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专题45梯形

发布时间:2014-01-06 16:57:01  

专题45:梯形

一、选择题

1. (北京4分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,若AD=1,BC=3,则的值为

A、AOCO1 2B、11C、 3 4 D、1 9

【答案】B。

【考点】梯形的性质,相似三角形的判定和性质。

【分析】根据梯形对边平行的性质易证△AOD∽△COB,然后利用相似三角

形的性质即可得到AO:CO的值:∵四边形ABCD是梯形,∴AD∥CB,∴△AOD∽△COB,∴

∴ADAO。又∵AD=1,BC=3, ?BCCOAO1?。故选B。 CO3

2.(浙江台州4分)在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90o,对角线AC、BD

相交于点O.下列条件中,不能判断对角线互相垂直的是..

A.∠1=∠2 B.∠1=∠3

C.∠2=∠3 D.OB+OC=BC

【答案】B。

【考点】梯形的性质,平行的性质,勾股定理的逆定理。

【分析】所给的关于角的条件,只要能得出∠1+∠2=90°的均满足题意,另外D选项运用勾股定理的逆定理即可作出判断:A、若∠1=∠4,由∠4+∠2=90°,则∠1+∠2=90°,选项正确;B、∠1=∠3得不出∠1+∠2=90°,不符合题意,选项错误;C、∠2=∠3,则∠1+∠2=∠1+∠3=90°,选项正确;D、根据勾股定理的逆定理可得,此选项符合题意,选项正确。故选B。

3.(广西来宾3分)在直角梯形ABCD中(如图所示),已知AB∥DC,∠DAB=90°,

∠ABC=60°,EF为中位线,且BC=EF=4,那么AB=

A、3 B、5 C、6 D、8 222

【答案】B。

【考点】梯形中位线定理,含30度角的直角三角形的性质。

1

【分析】作CG⊥AB于G点,∵∠ABC=60°,BC=EF=4,∴BG=2。

设AB=x,则CD=x﹣2,∵EF为中位线,∴AB+CD=2EF,即x+x﹣2=8,解得x=5。故选B。

4.(广西柳州3分)如图,阴影部分是一块梯形铁片的残余部分,量得∠A=100o,∠B=115o,则 梯形另外两个底角的度数分别是

A.100o、115o

C.80o、115o

【答案】D。

【考点】梯形和平行线的性质。

【分析】根据梯形一组对边平行另一组对边不平行的性质,由于∠A=100o,∠B=115o,所以AD和BC不平行,从而得AB∥DC,因此根据平行线同旁内角互补的性质,得∠D=180o-∠A=180o-100o=80o,

∠C=180o-∠B=180o-115o=65o。故选D。

5.(广西钦州3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=3CD,对角线

AC、BD交于点O,中位线EF与AC、BD分别交于M、N两点,则图中阴 影部分的面积是梯形ABCD面积的

1A. 2

【答案】C。

【考点】梯形和三角形中位线的性质,相似三角形的判定和性质。

【分析】设CD=a,AB=3a,梯形ABCD的高为h,则根据梯形和三角形中位线的性质,相似三角 形的判定和性质可得:梯形ABCD面积S梯形ABCD?1B. 31C. 44D 7B.100o、65o D.80o、65o 11?a?3a?h?2ah。△OCD的底边长为a,高为h, 23

11111113113面积S?OCD??a?h?ah;△OMN的底边长为a,高为h?h?h,面积S?OMN??a?h?ah; 23623622682

111111△AEM和△BFN的底边长为a,高为h,面积S?AEM?S?BFN??a?h?ah;因此图中阴影部 222228

1111分的面积为ah?3?ah?ah,它是梯形ABCD面积2ah的。故选C 4682

6.(湖南长沙3分)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,

AD=2,BC=4,则梯形的面积为

A.3 B.4 C.6 D.8

【答案】 A。

2

【考点】等腰梯形的性质,等腰直角三角形的性质。

【分析】过A作AE⊥BC交BC于点E。∵四边形ABCD是等腰梯形.

∴BE=(4-2)÷2=1。∵∠B=45°,∴AE=BE=1。∴梯形的面积为: 1×(2+4)×1=3。故选A。 2

7.(山东烟台4分)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点E、F、G分别是

BD、AC、DC的中点. 已知两底差是6,两腰和是12,则△EFG的周长是

A.8 B.9 C.10 D.12

【答案】B。

【考点】三角形中位线的性质。

【分析】如图,延长EF,交BC于点H,则由图和已知知,EG、FG、

EH、FH分别是BC、AD、DC、AB的中位线,根据三角形中位线等于第三边一半的性质,得△EFG的周长=EG+FG+EF=11111?BC+AC???EH?FH???BC+AC???DC?AB???12??6?9。故选B。 22222

8.(山东济南3分)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线

AC、BD相交于点O.下列结论不一定正确的是 .....

A.AC=BD B.∠OBC=∠OCB

C.S△AOB=S△COD D.∠BCD=∠BDC

【答案】D。

【考点】等腰梯形的性质,全等三角形的判定和性质。

【分析】A.根据等腰梯形对角线相等的性质,得AC=BD,∴选项正确;B.根据等腰梯形腰和同一底上的底角相等的性质以及全等三角形SAS的判定,得△ABC≌△DCB,从而由全等三角形对应角相等的性质,得∠OBC=∠OCB,∴选项正确;C.由△ABO≌△DCO,得S△AOB=S△COD,

∴选项正确;D.∵BD不一定等于BC,∴∠BCD不一定等于∠BDC,∴选项不

一定正确。故选D。

9.(山东潍坊3分) 已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,BC=CD=2AD,

E、F分别是BC、CD边的中点,连接BF、DE交于点P,连接CP并延长交AB于

点Q,连接AF,则下列结论不正确的是. ...

A.CP平分∠BCD B.四边形ABED为平行四边形

C.CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分 D.△ABF为等腰三角形

【答案】C。

3

【考点】直角梯形的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质。

【分析】用排除法证明,即证明A、B、D正确,C不正确:A.易证△BCF≌△DCE(SAS),∴∠FBC=∠EDC,BF=ED,∴△BPE≌△DPF(AAS),∴BP=DP,∴△BPC≌△DPC(SSS),∴∠BCP=∠DCP,即A正确;

B.∵AD=BE且AB∥BE,∴四边形ABED为平行四边形,B正确;D.∵BF=ED,AB=ED,∴AB=BF,即D正确。综上,选项A、B、D正确。故选C。

10.(山东临沂3分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.AD=2,BC=6,∠B=60°,则梯形ABCD的周长是

A、12 B、14 C、16 D、18

【答案】C。

【考点】等腰梯形的性质,含30度角的直角三角形的性质。

【分析】从上底的两个端点向下底作垂线,构造直角三角形和矩形,求得直

角三角形的直角边的长利用已知的锐角的度数求得等腰梯形的腰长,然后求

得等腰梯形的周长::作AE⊥BC于E点,DF⊥BC于F点,

∵AD∥BC,∴四边形AEFD为矩形,∵AD=2,BC=6,∴EF=AD=2,BE=CF=(6

﹣2)÷2=2,∵∠B=60°,

∴∠BAE=30°,∴AB=DC=2BE=2×2=4,∴等腰梯形的周长为:AB+BC+CD+DA=4+6+4+2=16。故选C。

11.(山东淄博3分)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=1,BD平分

∠ABC,

BD⊥CD,则AD+BC等于

A.2

【答案】B。

【考点】角平分线的性质,平行的性质,等腰三角形的判定,等腰梯形的性质,垂直的性质,三角形内角和定理,含30角的直角三角形的性质。

【分析】∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC。又∵AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB。∴∠ABD=∠ADB。 ∴AD=AB=1。

又∵等腰梯形ABCD,∠C=∠ABC=2∠DBC。又∵BD⊥CD,∴∠CDB=90。∴∠DBC=30。 ∴BC=2DC=2。

∴AD+BC=1+2=3。故选B。

000 B.3 C.4 D.5

4

12. (湖北武汉3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,

AD=DC=CB,若∠ABD=25°,则∠BAD的大小是

A.40°. B.45°. C.50°. D.60°.

【答案】C。

【考点】等腰梯形的性质,等腰三角形的性质,平行的性质

【分析】∵AB∥DC,AD=DC=CB,∠ABD=25°,∴∠CBD=∠CDB=∠ABD=25°,

∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=50°,

又梯形ABCD中,AD=DC=CB,∴为等腰梯形。∴∠BAD=∠ABC=50°。

13.(湖北宜昌3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,点E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则下列结论一定正确的是

A、∠HGF=∠GHE C、∠HEF=∠EFG B、∠GHE=∠HEF D、∠HGF=∠HEF

【答案】D。

【考点】等腰梯形的性质,三角形中位线定理,平行四边形的判定和性质。

【分析】利用三角形中位线定理证明四边形HEFG是平行四边形,从而可

以得到结论:连接BD,∵E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA的中点,∴HEGE=1BD,∴四边形HEFG是平行四边形,∴∠HGF=∠HEF。故选D。 2

14.(四川遂宁4分)如图:等腰梯形ABCD中 ,AD∥BC,AB=DC,

AD=3,AB=4,∠B=60,则梯形的面积是 A.10 B.203 C.6?4 D.12?8

【答案】A。 ?【考点】等腰梯形的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,矩形的判定和性质。

【分析】过A作AE⊥BC于E,过D作DF⊥BC于F,

∵AE⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF。

∵AD∥BC,∴四边形AEFD是矩形。

∴AD=EF=3。

5

∵∠B=60°,∠AEB=90°,AB=4,

∴AE=ABsin60°=41?4??2. 2

根据等腰梯形的的对称性,得CF=BE=2,∴BC=7。

11∴梯形的面积

= (?AD?BC)?AE??(3?7)?A。 22

15.(四川绵阳3分)已知等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD相交于O,∠ABD = 30?,AC⊥BC,AB = 8 cm,则△COD的面积为

A.42224222cm B.cm C.cm D.cm 3333

【答案】A。

【考点】等腰梯形的性质,三角形内角和定理,含30度角的直角三角形的性质,矩形的判定和性质,平行的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。

【分析】如图,作DE⊥AB于E,CF⊥AB于E,OG⊥CD于E。

∵AC⊥BC,∴根据等腰梯形的轴对称性,得∠ADB = 90?。

又∵∠ABD = 30?,AB = 8 cm,∴AD=4 cm,∠ADE = 30?。

∴AE=BF=2 cm。∴EF=4 cm。

∵EFCD是矩形,∴DC= EF=4 cm。

∵AB∥CD,∴∠CDO = ∠ABD = 30?。

又∵根据等腰梯形的轴对称性,OC=OD,∴DG=CG=2 cm。

∴OG=DG·tan30?=

故选A。

16.(宁夏自治区3分)等腰梯形的上底是2cm,腰长是4cm,一个底角是60°,则

等腰梯形的下底是

A、5cm B、6cm C、7cm D、8cm 2112(cm)。∴△COD

的面积为?DC?OG??4(cm)。 ?223

【答案】B。

【考点】等腰梯形的性质,平行四边形的判定和性质,平行的性质,等边三角形的判定和性质。

【分析】过D作DE∥AB交BC于E,

∵DE∥AB,AD∥BC,∴四边形ABED是平行四边形(平行四边形的定义)。

∴AD=BE=2cm,DE=AB=4cm,(平行四边形的性质);∠DEC=∠B=60°(平行的性质)。

6

又∵DE= DC,∴△DEC是等边三角形(等边三角形的判定)。

∴EC=CD=4cm(等边三角形的性质)。∴BC=4cm+2cm=6cm。故选B。

17.(新疆乌鲁木齐4分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AC⊥BD于点

O,∠BAC=60°,若

,则此梯形的面积为

A.2

【答案】D。

【考点】等腰梯形的性质,轴对称的性质,等腰直角三角形的判定和性质,锐角三角函数,勾股定理,特殊角的三角函数值。

【分析】由等腰梯形轴对称的性质,知点O在其对称轴上,因此OB=OC,OD=OA。

∵AC⊥BD,∴△OBC和△OAD是等腰直角三角形。

∴由

,根据勾股定理,可得

在Rt△AOB中,由∠BAC=60°,

,根据正切函数定义,可得OA= OD =1。

∴此梯形的面积为四个直角三角形面积的和:

故选D。

二、填空题

1.(重庆江津4分)在梯形ABCD中,AD∥BC,中位线长为5,高为6,则它的面积是 ▲ .

【答案】30。

【考点】梯形中位线定理。

【分析】利用梯形的中位线的定义求得两底和,在利用梯形的面积计算方法计算即可:

∵中位线长为5,∴AD+BC=2×5=10。 ∴梯形的面积为:B

.1C

D

.2 12

1?1?2?1?2? 1×10×6=30。 2

2.(辽宁本溪3分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC⊥BD于点O,过

点A作AE⊥BC于点E,若BC=2AD=8,则tan∠ABE= ▲ 。

【答案】3。

【考点】等腰梯形的的性质,平行的性质,锐角三角函数,勾股定理。

【分析】过D点作DF∥AC交BC的延长线与点F,构造等腰直角三角形后求得AE的长和BE

的长,利用

7

锐角三角函数的定义求解即可:

∵在梯形ABCD中,BC=2AD=8,∴AE=2。

∵AC⊥BD于点O,∴BD⊥FD。

∵AD∥BC,∴AD=CF。∴BF=BC+CF=8+4=12。

∵AC=BD,∴BD=DF。

∴AC=BD

2AE?,A E=6。 2?2

AE6??3 。 BE2

3.(广西桂林3分)如图,等腰梯形ABCD中,AB∥DC,BE∥AD,梯形ABCD的周长为26,DE=4,则△BEC∴tan∠ABE=的周长为 ▲ .

【答案】18。

【考点】等腰梯形的性质,平行四边形的判定和性质。

【分析】由AB∥DC,BE∥AD,即可证得四边形ADEB是平行四边形,则可得AD=BE,AB=DE,又由梯形ABCD的周长为26,即AD+CD+BC+AB=AD+DE+EC+BC+AB=BE+2DE+EC+BC=26和 DE=4,即可求得△BEC的周长:BE+EC+BC=18。

4.(广西南宁3分)如图是一块梯形铁片的残余部分,量得∠A=100o,则梯形残

缺底角的度数是 ▲ .

【答案】80o。

【考点】梯形的性质,平行线的性质。

【分析】补全梯形,根据梯形的性质,知DC∥AB,从而根据平行线同旁内角互

补的性质,得梯形残缺底角的度数是180o-100o=80o。

5.(湖南邵阳3分)如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,

AD=BC,AC⊥BC,∠B=60°,BC=2cm,则上底DC的长是 ▲

cm.

【答案】2。

【考点】等腰梯形的性质,平行线的性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质。

【分析】∵AB∥DC,∴∠DCA=∠CAB。

∵AC⊥BC,∠B=60°, ∴∠DAC=∠CAB=30°。

∴∠DCA=30°=∠DCA 。∴AD=CD 。

8

∵AD=BC =2 ∴CD=2。

6.(江苏南京2分)等腰梯形的腰长为5㎝,它的周长是22㎝,则它的中位线长为 ▲ ㎝.

【答案】6。

【考点】等腰梯形的中位线。

【分析】由已知,等腰梯形的周长=上底+下底+2×腰长=上底+下底+10=22,即上底+下底=12。从而中位线=(上底+下底)÷2=6。

7.(江苏盐城3分)将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上,

图示画线得到四边形ABCD,则四边形ABCD的形状是 ▲ .

【答案】等腰梯形。

【考点】矩形的性质,平行线的性质,相似三角形的性质,等腰梯形的判定。

【分析】根据矩形的性质,有AB∥CD??DCB等于三角板较大锐角(内错角相等),等于∠ABC(相 似三角形对应角相等),且AB≠CD,从而得证四边形ABCD的形状是等腰梯形。

8.(江苏宿迁3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠ADC

的平分线与∠BDC的平分线的交点E恰在AB上.若AD=7cm,

BC=8cm,则AB的长度是 ▲ cm.

【答案】15。

【考点】平行的性质,角的平分线定义,等腰三角形的性质。

【分析】∵AB∥DC,∴∠EDC=∠AED,∠ECD=∠BEC。

又∵DE平分∠ADC,CE平分∠BDC,∴∠EDC=∠ADE,∠ECD=∠BCE。

∴∠AED=∠ADE,∠BEC=∠BCE。

∴AD=AE=7cm,BC=BE=8cm,AB=AE+BE=15cm。

9.(江苏连云港3分)一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8,则这个等腰梯形的对角长为_ ▲ .

【答案】

【考点】等腰梯形,翻转,勾股定理。

【分析】等腰梯形两组对边中点所连线段,实际上两底的中点所连线段是等

腰梯形的高,即图中BE;两腰中点所连线段是等腰梯形上底与下底和的一半,

9

即111?AB?DC?,把?BCE翻转到?DAF,这样?AB?DC?=?FB?DE?=DE。 222

等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8可表示为DE2?BE2=8,而在Rt?BDE

中,DE2?BE2=BD2。从而BD

10. (湖北十堰3分)如图等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB//DE,BC=8,

AB=6,AD=5,则△CDE的周长是 ▲ .

【答案】15。

【考点】等腰梯形的性质,平行四边形的判定和性质。

【分析】根据等腰梯形的性质可得到DE将梯形分为一个平行四边形和一个等腰三角形,则可求△CDE的周长:∵AD∥BC,AB∥DE,∴ABED是平行四边形。∴DE=CD=AB=6,EB=AD=5。∴CE=8-5=3。∴△CDE的周长是6+6+3=15。

11.(湖北荆州4分)请将含60°顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形

面积相等的六部分,用实线画出分割后的图形【答案】

【考点】作图(应用与设计作图)。

【分析】整个图形含有36个小菱形,分为面积相等的六部分,则每一个部分含6个小菱形,由此设计分割方案。本题答案不唯一。

12.(湖北咸宁3分)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=4,点

E在AB边上,且CE平分∠BCD,DE平分∠ADC,则点E到CD的距离为 ▲ .

【答案】

【考点】直角梯形的性质,角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,勾股定理。

【分析】过点E作EF⊥CD于F,过点D作DH⊥BC于H,

∵AD∥BC,AB⊥BC,∴∠A=∠B=90°。

∵CE平分∠BCD,DE平分∠ADC,

10

∴AE=EF,BE=EF。∴EF=AE=BE=1AB, 2

∴△ADE≌△FDE,△CEF≌△CEB,

∴DF=AD=2,CF=CB=4。∴CD=6。

∵AB⊥BC,DH⊥BC,AD∥BC,∴∠A=∠B=∠BHD=90°。∴四边形ABHD是矩形。 ∴DH=AB,BH=AD=2。∴CH=BC﹣BH=2。

在Rt△DHC中,

?

∴点E到CD的距离为

13.(内蒙古呼和浩特3分)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,

CE是∠BCD的平分线,且CE⊥AB,E为垂足,BE=2AE,若四边形AECD

的面积为1,则梯形ABCD的面积为 ▲ . 【答案】15。 7

【考点】角平分线和垂直的定义,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,三角形的面积,梯形的面积,一元一次方程的应用。

【分析】延长BA与CD,交于F,

∵CE是∠BCD的平分线,∴∠BCE=∠FCE。

∵CE⊥AB,∴∠BEC=∠FEC=90°。

∵EC=EC,∴△BCE≌△FCE(ASA)。∴BE=EF。

∵BE=2AE,∴BF=4AF。 S1?AF?又∵AD∥BC,∴△FAD∽△FBC。∴?FAD=?。 ??S?FBC?BF?16

设S△FAD=x,S△FBC=16x,S△BCE=S△FEC=8x,∴S四边形AECD=7x。 2

1。 7

15∴梯形ABCD的面积为:S△BCE+S四边形AECD=15x=。 7∵四边形AECD的面积为1,∴7x=1,∴x=

14.(四川达州3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD交于点O,则S△AOD ▲ S△BOC.(填“>”、“=”或“<”)

11

【答案】=。

【考点】梯形的性质,三角形的面积。

【分析】由题意得:△ABD和△ABC的同底等高,∴S△ABD和S△ABC相等。

∴S△AOD=S△ABD-S△AOB=S△ABC-S△AOB=S△BOC。

15.(四川眉山3分)如图,梯形ABCD中,如果AB∥CD,AB=BC,∠D=60°,

AC丄AD,则∠B= ▲ .

【答案】120°。

【考点】三角形内角和定理,平行线的性质,等腰三角形的性质。

【分析】由∠D=60°,AC丄AD,得到∠ACD=30°,

由AB∥CD,根据平行线内错角相等的性质得到∠BAC=∠ACD=30°,

又因为AB=BC,根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠BCA=∠BAC=30°,

最后根据三角形的内角和定理计算出∠B=180-2×30°=120°。

16.(辽宁营口3分)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD∶BC=1∶2,AE⊥BC,垂足为E,连结BD交AE于F,则△BFE的面积与△DFA的面积之比为 ▲ .

【答案】1∶4。

【考点】等腰梯形的性质,平行四边形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。

【分析】过点A作AM∥DC,交BC于M,则由AD∥BC得,四边形ADCM是平

行四边形。所以由等腰梯形ABCD中,AD∶BC=1∶2得AM=DC=AB,

BM=MC=AD。由AD∥BC,根据等腰三角形三线合一的性质,得BE=EM,

即BE∶DA=1∶2。

由AD∥BC,得△BFE∽△DFA,因此根据相似三角形的面积

比等于相似比平方的性质,得△BFE的面积与△DFA的面积之比为1∶4。

17.(福建福州4分)如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,则∠A+∠B+∠C=

▲ 度.

【答案】270°。

【考点】直角梯形的性质,平行线的性质,

【分析】根据平行线的性质得到∠A+∠B=180°,由已知∠C=90°,相加即可求出答案

:0

12

∠A+∠B+∠C=180°+90°=270°。

三、解答题

1.(重庆10分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD.过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连接EG、AF.

(1)求EG的长;

(2)求证:CF=AB+AF.

【答案】解:(1)∵BD⊥CD,∠DCB=45°,∴∠DBC=45°=∠DCB。

∴BD=CD=2,在Rt△BDC中

??

∵CE⊥BE,点G为BC的中点,∴EG=

∴EG

(2)证明:在线段CF上截取CH=BA,连接DH

∵BD⊥CD,BE⊥CE,

∴∠EBF+∠EFB=90°,∠DFC+∠DCF=90°。

∵∠EFB=∠DFC,∴∠EBF=∠DCF。

∵DB=CD,BA=CH,∴△ABD≌△HCD(SAS)。∴AD=DH,∠ADB=∠HDC。

∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=45°。∴∠HDC=45°。∴∠HDB=∠BDC﹣∠HDC=45°。

∴∠ADB=∠HDB。

∵AD=HD,DF=DF,∴△ADF≌△HDF(SAS)。∴AF=HF。∴CF=CH+HF=AB+AF。

∴CF=AB+AF。

【考点】梯形的性质,全等三角形的判定和性质;直角三角形斜边上的中线性质,勾股定理。

【分析】(1)根据BD⊥CD,∠DCB=45°,得到∠DBC=∠DCB,求出BD=CD=2,根据勾股定理求出

BC=根据CE⊥BE,点G为BC的中点即可求出EG。

(2)在线段CF上截取CH=BA,连接DH,根据BD⊥CD,BE⊥CD,推出∠EBF=∠DCF,证出△ABD≌△HCD,得到AD=BD,∠ADB=∠HDC,根据AD∥BC,得到∠ADB=∠DBC=45°,推出∠ADB=∠HDB,证出△ADF≌△HDF,即可得到答案。

2.(重庆潼南10分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,

且AE⊥BC.

13 1。 2

(1)求证:AD=AE;

(2)若AD=8,DC=4,求AB的长.

【答案】解:(1)连接AC,

∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC。

∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC。∴∠ACD=∠ACB。

∵AD⊥DC,AE⊥BC,∴∠D=∠AEC=90°。

∵AC=AC,∴△ADC≌△AEC(AAS)。∴AD=AE。

(2)由(1)知:AD=AE,DC=EC,

设AB=x,则BE=x﹣4,AE=8,

在Rt△ABE中,∠AEB=90°,由勾股定理得:AE+BE=AB,

即8+(x﹣4)=x,解得:x=10。

∴AB=10。

【考点】直角梯形和性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理。

【分析】(1)连接AC,证明△ADC与△AEC全等即可。

(2)设AB=x,然后用x表示出BE,利用勾股定理得到有关x的方程,解得即可。

3.(浙江杭州10分)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,

AB=2BC=2CD,对角线AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分

别为E,F。

(1)求证:△FOE≌△DOC;

(2)求sin∠OEF的值; 222222

AB?CD的值。 GH

1【答案】解:(1)∵EF是△OAB的中位线,∴EF∥AB,EF= AB。 2

1而CD∥AB,CD= AB, 2(3)若直线EF与线段AD,BC分别相交于点G,H,求

∴EF=CD,∠OEF=∠OCD,∠OFE=∠ODC,∴△FOE≌△DOC(ASA)。

(2)∵在Rt△ABC中,

??,

∴sin∠OEF=sin∠CAB=BC??

AC 14

(3)∵AE=OE=OC,EF∥CD,∴△AEG∽△ACD。 EGAE11? ?,即EG= CD。 CDAC33

1同理FH= CD, 3

AB?CD2CD?CD9∴ ?? CDCD5GH?CD?33∴

【考点】直角梯形的性质,三角形中位线定理,平行的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数的定义。

【分析】(1)由EF是△OAB的中位线,利用中位线定理,得EF∥AB,EF=

可得EF=CD,由平行线的性质可证△FOE≌△DOC。

(2)由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB,利用sin∠OEF=sin∠CAB=

与BC的关系,再求正弦值; 11AB,又CD∥AB,CD= AB,22BC,由勾股定理得出AC AC

1(3))由(1)可知AE=OE=OC,EF∥CD,则△AEG∽△ACD,利用相似比可得EG= CD,同 3

1AB?CD理得FH= CD,又AB=2CD,代入 中求值即可。 3GH

4.(辽宁大连9分)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M是BC的中点,

求证:∠DAM=∠ADM. 【答案】证明:∵等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∴∠B=∠C,AB=DC。

∵M是BC的中点,∴BM=CM。∴△ABM≌△DCM(SAS)。

∴AM=DM,∴∠DAM=∠ADM。

【考点】等腰梯形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质。

【分析】根据等腰梯形的性质得出∠B=∠C,AB=DC,由SAS证出△ABM≌△DCM,得到AM=DM即可。

5.(湖南郴州8分)在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=DC,对角线BD平分∠ABC.

求证:梯形ABCD是一个等腰梯形.

【答案】

证明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC。

∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD。

∴∠ADB=∠ABD。∴AB=AD。

∵AD=DC,∴AB=CD。

∵四边形ABCD是梯形,∴梯形ABCD是等腰梯形。

15

【考点】等腰梯形的判定,平行线的性质。

【分析】根据平行线的性质推出∠ADB=∠DBC,根据角平分线的性质推出∠ADB=∠ABD,得出AD=AB,求出AB=CD,即可推出答案。

6.(湖南益阳6分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD =DC,

求证:AC是∠DAB的平分线.

【答案】解:∵AB∥CD, ∴?CAB??DCA。

∵AD =DC,∴?DAC??DCA。

∴?DAC??CAB?DAC??DCA , 即AC是∠DAB的平分线。

【考点】梯形的性质,平行线的性质,等腰三角形的性质。

【分析】利用梯形的一组对边平行可以得到内错角相等,然后利用等边对等角得到两个角相等,从而得到两个角相等,证得结论。

7.(山东菏泽7分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AD=1,BC=4,E为AB中点,EF∥DC交BC于点F,求EF的长.

【答案】解:过点A作AG∥DC,

∵AD∥BC,∴四边形AGCD是平行四边形。∴GC=AD。

∴BG=BC﹣AD=4﹣1=3。

在Rt△ABG中,

? ∵EF∥DC∥AG,∴EFBE11??

,∴EF=AG? AGAB22【考点】梯形的性质,勾股定理,平行四边形的判定和性质,平行线分线段成比例

【分析】过点A作AG∥DC,然后证明四边形AGCD是平行四边形,根据平行四边形的性质得到GC=AD,然后利用已知条件求出BG,再在Rt△ABG中利用勾股定理求出AG,又EF∥DC∥AG,利用平行线分线段成比例即可解决问题。

8.(广东河源9分) 如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC。

将△ACD沿对角线AC翻折后,点D恰好与边AB的中点M重合.

(1)点C是否在以AB为直径的圆上?请说明理由;

(2)当AB=4时,求此梯形的面积.

【答案】解:(1) 点C在以AB为直径的圆上。理由如下:

连接CM。这样△ACM是△ACD翻折后得到的,∴△ACM≌△ACD。

16

∴∠DAC=∠MAC,AM=AD。

又∵AB∥CD,∴∠DCA=∠MAC。

∴∠DAC=∠DCA。∴AD=DC。

∴四边形AMCD是菱形。∴AM=CM。∠ACM=∠CAM。

又∵AD=BC,AM=BM,∴CM==BM=BC。

∴△CBM是等边三角形。

∴∠BCM=∠BMC=60。

又∵∠BMC=∠ACM+∠CAM,∴∠ACM=30。

∴∠BCA=∠ACM+∠BCM=90。

∴点C在以AB为直径的圆上。

(2)过C作CE⊥AB于E。

∵AB=4,∴DC=CM=2,

∴在Rt△MCE中,CE=CM·sin∠BMC=2 sin60=2∴梯形的面积

=0

000?DC?AB?CE? 2【考点】翻折对称,全等三角形的性质,平行的性质,菱形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,

角形外角和定理,直径所对圆周角的的判定,解直角三角形。

【分析】(1)要证点C在以AB为直径的圆上,只要证∠BCA=90即可。要证∠BCA=90, 连接CM,证∠BCA∠BCA=∠ACM+∠BCM=90即可。考虑到已知的△ACM≌△ACD,AB∥CD,AD=BC和AM=AD就易证得△CBM是等边三角形。从而得证。

(2)要求梯形的面积,即要求出它的上下底和高。由(1)知上底等于下底的一半;作高线CE,在Rt△MCE中利用正弦函数即可求得。

9. (河南省9分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,延长CB到点E,

使BE=AD,连接DE交AB于点M.

(1)求证:△AMD≌△BME;

(2)若N是CD的中点,且MN=5,BE=2,求BC的长.

【答案】解:(1)证明:∵AD∥BC,∴∠A=∠MBE,∠ADM=∠E,

000

17

??A??MBE?在△AMD和△BME中,?AD?BE,∴△AMD≌△BME(ASA)。

??ADM??E?

(2)∵△AMD≌△BME,∴MD=ME,ND=NC。∴MN=

∴EC=2MN=2×5=10,∴BC=EC﹣EB=10﹣2=8。

答:BC的长是8。

【考点】梯形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形中位线定理。

【分析】(1)找出全等的条件:BE=AD,∠A=∠ABE,∠E=∠ADE,即可证明。

(2)首先证得MN是三角形的中位线,根据MN=1EC。 21(BE+BC),又BE=2,即可求得 。 2

10.(湖北黄石7分)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,

E是BC的中点,连接.AE、DE。

求证:AE=DE.

【答案】证明:∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AB=DC,∠B=∠C.

∵E是BC的中点,∴BE=CE。

?AB?DC?在△ABE和△DCE中,??B??C,∴△ABE≌△DCE(SAS)。∴AE=DE。

?BE?CE?

【考点】等腰梯形的性质,全等三角形的判定和性质。

【分析】利用等腰梯形的性质证明△ABE≌DCE后,利用全等三角形的性质即可证得两对应线段相等。

11.(湖北荆州9分)如图,等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上,顶点C在y轴正半轴上,B(4,2), 一次函数y?kx?1的图象平分它的面积,关于x的函数

y?mx2??3m?k?x?2m?k的图象与坐标轴只有两个交点,求m的值.

【答案】解:过B作BE⊥AD于E,连接OB、CE交于点P,

∵P为矩形OCBE的对称中心,∴过P点的直线平分矩形OCBE的

面积.。

∵P为OB的中点,而B(4,2), ∴P点坐标为(2,1)。

在Rt△ODC与Rt△EAB中,OC=BE,AB=CD,

∴Rt△ODC≌Rt△EAB(HL),∴S△ODC=S△EBA。

18

∴过点(0,-1)与P(2,1)的直线平分等腰梯形面积,

这条直线为y?kx?1。

∴2k?1?1, ∴k?1。

∵y?mx2??3m?k?x?2m?1的图象与坐标轴只有两个交点,

①当m=0时,y??x?1,其图象与坐标轴有两个交点(0,1),(1,0)。

②当m≠0时,函数y?mx2??3m?k?x?2m?1的图象为抛物线,

且与y轴总有一个交点(0,2m+1),

若抛物线过原点时,2m+1=0,即m=?12,此时??(3m?1)2?4m(2m?1)=(m?1)>0, 2

∴抛物线与x轴有两个交点且过原点,符合题意。

若抛物线不过原点,且与x轴只有一个交点,也合题意,

此时???(3m?1)2?4m(2m?1)=0,∴m1?m2??1。

综上所述,m的值为m=0或?1或-1。 2

【考点】等腰梯形的性质,函数与图象与坐标轴的交点,全等三角形的判定和性质,一元二次方程根的判别式。,

【分析】过B作BE⊥AD于E,连接OB、CE交于点P,根据矩形OCBE的性质求出B、P坐标,然后再根据相似三角形的性质求出k的值,将解析式y?mx2??3m?k?x?2m?k中的k化为具体数字,再分m=0和m≠0两种情况讨论,得出m的值。

12.(四川资阳9分)如图1,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=9,BC=12,在线段BC上任取一点E,连结DE,作EF?DE,交直线AB于点F.

(1) 若点F与B重合,求CE的长;(3分)

(2) 若点F在线段AB上,且AF=CE,求CE的长;(4分)

(3) 设CE=x,BF=y,写出y关于x的函数关系式(直接写出结果即可).(2分)

19

【答案】解:(1) ∵F与B重合,且EF⊥DE,∴DE⊥BC。

∵AD∥BC,∠B=90°,∴∠A=∠B=90°。∴四边形ABED为矩形。

∴BE=AD=9。∴CE=12-9=3。

(2) 作DH⊥BC于H,则DH= AB=7,CH=3。

设AF=CE=x,

∵F在线段AB上,∴点E在线段BH上。

∴HE=x-3,BF=7 –x。

∵∠BEF+90°+∠HED=180°,∠HDE+90°+∠HED=180°,

∴∠BEF =∠HDE 。又∵∠B =∠DHE=90°, ∴△BEF∽△HDE。∴

27?xx?3。 ?12?x7整理得x-22x+85=0,(x-5)(x-17)=0,∴x=5或17。

经检验,它们都是原方程的解,但x=17不合题意,舍去.∴CE=x= 5。 36?1215x?x?(0?x?3)??777(3) y=?。 11536??x2?x?(3?x?12)?77?7

【考点】梯形的性质,矩形的判定和性质,三角形内角和定理,相似三角形的判定和性质,解分式方程。

【分析】(1) 点F与B重合,易得四边形ABED为矩形,由矩形的性质即可求得

CE的长。

(2)点F在线段AB上,作DH⊥BC于H,可由△BEF∽△HDE得对应边

的比而求得CE的长。

(3)当0?x?3,点F在AB延长线上,如图,

由(2),△BEF∽△HDE,得3?x711536?,整理,得y=x2?x?。

y12?x777

20

当3?x?12,点F在AB上, 由(2),△BEF∽△HDE,得

11536y= ?x2?x?。 777x?37,整理,得 ?y12?x

13.(四川攀枝花6分)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,∠B=60°,DE⊥AC于点E,已

(1)求证:∠ACD=30°;

(2)DE的长度.

【答案】解:(1)∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA。

∵AB=CD=AD,∴∠DAC=∠DCA,∠DCB=∠B=60°。

∴∠DCA=∠BCA。∴∠ACD=30°。

(2)作DG⊥BC于G点, ∵∠B=60°,梯形的高

∴DE=DC×sin∠ACD=2×

∴DE的长为1。

【考点】等腰梯形的性质,等腰三角形的性质,解直角三角形,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。

【分析】(1)利用梯形的两底平行和等腰三角形的性质可以得到AC平分∠DCB,从而得证。

(2)利用30°的角所对的直角边是斜边的一半和DC的长即可求得DE的长。

14.(四川南充6分)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F在BC上,且BE=FC,连接DE,AF.求证:DE=AF.

【答案】证明:∵四边形ABCD为等腰梯形且AD∥BC,

∴AB=DC,∠B=∠C。

又∵BE=FC,∴BE+EF=FC+EF即BF=CE。

∴△ABF≌△DCE(SAS)。∴DE=AF。

【考点】等腰梯形的性质,全等三角形的判定和性质。

【分析】根据等腰梯形的性质获得△ABF≌△DCE所需要的条件,再利用全等的性质得到DE=AF。

B

AECD?2。 1=1。 2

21

15.(安徽芜湖8分)如图,在梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC, BD

平分∠ABC,∠A=60°,过点D作DE⊥AB,过点C作CF⊥BD,垂足

分别为E、F,连接EF,求证:△DEF为等边三角形。

【答案】证明:∵DC∥AB,AD=BC,∠A=60°,∴∠ABC=∠A=60°。

又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=1∠ABC=30°。 2

∵DC∥AB.∴∠BDC=∠ABD=30°。∴∠CBD=∠CDB。∴CB=CD。

∵CF⊥BD,∴F为BD中点。又∵DE⊥AB,∴DF=BF=EF。

由∠ABD=30°得∠BDE=60°,∴△DEF为等边三角形。

【考点】等腰梯形的性质,角平分线的性质,平行的性质,直角三角形斜边中线的性质。等边三角形的判定。

【分析】要证△DEF为等边三角形,根据一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的判定,只要证两边相等,一个角等于60°即可。一方面由已知的DC∥AB,AD=BC, BD平分∠ABC,∠A=60°和DE⊥AB可证得∠BDE=60°;另一方面可利用直角三角形斜边上的中线是斜边一半的性质证明DF =EF。从而得证。

16.(云南曲靖9分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是两腰AB、DC的中点,AF、BC的延长线交于点G.

(1)求证:△ADF≌△GCF.

(2)类比三角形中位线的定义,我们把EF叫做梯形ABCD的中

位线。阅读填空:

在△ABG中:∵E中AB的中点由(1)的结论可知F是AG的中111点,∴EF是△ABG的_______线∴EF=BG??BC?CG?又由(1)的结论可知:AD=CG∴EF?(______222

+________)

因此,可将梯形中位线EF与两底AD,BC的数量关系用文字语言表述为____________________________.

【答案】解:(1)证明:∵AD∥BC,∴∠DAF=∠G。又∵F是DC的中点,∴DF=CF。

又∵∠DFA=∠CFG,∴△ADF≌△GCF(ASA)。

(2)中位,AD,BC,梯形的中位线等于上、下底和的一半。

【考点】平行线的性质,对项角的性质,全等三角形的判定,三角形中位线定理。

【分析】(1)根据平行线内错角相等和对项角相等的性质,用ASA可证。

(2)∵E、F是AB、AG的中点,∴EF是△ABG的中位线。

22

11 ∴EF=BG??BC?CG?。 22

1 又∵AD=CG,∴EF??AD?BC? 2

因此,可将梯形中位线EF与两底AD,BC的数量关系用文字语言表述为:梯形的中位线等于上、下底和的一半。

17.(贵州毕节13分)已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD(如图所示),∠BAD的平分线AE交BC 于点E,连结DE.

(1) 在下图中,用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹不写作法),并证明四边形ABED是菱形。

(7分)

(2) 若∠ABC=60?,EC=2BE.

求证:ED⊥DC (6分)

【答案】解:(1)作图如下:

证明:梯形ABCD中,AD∥BC,∴∠EAD=∠AEB。

又∵AE是∠BAD的平分线,∴∠BAE=∠EAD。∴∠BAE=∠AEB。∴AB=BE。

又∵AB=AD,∴ADBC。

∴四边形ABED是平行四边形。

又AB=AD,∴四边形ABED是菱形。

(2)∵四边形ABED是菱形,∠ABC=60°,

∴∠DEC=60°,BE=ED。

又EC=2BE,∴EC=2DE。

23

取EC中点F,连接DF,则DE=EF=FC。

∴△DEF是正三角形。∴∠EDF=∠DFE=60°。

由三角形外角定理,得∠FDC=30°。∴∠EDC=90°。∴ED⊥DC。

【考点】尺规作图,梯形的性质,菱形的判定和性质,正三角形、等腰三角形的判定和性质,三角形外角定理。

【分析】(1)根据尺规作图:角的平分线的基本做法,可得到∠BAD的平分线AE;利用菱形的判定定理,即可证得。

(2)作辅助线:取EC中点F,连接DF,根据菱形的性质和已知∠ABC=60?,EC=2BE,可得△DEF是正三角形,△CDF是等腰三角形,从而可证得∠EDC=90°,即可得ED⊥DC。

18.(福建三明12分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E.

(1)求证:∠ABD=∠CBD;

(2)若∠C=2∠E,求证:AB=DC;

4(3)在(2)的条件下,sinCAD2,求四边形AEBD5

的面积.

【答案】解:(1)证明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD。

∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABD,∴∠ABD=∠CBD。

(2)证明:∵AE∥DB,∴∠E=∠CBD。

由(1)得∠ABD=∠CBD,∴∠ABC=2∠CBD=2∠E。

又∵∠C=2∠E,∴∠ABC=∠C。

∴在梯形ABCD中, AB=DC。

4DF4(3)过D作DF⊥BC,垂足为F,由sinC=,得=。 5DC5

由(2)有CD=AB,又AB=AD=2, 422,DF=。 5

∵AD∥BC,AE∥DB,

∴四边形AEBD的平行四边形。

428

∴S四边形AEBD=AD·DF=2×= 55

【考点】平行的性质,等腰梯形的判定和性质,解直角三角形,锐角三角函数定义,勾股定理,平行四

24

边形的判定和性质。

【分析】(1)由两直线AD∥BC,推知内错角∠ADB=∠CBD;在△BAD中,根据等边AB=AD,推知等角∠ADB=∠ABD;所以由等量代换证得∠ABD=∠CBD。

(2)由两直线AE∥DB,推知同位角∠E=∠CBD;利用(1)的结果、等量代换求得∠ABC=2∠CBD=2∠E;根据已知条件知∠ABC=∠C,最后根据等腰梯形的性质知AB=DC。

(3)过D作DF⊥BC,垂足为F,构造四边形AEBD的高.在直角三角形CDF中,利用锐角三角函

DF42数值的定义求得=2)的结论以及勾股定理求得CD2,DF;最后根据平行四边形DC55

8的判定定理知四边形AEBD的平行四边形,再由平行四边形的面积公式,求得S四边形AEBD=AD?DF= 5

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