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专题39直角三角形与勾股定理

发布时间:2014-01-06 16:57:02  

专题39:直角三角形与勾股定理

一、选择题

1.(浙江金华、丽水3分)如图,西安路与南京路平行,并且与八一

街垂直,曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉

口,准备去书店,按图中的街道行走,最近的路程约为

A、600m B、500m C、400m D、300m

【答案】 B。

【考点】平行的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理。

【分析】如图,由于BC∥AD,那么有∠DAE=∠ACB,由题意可知

∠ABC=∠DEA=90°,BA=ED,利用AAS可证△ABC≌△DEA,于是

AE=BC=300,再利用勾股定理可求

?500,从而可求

得CE=AC﹣AE=200。根据图可知从B到E的走法有两种:①BA+AE=700;②BC+CE=500。∴最近的路程是500m。故选B。

2.. (辽宁本溪3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8,

DE是△ABC的中位线,则DE的长度是

A、3 B、4 C、4.8 D、5

【答案】A。

【考点】勾股定理,三角形中位线定理。

3.(辽宁丹东

3分)如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,BE平∠ABC,ED垂直平分AB于D,若AC=9,则AE的值是

A

...6 D.4

【答案】C。

【考点】角平分线的定义,线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理。

【分析】由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE,再根据线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等的

1

性质得到EA=EB,则∠A=∠ABE,可得∠CBE=30°,根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC,即AE=2EC,由AE+EC=AC=9,即可求出AE=6。故选C。

4.(黑龙江龙东五市3分)在△ABC中,BC:AC:AB=1:1:2,则△ABC是

A、等腰三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

【答案】D。

【考点】等腰直角三角形的判定,勾股定理逆定理。

【分析】根据题意设三边分别为k、k、

,,则BC2?AC2?AB2,根据勾股定理的逆定理可判定三角形为直角三角形,又有BC=AC,所以三角形为等腰直角三角形。故选D。

5. (江苏常州、镇江2分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,

CD⊥AB,垂足为D。若AC=5,BC=2,则Sin∠ACD的值为

A.3 B.252 C. D. 523

【答案】A。

【考点】直角三角形的性质, 锐角三角函数,勾股定理。

【分析】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=,BC=2,∴根据勾股定理,得AB

3。又∵由直角三角形两锐角互余的性质,得∠ACD=90°-∠A=∠B,∴Sin∠ACD

AC?。故选A。 AB=Sin

∠B=

6.(广东台山3分)如图,是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成

的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用X、Y表示直

角三角形的两直角边(X>Y),请观察图案,指出以下关系式中不正确的是

A、X+Y=49 B、X-Y=2 C、2XY+4=49 D、X+Y=13

【答案】D。

【考点】勾股定理,代数式变形。

【分析】A、由勾股定理可知,X+Y=49成立,选项正确。

B、因为小正方形的面积为4,因此边长2。从图中可知直角三角形的两直角边之差等于小正方形的边长,即X

Y=2,选项正确。 2222

2

C、由B有X-2XY+Y=2,即49-2XY=4,即2XY+4=49,选项正确。

D、因为(X+Y)=X+2XY+Y=X+Y+2XY=49+45=94,所以X+Y

,因此选项错误。故选D。

7.(广东肇庆3分)

A.6 B.12 C

【答案】B。

【考点】正六边形的性质,勾股定理。

【分析】根据正六边形每一边所对的圆心角是60的性质,∠AOB=30,所以AB=1,它的边长是2,它的周长是12。故选B。

8.(湖北黄石3分)将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3c的纸带边沿上,另一个顶点

纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°

角,如图,则三角板的最大边的长为

A. 3cm B. 6cm

C.cm

D. cm

【答案】D。

【考点】含30角的直角三角形的性质,等腰直角三角形的判定,勾股定理。

【分析】过点C作CD⊥AD,∴CD=3。

在直角三角形ADC中,∵∠CAD=30°,∴AC=2CD=2×3=6。

又三角板是有45°角的三角板,∴AB=AC=6。

∴BC=AB+AC=6+6=72

,∴BC=D。

9.(四川攀枝花3分)如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,点E、

F分别为AC和AB的中点,则EF=

A、3

【答案】

【考点】三角形中位线定理,勾股定理。

【分析】∵直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,

B、4 C、5 D、6 2222200022222222D

. 3

6。

∵点E、F分别为AB、AC的中点,∴EF是△ABC的中位线。 ∴EF=11BC=×6=3。故选A。 22

10.(四川遂宁4分)如图:在△ABC中,∠ACB=90°,CD?AB

于点D,下列说法中正确的个数是

①AC·BC=AB·CD ②AC=AD·DB ③BC=BD·BA ④CD=AD·DB

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【答案】C。

【考点】直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质。

【分析】①由△ADC∽△ABC,得AC:AB=DC:BC,即AC·BC=AB·CD,成立;②由△ADC∽△ABC,得AC:AB=AD:AC,即AC=AD·AB>AD·DB,不成立;③由△CBD∽△ABC,得BC:BA=BD:BC,即BC=BD·BA,成立;④由△ACD∽△CBD,得CD:BD=AD:CD,即CD=AD·DB,成立。故选C。

二、填空题

1.(浙江温州5分)我国汉代数学家赵爽为了证

明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为

“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,

它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中

正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积

分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=10,则S2的值是

▲ . 【答案】22222210。 3

【考点】勾股定理的应用。

【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系,

从而利用勾股定理求出各边之间的关系,得出答案:

∵图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,

∴CG=NG,CF=DG=NF。

∴S1=(CG+DG)=CG+DG+2CG?DG=GF+2CG?DG,

S2=GF,

S3=(NG﹣NF)=NG+NF﹣2NG?NF。

∴S1+S2+S3=10=GF+2CG?DG+GF+NG+NF﹣2NG?NF=3GF。

4

2222222222222

S?S2?S310∴S2的值是:1?。 33

2.(辽宁抚顺3分)如图所示,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,

且∠AFB=90°,若AB=5,BC=8,则EF的长为 ▲ _. 【答案】3。 2

【考点】三角形中位线的性质,直角三角形斜边上中线的性质。

【分析】由于DE为△ABC的中位线,BC=8,从而根据三角形中位线平行于第三边并且等于第三边一半的性质,得DE=4;又由于∠AFB=90°,点D为AB的中点,AB=5,从而根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质,得DF=553。因此EF=DE-DF=4-=。 222

3.(吉林长春3分)如图,在△ABC中,∠B=30°,ED垂直平分

BC,ED=3.则CE的长为 ▲ .

【答案】6。

【考点】线段垂直平分线的性质, 含30度角的直角三角形的

性质。

【分析】由ED垂直平分BC,即可得BE=CE,∠EDB=90°,又由直角三角形中30°角所对的直角边是 其斜边的一半,即可求得BE的长:∵BE=2DE=6,∴CE=6。

4.(黑龙江哈尔滨3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90,点D

是斜边AB的中点,DE⊥AC, 垂足为E,若DE=2,CD=25,则

BE的长为 ▲

【答案】

【考点】三角形中位线定理,勾股定理,

【分析】由点D为AB的中点,DE⊥AC,DE=2,由求得BC=4,在Rt△CDE中由勾股定理求得CE=4,在Rt△CEB中由勾股定理求得

5.(黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分)已知三角形相

邻两边长分别为20cm和30cm,第三边上的高为10cm,则此三角形的面积为 ▲ .

5

【答案】 cm。

【考点】勾股定理。

【分析】考虑两种情况,一种为锐角三角形,一种为钝角三角形,然后根据勾股定理求得第三边,从而求得三角形面积。由题意作图,则设AB=30cm,AC=20cm, AD=10cm。

当三角形为锐角三角形时,在Rt△ABD中应用勾

股定理,得

? cm,

同理得

, 则S?ABC?BC?AD=21

211?

BD+CD??AD=?10?2。 22?

当三角形为钝角三角形时,同样可得

BD?,

, 则S?ABC?BC?AD=1

211?

BD?CD??AD=?10?2。 22?

6.(湖南湘西3分) 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=3,AC=4,则AB的长是 ▲ .

【答案】5。

【考点】勾股定理。

【分析】在直角△ABC中,∵∠C=90°,∴AB为斜边,则AB=BC+AC,

∵BC=3,AC=4,∴AB= BC+AC=5。

7. (江苏无锡2分 )如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E、

F分别是AB、BC、CA的中点,若CD=5cm,则EF= ▲ cm.

【答案】5。

【考点】三角形中位线性质和直角三角形性质。

【分析】根据三角形中位线等于第三边一半的性质和直角三角

形斜边上中线等于斜边一半的性质,直接得出结果:EF=AB?22222C 1

21?2CD?CD?5。 2

8.(广东佛山3分)在矩形ABCD中,两条对角线AC、BD相交于点O,若AB=OB=4,则AD= ▲ ;

【答案】。

【考点】矩形的性质,勾股定理。

6

?BD?8 。?在Rt?ABD中,应用勾股定理得AD

【分析】如图,?OBO?4 ,9.(广东肇庆3分)

在直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=12,

AC=9,则【答案】15。

【考点】勾股定理。

【分析】根据勾股定理,直接得出结果:AB15。

10.(江西省B卷3分)一块直角三角板放在两平行直线上,如图所

示,∠1+∠2= ▲ 度.

【答案】90。 【考点】对顶角的性质,直角三角形两锐角的关系。

【分析】如图,根据对顶角相等得到∠1=∠3,∠2=∠4,而三角形尺为

直尺,由直角三角形两锐角互余的性质,即可得到∠1+∠2=90°。

11.(四川巴中3分)直角三角形的斜边长为l3,一直角边长为12,另

一直角边长是方程(a?2)x?5?0的根,则a的值为 ▲ .

【答案】?1。

【考点】勾股定理,方程的根和解一元一次方程。

)??5【分析】由勾股定理可得直角三角形的另一直角边长5,代入(a?2x

5(a?2)?5?0?a??1。

0得

12.(四川德阳3分)如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=12.BC=16,点O为△ABC的内心,点M为斜边AB的中点,则OM的长为 ▲

【答案】

【考点】三角形内心的性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,正方

形的判定和性质。

【分析】如图,作三边的垂线并连接AO,设AD=a。

∵∠C=90°,AC=12.BC=16,∴由勾股定理,得AB=20。

∵点

O为△ABC的内心,∴AE=AD,CE=CF,BD=BF。

则AE=AD=a,CE=CF=12-a, BF=16-(12-a)=4+a,

7

又BD=20-a,∴4+a=20-a,a=8。

∴AD=8,OD=OE=OF=CE=12-8=4。

又∵点M为斜边AB的中点,∴AM=10,DM=10-8=2。

∴Rt△ODM中,由勾股定理,得

OM=

13. (江西省A卷3分)如图所示,两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起,且∠DAB=30°.有以下四个结论:①AF丄BC;②△ADG≌△ACF;③O为BC的中点;④AG:DE=

【答案】①②③④。

【考点】含30度角的直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理。

【分析】∵两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起,且∠DAB=30°. ∴∠CAF=30°,∴∠GAF=60°,∴∠AFB=90°,①AF丄BC正确;

∵AD=AC,∠DAG=∠CAF,∠D=∠C=60°,∴②△ADG≌△ACF正确;

∵△ADG≌△ACF,∴AG=AF,∵AO=AO,∠AGO=∠AFO=90°,∴△AGO≌△AFO,∴∠OAF=30°,∴∠OAC=60°,∴AO=CO=AC,BO=CO=AO,∴③O为BC的中点正确;

假设DG=x,∵∠DAG=30°,∴AG=x,∴GE=3x,∴④AG:

4正确。 故答案为:①②③④。

14.(新疆自治区、兵团5分)如图,△ABC是等边三角形,AB=4cm,则BC边上 的高AD等于_ ▲ cm.

【答案】

【考点】等边三角形的性质,勾股定理。

【分析】∵△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,∴∠BAD=30°。

在Rt△ABC中,AB=4

,∴BD=2。∴AD=??

15.(贵州遵义4分)如图,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正 方形的三个顶点,可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是 ▲ .

:4,其中正确结论的序号是 ▲ .

8

【考点】勾股定理,等腰三角形的性质。

【分析】根据网格的特点和勾股定理,可得

?过点A作AD⊥BC,垂足为点D,则根据等腰三角形三线合一的性质,得

Rt△ABD中应用勾股定理,得

三、解答题

? 1.(北京5分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若AC=2,CE=4,求四边形ACEB的周长.

【答案】解:∵∠ACB=90°,DE⊥BC,∴AC∥DE。

又∵CE∥AD,∴四边形ACED是平行四边形。

∴DE=AC=2。

Rt△ADE中,由勾

股定理

CD?

∵D是BC

在△ABC

中,∠ACB=90°,由勾股定理得AB ∵D

是BC的中点,DE⊥BC,∴EB=EC=4.

∴四边形ACEB的周长。

【考点】平行四边形的判定和性质,勾股定理,线段垂直平分线的性质。

【分析】先证明四边形ACED是平行四边形,可得DE=AC=2.由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长,从而求出四边形ACEB的周长。

2.(湖南湘西6分)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,∠B=60°,∠C=45°.

(1)求∠BAC的度数。

(2

)若

AC=2

,求AD的长。

【答案】解: (1)∠BAC=180°-60°-45°=75°

(2) ∵AD⊥BC。∴△ADC是直角三角形,

9

又∵∠C=45°, ∴AD=DC

∴根据勾股定理,得2AD=AC,即2AD=4,

【考点】三角形内角和定理,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理。

【分析】(1)根据三角形内角和定理,即可推出∠BAC的度数。

(2)由题意可知AD=DC,根据勾股定理,即可推出AD的长度。

3.(山东济南4分)如图,在△ABC中,∠C=90o,∠ABC=30o,AC=m,

延长CB至点D,使BD=AB.

①求∠D的度数;②求tan75o的值.

【答案】解:①∵BD=AB,∠ABC=30o,∴∠D=22211∠ABC=×30o=15o。 22

②在△ABC中,∠C=90o,∠ABC=30o,AC=m,

∴AB=2m,CB

?。

由①知∠DAC=75o。

在△ADC中,∠C=90o,∠DAC=75o o,AC=m,CD

=2m2?m, ?2?m2CD

∴tan75o=tan∠DAC=。 ??AC2m2

【考点】三角形外角定理,等腰三角形的性质,30 o角直角三角形的性质,勾股定理,正切函数的定义。

【分析】①应用三角形的外角等于和它不相邻的两内角之和的定理,等腰三角形底角相等的性质得出结果。

②要求tan75o,由①知只要求tan∠DAC,根据正切函数的定义只要求出它的对边和邻边即可,它们可由已知和30 o角直角三角形的性质,勾股定理求出。

4.(四川广安10分)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造,测得两直角边

长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三

角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.

【答案】解:如图,在Rt△ABC中,∵AC=8m,BC=6m,

∴AB=10m,

(1)当AB=AD时,CD=6m,△ABD的周长为32m。

?

?

10

(2)当AB=BD时,CD=4m,

AD=,△ABD的周长是(

20+m。

(3)当DA=DB时,设AD=x,则CD=x-6,则x2?(x?6)2?82,∴x?∴△ABD的周长是25。 380m, 3

80m。 3答:扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或

20+或

【考点】直角三角形和等腰三角形的性质,勾股定理。

【分析】分AB=AD,AB=BD,DA=DB三种情况讨论即可。

11

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