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完全解读八年级上

发布时间:2014-01-07 09:03:05  

教材完全解读八年级(上)

例1:如图11-1-34,已知△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角。 错解:AB与AD,AE与AC,BD与CE是对应边;∠BAD与∠CAE

是对应角。

错解分析:没有正确地识别图形,也没有正确地找出对应边及对应角。对于这种复杂的图形最好的方法是将△ABE和△ACD从图中分离出来(如图11-1-35),再根据已知条件寻找对应边及对应角。

正确解法:对应角∠BAE=∠CAD,对应边:AB=AC,AE=AD,BE=CD.

例2:如图11-1-36,已知△ABC≌△DFE,请写出相等的边及角。

错解:AB=DF,BC=EF,AC=DF,∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠

F.

错解分析:错误的原因是凭直觉进行解答。此题已知△ABC≌△DFE,所以点A与点D是对应点;点B与点F是对应点;点C与点E是对应点,由此对应关系,再写出等量关系。 正确解法:AB=DF,BC=FE,AC=DE,∠A=∠D, ∠B=∠F, ∠C=∠E

例1:如图11-2-83,在等边三角形ABC中,D,E,F分别为AB,BC,CA上一点(不是中点),且AD=BE=CF,图中全等三角组数(三个三角形为一组)为( )。

A.3组 B.4组 C.5组 D.6组

错解:有可能选A,选B或选D.

错解分析:由于观察方法无规律,出现重复多解或遗漏少解的错误。

正确:选

C.

点拨:对于这类问题,在平时的学习中要多观察多总结,学会按顶点分类,逐个找出所有的全等三角形。

。例2:如图11-2-84, ∠B=∠ACD,∠ACB=∠D=90,AC是△ABC和△ACD的公共边,所

以就可以判定△ABC≌△ACD。

1

你认为正确吗?为什么?

分析:不正确,这是因为“角角边”判定两个三角形全等时,这两个角与一边不是仅仅“相等”就可以了,而必须是“对应相等”,即两个三角形中相等的边和角必须有相同的顺序。实际上在△ABC中,AC是锐角∠B的对边,在△ACD中,AC却是直角∠ADC的对边,这样的边就不存在“对应相等”的关系。

例:如图11-3-32,点O为码头,A、B两个灯塔与码头的距离相等,OA、OB为海岸线,一轮船离开码头,计划沿∠AOB的平分线航行,在航行途中,测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等。试问轮船航行时是否偏离指定航线?为什么?

解:不一定。因为根据角平分线的性质可知,要判定点在角平线上,必须具备点到角两边的距离相等,而本题只知道点到点的距离相等,而不是到角两边的距离相等。

误区分析:正确理解角平分线的性质是关键。

1. 对平方根的定义不理解。

例1:判断下列各式是否正确,说明理由。 (1) (-8) =-8; (2) (-8) =±8; (3)±(-8) =8.

正解:(1) =8;(2)同(1);(3(-8) =±8.

错解:(1)、(2)、(3)都对。

错解分析:(1)不能正确理解平方根、算术平方根的意义。

(2a 表示aa 表示a的平方根,a 表示的是a的算术平方根的相反数。

2.审题不认真。

例2:求4 的平方根。 正解:∵4 =2,∴2的平方根是±。 4 的平方根是±2. 4 当成4.

3.求带分数的平方根有误。

例3:求

正解:

错解:1 的值。 161 =1651= =1 . 164431 =1。 164

19 16错解分析:错解将带分数的开方误认为是整数部分和小数部分分别开方,显然

=51==1 1 +164433=1+ =1 。 1644

1. 混淆平方根与立方根的意义。 例1:求8 的值.

2 3

正解:8 =2. 错解:8 =±2

错解分析:(1)立方根的意义与平方根的意义相混淆。

(2)结合立方根的定义,明确立方根的唯一性。

2.对题意不理解或粗心导致出错。

例2的立方根是 。

正解:2

错解:4 64 的立方根误认为是64的立方根,解题时,应先求64的算术平方根,再求8的立方根。

3.混淆了平方根与立方根的性质。

例3:如果x2=1,那么x 的值是

正解:因为x2=1,所以x=±1.当x=1时,=1 =1;当x=-1时,x =-1 =-1,所以x 的值是±1

错解:因为x2=1,所以x=±1.当x=1时,x =1 =1;当x=-1时,x =-1 无意义,所以x 的值是1.

错解分析:此题错在漏掉了x= -1时,x = -1,误认为负数没有立方根,其实,任何数都有立方根,负数的立方根是负数。

1. 对数轴上的点的距离分析不全,易漏解。

例1 3 ,这个点所表示的数是 。 正解:±3 错解:3 错解分析:在数轴上与原点的距离相等的点有两个,所以应是±3 。

例2:已知:如图13-3-8,C、A、B三点分别对应着实数x、1、2 ,且点C和点B33333333333333到点A的距离相等,求x的值。

正解:因为点C和点B到点A的距离相等,C、A、B三点分别对应着实数x、12 ,则2 -1,C点在A点左边,则C点表示的数要比A点表示的数小2 -1。即x=1-(2 -1)=2-2 .

错解:由点C和点B到点A的距离相等,x= - 2 .

错解分析:点C和点B到点A的距离相等,若A是原点,上面的答案是正确的,但这里A不是原点,我们结合图形发现AB=AC=2 -1,C点在A点左边,则C点表示的数要比A2 -1.

2. 实数的分类不清楚。

3

12233例3:在实数2 ,, ,3.414,4 ,9 ,0.27,-1 中,有理数有π7

无理数有 。

22133正解:3.414,4 ,0.27,-1 - 2 , ,9 7π

12233错解:3.414,0.27,-1 ,9 - 2 , ,4 π7

错解分析:错在对有理数、无理数的概念理念理解不清。另外,需要注意的是有些数要先化简,然后才能判断,如4 =2,是有理数,而9 不能再化简,是无理数。 例4:在下列各数中,哪些是有理数,哪些是无理数?

π223 ,2.3,- 37

22正解:有理数: ,2.3,- 7

333327 ,16 , 27 ,16 44- 3 ,|1-3 |,0.181 881 8889 . 64π3;无理数有: ,0.4 ,2 ,64333- |3 |,0.181 881 888?,9 .

π2243错解:有理数有: ,,2.3,,0.181 881 888?,;无理数有:,37

32 ,- 327 ,3- ,|1-3 |. 64π1错解分析:因为π为无理数, 是有理数,而无理数与有理数的积一定是无理数,33ππ3是无理数。错误的原因在于认为 0.4 9 都不能开方开尽,是33

无限不循环小数,所以是无理数,错误原因在于认为0.4 =0.2,9 =3,所以导致错22误;0.181 881 888 因为它是分7数,所以它是有理数,错误原因在于认为它是无限不循环小数;- 3327 3- 都64能化简为有理数,所以是有理数,错误原因在于认为带根号的数都是无理数。

1. 不能正确区分变量与常量

2例1:下列关于圆的面积S与半径r之间的函数关系式S=πr中,有关常量与变量的

说法正确的是( )。

2A.S、r是变量,π是常量

B.S、π、r是变量,2是常量

C.S、r是变量,π是常量

D.S、r是变量,π和2是常量

正解:D

错解:B

2错解分析:错误的原因是对π和r中的指数弄不清。

2. 自变量的取值范围不满足实际意义

4

例2:今有360本图书,借给学生阅读,每人9本,求余下的书数y(本)与学生数x(名)之间的函数关系式,并求自变量的取值范围。

正解:函数关系式为y=360-9x,自变是x取值范围是0≤x≤40且为整数。

错解:y=360-9x,∵x,y都是非负数,且0≤y≤360,

?0≤360-9x≤360,?0≤x≤40,∴? 即? ,?x≥0?x≥0

∴0≤x≤40.

错解分析:忽略了自变量x作为学生人数只能取非负整数这一条件。

3. 图象不准确造成误差

例3:拖拉机开始工作时,油箱中有24 L油,如果每小时耗油4L,那么油箱中的剩余油量y(L)与工作时间x(h)之间的函数关系的图象是图14-1-30中的( )。 正解:D

错解:B

错解分析:忽略自变量的取值范围,根据题意,得y与x之间的函数关系式为y=24-4x. ∵0≤24-4x≤24, ∴0≤x≤6.当x=0时,y=24;当x=6时,y=0. ∴此函数的图象是包括端点(0,24),(6,0)的线段.故应选择D.

4. 自变量的取值范围考虑不周

例4:求函数2x-1的自变量的取值范围. x-1

?2x-1≥0,?2x-1≤0,2x-1正解:由题意得≥0,即?或? x-1?x-1>0,?x-1<0

11解得x>1或x.所以自变量x的取值范围是x>1或x≤ . 22

?2x-1≥0,错解:由题意得? 解得x>1,所以自变量的取值范围是x>1. ?x-1>0,

错解分析:函数有意义的条件是?2x-1≥0,?2x-1≤0,2x-1≥0,转化为?或?错解中遗漏x-1?x-1>0,?x-1<0

?2x-1≤0,了?显然考虑问题不周全。 ?x-1<0

5. 不能正确分析实际问题的图象

例5:如图14-1-31所示,边长分别为1和2的两个正方形,其一边在同一水平线上,小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形。设穿过的时间为t,大正方形内除去小正方形部分的面积为S(阴影部分),那么S随t变化的大致图象应为图14-1-32中的(

)。

正解:A

错解:C

5

错解分析:对题意理解不清楚,没有很好地理解阴影部分的变化规律。阴影部分的面

积先由4逐渐减小到3,由3持续一段时间,再由3逐渐增大到4.所以应选择A。

1.忽视了y=kx+b中,k、b的取值范围而造成错误

例1:已知直线y=2x+m不经过第二象限,确定m的取值范围.

正确:∵k=2>0,∴直线一定经过一、三象限.

当m=0时,图象过原点;当m<0时,图象经过第一、三、四象阴,∴m≤0.

错解:∵k=2>0,∴直线过一、三象限.

∵不过第二象限,∴过第四象限,故m<0.

错解分析:考虑问题不全面,而丢掉原原点.图象不过第二象限有两种可能,一种是过一、

三、四象限,另一种是只过一、三象限,因为正比例函数是一次函数的特例,应重视分类讨

论的数学思想,则能减少类似错误.

2.已知函数y=(m-2) xm2?3+3是一次函数,求m的值.

?m-2≠0,正解:依题意得?2 解得m=-2. ?m-3=1,

错解:由于y是x的一次函数,故m2-3=1,解得m=±2.

错解分析:只注意了自变量x的指数是1这个条件而忽视了m-2≠0这一条件.

3.一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6.相应函数的取值范围是-5≤y≤-2,求其解析

式.

?-5=-3k+b,正解:(1)当k>0时,把x=-3,y=-5和x=6,y=-2分别代入y=kx+b中,得到? ?-2=6k+b,

?k=1 ,1解得?3则其解析式为y=x-4. 3?b=-4,

(2)当k<0时,把x=-3,y=-2和x=6,y=-5分别代入y=kx+b中,?1?-5=-3k+b,解得k=-,b=-3 ?-2=6k+b, 3

11所以一次函数的解析式为y=- -3.综上所述,一次函数的解析式为y=--4 33

1或y=--3. 3

错解:只有正解的①而忽略②这种情况.

错解分析:由于题目中没有明确k的正、负,而一次函数y=kx+b,只有k>0时,即随x的

增大而增大,而当x<0时,y随x的增大而减小,故要分k>0和k<0的两种情况讨论.

4.已知y=y1+y2,而y1与x+1成正比例,y2与x2成正比例,并且x=1时,y=2;x=0时,y=2,求

y与x的函数关系式.

正解:设x1=k1(x+1),y2=k2x2,得y=y1+y2= k1(x+1)+ k2x2,把x=1,y=2及x=0,y=2代入得到

?2=2k1+k2,?k1=2,2??解得所以y=-2x+2x+2. ,?2=k1?k2=-2,

2错解:设y1=k(x+1),y2=kx2,得y=y1+y2=k(x+1)+kx2,把x=1,y=2代入得到2=2k+k,解得k=,所3

6

2以y= (x2+x+1). 3

错解分析:由于y1和y2是两个不同的函数,故要设两个不同的比例系数k即k1、k2, 不可将k1、k2都写成k,题中给出了两对数值,从而决定了可利用方程组求出k1、k2的值.

5.一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限,则k、b的取值范围分别是().

A.k<0,b>0 B. k<0,b<0 C. k<0,b≤0 D. k<0,b≥0

正解:由于正比例函数是特殊的一次函数,因而y=kx+b的图象不经过第三象限,则它可能经过第一、二、四象限,此时满足k<0,b>0;也可能是只经过第二、四象限的正比例函数的图象,此时满足k<0,b=0,故应选D.

错解:由于一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限,则它必经过第一、二、四象限,故k<0,b>0,选A.

错解分析:考虑问题不全面,只想到了一次函数,忽略了正比例函数当k<0时,图象过第

二、四象限,同样不经过第三象限。

6.一个水池中有水80m3,现将水池内的水排出,若排水管每小时排水2 m3.

(1)写出水池中剩余水量y (m3)与排水时间x(h)之间的函数关系式;

(2)画出函数图象。

正解:(1)由题意,得y=80-2x(0≤x≤4).

(2)其图象如图

错解:(114-2-29所

图14-2-28图14-2-29示.

错解分析:在画实际问题的函数图象时,要注意自变量的取值范围.本题错解就是忽略了这一问题,错将线段画成直线.

7.当自变量x的取值什么条件时,函数y=3x+8的值满足y<2.

正解:画直线y=3x+8,如图14-3-21所示.由图象可知,y<2时对应的自变量的取值满足x<2.所以当x<-2时,y<2.因此,当自变量x的取值满足x<-2时,函数y=3x+8

的值满足y<2.

图14-3-21图14-3-22

错解:画函数y=3x+8的图象,如图14-3-22所示.由图象可知,直线y=3x+8与x轴的交点 7

88坐标是?-0?,所以当x<-y=3x+8的值满足y<2. 3?3?

错解分析:盲目地套用ax+b<0的解法,而忽略了y<2的条件.

8.计算:(x4)2+(x2)4-x(x2)2·x3-(-x)3·(-x2)2·(-x).

正解:原式=x8+x8-x·x4·x3-(-x)3·(-x)4·(-x)

=2x8-x8-(-x)8

=2x8-x8-x8

=0.

错解:原式=x8+x8-x·x4·x3-(-x)3·(-x)4·(-x)

=x16-x7-(-x)7

=x16-x7+x7

=x16.

错题分析:此题错误的原因一是将同底数幂乘法与合并同类项相混淆了,x8+x8=2x8属于合并同类项,而不是同底数幂乘法;二是同底数幂相乘时,漏加了指数为1的项的指数,x·x4·x3=x8,(-x)3·(-x)4·(-x)=(-x)8.

9.计算:3(a2)4·(a3)3-(-a)·(a4)4+(-2a4)2·(-a)3·(a2)3.

正确:原式=3a8·a9-(-a)·a16+4a8·(-a3)·a6

=3a17+a17-4a-

=0.

错解:原式=3a6·a6-(-a)·a8+(-4a6)·(-a)3·a5

=3a12+a9+4a14.

错解分析:本题错误之一是将同底数幂乘法与幂的乘方相混淆;错误之二是符号错误,(-2a4)2=4a8.

10.计算:(2a+1)(a-2).

正解:(2a+1)(a-2)=2a2-4a-a-2=2a2-3a-2.

错解:(2a+1)(a-2)=2a·a·2+a·1=2a2-4a+a=2a2-3a.

错解分析:题中漏乘了1×(-2)这一项,在做题时,只有理解透法则,仔细认真才能避免类似的错误.

?-3x2? . 11.计算:(1)(2a-3b)(3a-4b);(2)(2x3-x2-1)·?2?

正解:(1)(2a-3b)(3a-4b)

=2a·3a+2a·(-4b)+(-3b)·3a+(-3b)(-4b)

=6a2-8ab-9ab+12b2

=6a2-17ab+12b2;

?32? (2) (2x3-x2-1)·?2?

333=-?2·2x3-2·x2-x2·1? 22?2?

33=-?-3x5-x4-2? 22??

33=-3x5x4+2 22

错解:(1)(2a-3b)(3a-4b)=(2a·3a)+(-3b)·(-4b)=6a2+12b2;

8

3333?-32?=-3x2·(2) (2x3-x2-1)·2x32·x2-x2·1=-3x5-x4-x2. 2222?2?2

解题分析:(1)题把法则用错了,(a+b)(m+n) ≠am+bn,即在多项式乘以多项式,在计算中考虑的问题较多,有的同学会顾此失彼,用单项式去乘多项式的每一项时,忘记了符号法则,

3把符号搞错了,所以在具体处理问题时,要考虑最佳的解题路径.如(2)题可以先用2去2

乘多项式的各项,再处理符号问题.

12.计算:(-x3y)2.

正解:(-x3y)2=(-1)2·(x3)2·y2=x6y2.

错解:(-x3y)2=-x6y2.

错题分析:底数为(-x3y)2时,忘记对“-”进行乘方.

13.计算:-2xy·(x2-3y2)-4xy(2x2+y2).

正解:原式=-2x3y+6xy3-8x3y-4xy3=-10x3y+2xy3.

错解:原式=-2x3y-6xy3-8x3y+4xy3=-10x3y-2xy3.

错解分析:括号前面是“-”,去括号后括号内的各项全变号.本例在去掉括号后,后面的项没有变号.

14.已知am=3,an=5,求a2m+3n.

正解:a2m+3n=a2m·a3n=(am)2·(an)3=32×53=9×125=1 125.

错解:a2m+3n==a2m+a3n=(am)2+(an)3=32+53=134.

错解分析:逆用同底数幂的乘法时,将乘法与加法相混淆.

a2m+3n=a2m·a3n≠a2m+a3n.

15.计算:(1)(3a+2)(3b-2);(2)(3x-1)(3x-1);(3)(3a+2)(3a-2);(4)(3-2a)(-3-2a).

正解:(1)(3a+2)(3b-2)=9ab-6a+6b-4;

(2)(3x-1)(3x-1)=(3x-1)2=9x2-6x+1;

(3)(3a+2)(3a-2)=(3a)2-22=9a2-4;

(4)(3-2a)(-3-2a)=(-2a)2-32=4a2-9.

错解:(1)(3a+2)(3b-2)=9ab-4;

(2)(3x-1)(3x-1)=9x2-1;

(3)(3a+2)(3a-2)=3a2-4;

(4)(3-2a)(-3-2a)=9-4a2.

错解分析:(1)题中的“3a”与“3b”不是相同项,因此不能用平方差公式;(2)题中,两个因式中的项都是相同的项,没有相反项,所以也不能用平方差公式;(3)、(4)题都能用公式计算,但用法错误.(3)中两个数分别是3a与2,结果应是3a的平方与4的差,而解答时3未平方.(4)题两数分别把-2a与3,结果应为-2a的平方与3的差,解答时把公式用错了.

16.计算:(1)(a+2b)2;(2)(a-2b)2;(3)(-m-4n)2;(4)(-2a-b)2.

正解:(1)(a+2b)2=a2+4ab+4b2;

(2)(a-2b)2=a2-4ab+4b2;

(3)(-m-4n)2=(m+4n)2=m2+8mn+16n2;

(4)(-2a-b)2=(-2a)2+2·(-2a)·(-b)+(-b)2=4a2+4ab+b2.

错解:(1)(a+2b)2=a2+2ab+4b2;

(2)(a-2b)2=a2-4b2;

(3)(-m-4n)2=-m2-4mn-4n2;

(4)(-2a-b)2=2a2-2ab+b2.

错解分析:(1)题计算时忽略了中间项乘积的2倍;(2)题计算时漏掉了中间项:a与-2b 9

乘积的2倍,此题与平方差公式混淆了.注意:平方项的前面都是“+”;(3)、(4)题特征一样.(3)、(4)题在计算时提供了两种不同的解法,以(3)题为例,(-m-4n)2可以看作是-m与4n的差的平方,或看作是m与4n的和的相反数的平方,或看作是-m与-4n的和的平方.这两个题的错误是:①没有找准“这两个数”;②符号错误;③漏了乘积的“2倍”;④丢了系数的平方.

17.计算:(1)(-x-2y)2;(2)(a+b)(-a-b);(3)(x+0.3y)(y-0.3x);(4)(4a+b)(4a-b).

正解:(1)(-x-2y)2=x2-4xy+4y2;

(2)(a+b)(-a-b)=-a2-2ab-b2;

(3)(x+0.3y)(y-0.3x)=xy-0.3x2+0.3y2-0.09xy=0.91xy-0.3x2+0.3y2;

(4)(4a+b)(4a-b)=4a2-b2.

错解:(1)(-x-2y)2=x2-2xy+4y2;

(2)(a+b)(-a-b)=a2-b2;

(3)(x+0.3y)(y-0.3x)=x2-0.09y2;

(4)(4a+b)(4a-b)=16a2-b2.

错解分析:(1)把(-x-2y)当作两数的差,应是-x与2y的差,中间项应为-2·(-x)·2y=4xy,所以中间项不仅漏乘了2,还出现了符号错误;

(2)错误的原因在于没有仔细观察题目,看到两个二项式相乘,就按平方差公式计算,没有按照二项式必须是有相同数和相反数,此题不符合平方差公式,应按照完全平方公式计算;

(3)没有好好审题,错把(y-0.3x)看成(x-0.3y),事实上此题不符合平方差公式,只能用多项式乘以多项式法则来计算;

(4)此题错在没有把4a的系数4平方,应该把4a加上括号后再平方,等于16a2.

18.计算:(-x4)3÷(-x7).

正解:原式=-(x4)3÷(-x7)=-x12÷(-x7)=x12÷x7=x12-7=x5.

错解1:原式=(-x)7÷(-x)7=1.

错解2:原式=(-x12) ÷(-x7)=(-x)5=-x5.

错解分析:错解1的原因是指数运算不对;错解2的原因是底数确定得不对,出现了符号错误.

19.计算:(-2x3)4÷(x2)3÷x6.

正解:原式=(-2)4(x3)4÷x6÷x6=16x12÷x6÷x6=16x12-6-6=16.

错解1:原式=(-2)4(x3)4÷x6÷x6=16x12÷1=16x12.

错解2:原式=-2x12÷x6÷x6=-2x6÷x2=-2.

错解分析:错解1的原因是运算顺序出现错误;错解2的原因是漏掉了系数的乘方运算,对幂的乘方运算理解有误.

20.计算:(-2x2y) ÷(-0.5xy).

正解:(-2x2y) ÷(-0.5xy)=4x.

错解:原式=1.

错解分析:错解的原因是把系数相乘了,同底数幂相除时,约掉字母了.

21.在下列各式中,能用完全平方公式的有( )

21a2①4x2-4xy-y2;②;③-1-a-④m2n2+4-4mn;⑤a2-2ab+4b2;⑥x2-8x+9. 5254

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

正解:C

错解:D

错解分析:①⑤⑥不符合完全平方公式的结构特点,不能用完全平方公式分解因式;②④符 10

合完全平方公式的特点,③提取“-”号后也符合完全平方公式的特点,所以②③④能用完全平方公式分解.错解中有的同学误认为①正确,忽略y2前面的“-”号,就用完全平方公式分解;有的同学认为⑤正确,因为中间项a、b乘积的2倍,前后项都是平方式,所以就用完全平方公式分解因式.

22.分解因式:x4-y4.

正解:原式=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y).

错解:x4-y4=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2).

错解分析:原式是二项式,且每项能化成平方式,已经用了一次平方差公式分解,此题的错误在于没有分解彻底.

23.分解因式:(x+5y+3)(x-3)+(x-3)(x-y-1).

正解:(x+5y+3)(x-3)+(x-3)(x-y-1)=(x-3)·(x+5y-3+x-y-1)=(x-3)(2x+4y+2)=2(x-3)·(x+2y+1). 错解:(x+5y+3)(x-3)+(x-3)(x-y-1)=(x-3)·(x+5y+3+x-y-1)=(x-3)(2x+4y+2)=2(x-3)·(x+2y). 错解分析:此题中的公因式是多项式(x-3),提公因式后,另一个因式是剩下的两个多项式之和,经过合并后此因式中又有公因式2,此题的错误是提出2后,另一因式只剩两项,“1”不翼而飞.注意用多项式的乘法检验.

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