12?1?

∴此时抛物线上存在点Q ,Q22,52122使△QMA与△PMA的面积相等.

综上所述,抛物线上存在点Q ,Q22,52122 使△QMA与△PMA的面积相等.

2

????

??

211、如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象的顶点为

D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OB=OC ,tan∠ACO=1. 3

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F, 使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x 轴相切,求该圆半径的长度.

(4)如图2,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上 一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

【思路点拨】(2)可先以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形时,求F点的坐标,再代入抛物线的表达式检验。(3)讨论①当直线MN在x轴上方时、②当直线MN在x轴下方时二种情况。(4)构建S关于x的二次函数,求它的最大值。

(1)方法一:由已知得:C(0,-3),A(-1,0)

?a?b?c?0?将A、B、C三点的坐标代入得?9a?3b?c?0

?c??3?

?a?1?解得:?b??2

?c??3?

所以这个二次函数的表达式为:y?x?2x?3

(2)存在,F点的坐标为(2,-3)

易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:y??x?3

2

∴E点的坐标为(-3,0) ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为(2,-3)或(―2,―3)或(-4,3) 代入抛物线的表达式检验,只有(2,-3)符合

∴存在点F,坐标为(2,-3)

(3)如图,①当直线MN在x轴上方时,设圆的半径为R(R>0),则N(R+1,R), 代入抛物线的表达式,解得R?

1? 2

②当直线MN在x轴下方时,设圆的半径为r(r>0), 则N(r+1,-r),

?1?代入抛物线的表达式,解得r?

2

∴圆的半径为

1??1?或. 22

(4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q, 易得G(2,-3),直线AG为y??x?1.

设P(x,x?2x?3),则Q(x,-x-1),PQ??x?x?2.

2

2

S?APG?S?APQ?S?GPQ?

当x?

1

(?x2?x?2)?3 2

1

时,△APG的面积最大 2

?1?2

15?27

?,S?APG的最大值为. 4?8

此时P点的坐标为?,?

12、如图,在平面直角坐标系中,直线

y?x轴交于点A,与y轴交于点C

,抛物线y?ax2?

过A,B,C三点. (1)求过A,B,C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标;

(2)在抛物线上是否存在点P,使△ABP为直角三角形,若存在,直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由; (3)试探究在直线AC上是否存在一点M,使得△MBF的周长最小,若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)与y轴?

直线y?x轴交于点A,交于点C.

x?c(a?0)经3

x

?A(?1,

0),C(0,

?点A,C都在抛物线上,

??0?a??c??a???

??33

?c???c

??

?

抛物线的解析式为y?

?21,?x?

顶点F? ???

?

P2(2, (2

)存在P1(0,

(3)存在

理由: 解法一:

x

延长BC到点B?,使B?C?BC,连接B?F交直线AC于

点M,则点M就是所求的点.

过点B?作B?H?AB于点H.

?

B点在抛物线y?2xx?B(3,0) , 在Rt△

BOC中,tan?OBC?

??OBC?30?

,BC?

在Rt△

BB?H中,B?H?1BB??

2

BH??H?6,?OH?

3,?B?(?3,?

设直线B?F的解析式为y?kx?

b

?????3k?bk????6??

解得? ?k?b??b????

?y?x?

62

?3??y?x???37?????M,?

解得

???7x???y??y????

?3??在直线AC上存在点M,使得△

MBF的周长最小,此时M??7,. 7??

13、如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABOC的边BO在x轴的

负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且AB?

1,OB?ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD.点A的对应点为点E,点?

B的对应点为点F,点C的对应点为点D,抛物线

2y?ax?bx?过点cA,E,D.

(1)判断点E是否在y轴上,并说明理由;

(2)求抛物线的函数表达式;

(3)在x轴的上方是否存在点P,点Q,使以点O,B,P,Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍,且点P在抛物线上,若存在,请求出点P,点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)点E在y轴上

理由如下:

连接AO,如图所示,在Rt△ABO中,?

AB?1,BO?,?AO?2

?sin?AOB?1?,??AOB?30 2

?由题意可知:?AOE?60

??BOE??AOB??AOE?30??60??90?

?点B在x轴上,?点E在y轴上.

(2)过点D作DM?x轴于点M

?OD?1,?DOM?30?

?在Rt△DOM中,DM?

?点D在第一象限,

1??点D

的坐标为??2?? 1,OM? 2

由(1)知EO?AO?2,点E在y轴的正半轴上

2) ?点E的坐标为(0,

点A

的坐标为(?抛物线y?ax2?bx?c经过点E,

?c?2

,D由题意,将A(1?2代入y?ax?bx?2中得 ?2???

8??3a??2?1a???9??

解得 ?3?1?2??a??b??42??

8x?2(3)存在符合条件的点P,点Q.10分 ?

所求抛物线表达式为:y??x2?99

理由如下:?矩形ABOC

的面积?AB?BO??以O,B,P,

Q为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB为此平行四边形一边,

又?OB?

?OB边上的高为2

依题意设点P的坐标为(m,2)

?点P

在抛物线y??89x2?9x?2上

??89m2?9m?2?2

解得,m1?

0,m2?

?P?1(0,

2),P2??2?

???

?

?以O,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形, ?PQ∥

OB,PQ?OB?

?当点P1的坐标为(0,2)时,

点Q

的坐标分别为Q1(

,Q2; 当点P

?2的坐标为??2?

???时,

?

点Q

的坐标分别为Q?3???

2?,Q?2?

?8???4???.

?8??

14、如图,抛物线y=a(x+1)(x-5)与x轴的交点为M、N.直线y=kx+b 与x轴交于P(-2,0),与y轴交于C.若A、B两点在直线y=kx+b上,且AO=BO=AO⊥BO.D为线段MN的中点,OH为Rt△OPC斜边上的高.

(1)OH的长度等于___________;k=___________,b=____________;

(2)是否存在实数a,使得抛物线y=a(x+1)(x-5)上有一点E,满足以D、N、E为顶 点的三角形与△AOB相似?若不存在,说明理由;若存在,求所有符合条件的抛物线的解析式,同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由);并进一步探索对符合条件的每一个E点,直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG<10索过程.

(1)OH=1;k=

33

2

2

,写出探

,b=2

33

(2)设存在实数a,是抛物线y=a(x+1)(x-5)上有一点E,满足以D、N、E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似

∴以D、N、E为顶点的三角形为等腰直角三角形,且这样的三角形最多只有两类,一类是以DN为直角边的等腰直角三角形,另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形. ①若DN为等腰直角三角形的直角边,则ED⊥DN. 由抛物线y=a(x+1)(x-5)得:M(-1,0),N(5,0) ∴D(2,0),∴ED=DN=3,∴E的坐标是(2,3). 把E(2,3)代入抛物线解析式,得a=? ∴抛物线解析式为y=?(x+1)(x-5) 即y=?x2+x+

②若DN为等腰直角三角形的斜边,则DE⊥EN,DE=EN. ∴E的坐标为(3.5,1.5)

把E(3.5,1.5)代入抛物线解析式,得a=?.

∴抛物线解析式为y=?(x+1)(x-5),即y=?x2+x+

13

13

43

53

29

29

89

109

29

13

43

53

13

13

当a=?时,在抛物线y=?x2+x+上存在一点E(2,3)

满足条件,如果此抛物线

上还有满足条件的E点,不妨设为E’点,那么只有可能△DE’N是以DN为斜边的等腰直角三角形,由此得E’(3.5,1.5).显然E’不在抛物线y=?x2+4x+5上,因此抛物

3

3

13

线y=?x2+4x+5上没有符合条件的其他的E点.

3

313

当a=?时,同理可得抛物线y=?x2+8x+10上没有符合条件的其他的E点.

9

92929

当E的坐标为(2,3),对应的抛物线解析式为y=?x2+4x+5时.

3

313

∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形,∴∠GNP=∠PBO=45°. 又∵∠NPG=∠BPO,∴△NPG∽△BPO. ∴

PGPN

?POPB

,∴PB·PG=PO·PN=2×7=14,∴总满足PB·PG<10

29

89

109

2

当E的坐标为(3.5,1.5),对应的抛物线解析式为y=?x2+x+

时,

2

同理可证得:PB·PG=PO·PN=2×7=14,∴总满足PB·PG<10

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