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18.1(1)函数的概念教案

发布时间:2014-01-06 14:36:55  

18.1 函数的概念(1)

教学目标

1、通过对描述地球的一些数量的分析、认识数量的意义,知道常用的数量;通过具体实例认识并分清变量和常量;

2、知道用运动、变化的观点看待事物,理解变化过程中的两个变量之间相互依赖的含义,从而理解函数的概念;知道函数的自变量以及函数解析式;

3、在合作交流中,激发学习的积极性,初步获得迁移类推和概括能力.

教学重点和难点

分清变量和常量、理解函数的概念. 课堂教学流程设计

教学过程设计

一、创设情境,激趣导入

1、同学们,你知道“数量”这个词的含义吗?

人们在认识和描述某一事物时,经常会用“量”来具体表达事物

些特征(属性),同时用“数”来表明量的大小.

数和度量单位合在一起,就是“数量”.

例如,我们居住的地球,可以用下列数量来描述它的一些特征: 平均半径 6371.22千米

表面积 510×106平方千米

体积 1083×109立方千米

质量 598×1019吨

地心最高温度 5000 ℃

自转一周所需的时间 23时56分4.1秒

绕太阳运行的平均速度 29.77千米/秒

??

在此例中,大家可以看到,这里所涉及的量,有长度,面积,体积,质量,温度,时间,速度等.

[说明] 教学中要注意,通过描述地球有关特征的一些数量,让学生回顾我们经常遇到的各种数量,如长度、面积、体积、速度、时间、温度等等.一个量是常量还是变量,一般是相对于某一个研究过程而言,要具体分析,不能绝对化.例如描述地球有关特征的那些数量,在地球漫长的演化过程中并不是固定不变的,但在一定时间内变化极小,在一般的科学问题研究中就把这些量看作常量.

二、尝试探讨,学习新知

1、问题1:地球上的赤道是一个大圆,半径长r0≈6.378×106

(米). 设想有一个飞行器环绕赤道飞行一周,其轨道 是与赤道在同

一平面且同圆心的圆E.如果圆E的周长比赤道的周长多a米,那么圆E

?

(1)在这个问题中,你看到了那些数量?

半径长r0≈6.378×106 (米)

圆E的周长比赤道的周长多a米

圆E的半径长r米

(2)请尝试用其他的量来表示出半径r的长度.

由题意“圆E的周长比赤道的周长多a米”,2?r?2?r0?a(米),得r?r0?a(米)2?.

(3)在问题研究的过程中,可以取不同数值的量叫做变量,保持数值不变的量叫做常量(或常数),那么你觉得在上面这个问题中,有哪些量是变量,哪些量是常量?

(4)可以看到,圆E的半径r与两圆周长的差a之间是相互联系的,由r?r0?a(米)2?可知,r随着a的变化而变化,而且当变量a取一个确定的值时,变量r的值随之也确定.这时我们就说变量r与a之间存在确定的依赖关系.

[说明] 问题1具体讨论有关长度的数量问题,引入变量与常量的概念.由于学生初次接触变量和常量的概念,教学时还可以增加几

个简单的贴近学生生活的事例,让学生认清变量和常量.要指出变化过程中的两个量不是孤立的,其中一个量随着另一个量的变化而变化,它们之间存在着确定的依赖关系;

2、问题2:一辆汽车行驶在国道上,汽车油箱里原有汽油120升,每行驶10千米耗油2升.

(1)填表

(2)在本题中哪些是常量,哪些是变量?

(3)设汽车行驶的路程为x千米,油箱里剩余的油量为y升,那么y与x之间是否存在确定的依赖关系?你能表示出来吗?

答:在这个问题中,汽车油箱里原有汽油120升,每行驶10千米耗油2升是常量;汽车行驶的路程x(千米)和油箱里剩余的油量y(升)都是变量.随着汽车行驶路程的增加,油箱里剩余的油量在减少,即变量y随着变量x的变化而变化.

由填表可知y=120-0.2x,当x取一个确定的数值时,y的值也随之确定,所以y与x之间存在着确定的依赖关系.

(4)本题中路程x的取值是任意的吗?如何考虑?

0≤x≤600

3、由刚才的两个问题,我们可以看到:在某个变化过程中有两个变量,设x为和y,如果在变量x的允许取值范围内,变量y随着x的变化而变化,那么变量y叫做变量x的函数 ,x叫做自变量 .

在问题2中,变量y是变量x的函数,x是自变量,其中y随着x变化而变化的依赖关系,是由“y=120-0.2x”表达出来的. 这种表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式.

[说明] 问题2让学生通过计算、填表,体会两个变量的相互联系、相互依赖的含义.在问题2中,还特意指出变量x的取值有范围限制.在讨论问题1、2的基础上,对函数的概念进行归纳.课本中描述函数时,以“变化过程”为背景,以“变量x的取值有范围”为前提,主要强调“两个变量之间存在着确定的依赖关系”.这个函数概念中没有涉及“对应法则”,与以前教材中所提出的函数的定义不一样,教学时不要进行补充和提升.但是要及时指出“函数解析式”的概念,它有助于学生理解“依赖关系”和“函数意义”.

例题1、2都是为了学生进一步理解函数的概念设计的.要引导学生体会,判断一个变量是不是另一个变量的函数,主要看这两个变量是不是存在着确定的依赖关系;而通过例题2,要让学生进一步看到,表达两个变量之间的依赖关系的方法,不是只有解析式,还有图、表,为学生进一步学习函数的表示方法留下伏笔.

在例题1的“边款”中,指出了函数解析式所表达的是“两个变量之间的依赖关系”,它与这两个变量用什么字母表示无关.教学时要对此讲解,但不要引进“同一函数”的概念.在例题2后“议一议”栏目中提出了“变量x+2是不是变量x的函数”,主要是为帮助学生深入认识函数的本质和建立“函数与式”之间的联系,可组织数学基础较好的学生进行讨论.

三、例题精析、深化理解

1、例题1 气温的摄氏度数x与华氏度数y之间可以进行如下

转化,华氏度数y是不是摄氏度数x的函数?为什么?

y?9x?325

解:在把摄氏度转化为华氏度的过程中,华氏度y随着摄氏度x

9y?x?的变化而变化;由 5 32 ,当x取一个值时,y的值也随之确定,

例如下表:

可见,变量y与x之间存在确定的依赖关系,y是x的函数, y?9x?32是这个函数的解析式. 5

2、例题2 下列变化过程中,两个变量之间是否存在确定的依

赖关系?其中一个变量是另一个变量的函数吗?

(1)某气象站测得当地某一天的气温变化情况如图所示:

)

-

答:(1)两个变量是时间t和温度T.可以看到,当时间t(时)变化时,相应的气温T(℃)也随之变化;由曲线上的一点的坐标(t,T),可知时刻t的气温是T.由此可见这两个变量之间也存在确定的依赖关系(通过曲线来表达),所以T是t的函数.

(2)两个变量是年份和人均绿化面积.由表可知,随着所列年份的变化,上海市区人均绿化面积也在变化;对于所列的每一个年份,在表格中都可以找到这一年人均绿化面积的数值.可见这两个变量之间也存在确定的依赖关系(通过列表来表达),所以人均绿化面积是年份的函数.

3、议一议:如果x是一个变量,那么x+2也是一个变量.试问,变量x+2是不是变量x的函数?

讨论并交流结果(抓住函数的概念来辨析)

四、反馈小结、巩固提高

通过本节课的学习你得到了哪些新知识,又有哪些收获?

五、学习训练与学习评价建议:

1、举出一个含有两个相关变量的实例,指出其中一个变量是否是另一个变量的函数.如果是,请把它们的依赖关系表达出来.

2、某校学生总人数1200,某天实际到校的学生人数n与学生的出勤率p是两个变量.试说明p是n的函数,并写出这个函数解析式.

3、已知物体匀速运动中,路程s、速度v、时间t之间有关系式s=vt.

(1)如果速度不变,那么这个式子里哪两个量是变量?这两个

变量中哪一个是自变量?哪一个是自变量的函数?如果时间不变呢?

(2)如果路程不变,试写出速度关于时间的函数解析式.

4、如图,线段AB=a,在垂直于AB的射线DE上有一个动点C(C与D不重合),分别联结CA、CB,得到△ABC.

(1)指出△ABC的面积的变化过程中,线段AB、CD的长哪个是常量?哪个是变量?

(2)设CD的长为h,△ABC 的面积为S,

S是不是h的函数?

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