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用列举法求概率(3)234

发布时间:2014-01-07 10:40:26  

当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现 的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可 能的结果,通常采用列表法.
列表法中表格构造特点: 一个因素所包含的可能情况 另一 个因素 两个因素所组合的 所包含 所有可能情况,即n 的可能 情况 在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个 数m,最后代入公式计算. 当一次试 验中涉及3个 因素或更多 的因素时,怎 么办?

当一次试验中涉及3个因素或更多的因素时,用列 表法就不方便了.为了不重不漏地列出所有可能的结果, 通常采用“树形图”. 树形图的画法: 一个试验 如一个试验 中涉及3个因数,第 B 一个因数中有2种 第一个因数 A 可能情况;第二个 因数中有3种可能 第二个 3 1 2 1 2 3 的情况;第三个因 数中有2种可能的 第三个 a b a b a b a b a b a b 情况, n=2×3×2=12 则其树形图如图.

例1 同时抛掷三枚硬币,求下列事件的概率: (1) 三枚硬币全部正面朝上; (2) 两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上; (3) 至少有两枚硬币正面朝上. 抛掷硬币试验 解: 由树形图可以看出,抛掷3枚 硬币的结果有8种,它们出现的 正 反 第①枚 可能性相等. (1)满足三枚硬币全部正面朝 正 反 正 反 ② 上(记为事件A)的结果只有1种 1 ∴ P(A) = 8 正 反 正 反 正 反 正 反③ (2)满足两枚硬币正面朝上而一枚硬 ∴ P(B) = 3 币反面朝上(记为事件B)的结果有3种 8 (3)满足至少有两枚硬币正面朝 ∴ P(C) = 4 = 1 上(记为事件C)的结果有4种 8 2

例2.甲口袋中装有2个相同的小 球,它们分别写有字母A和B;乙 口袋中装有3个相同的小球,它 们分别写有字母C. D和E;丙口 袋中装有2个相同的小球,它们 分别写有字母H和I,从3个口袋 中各随机地取出1个小球.
(1)取出的3个小球上,恰好有1个,2个 和3个元音字母的概率分别是多少?

能的结果有12种,它们出现的 可能性相等. (1)只有1个元音字母结果有5个 丙 H I H I H I H I H I H I 全部为元音字母的结果有1个 5 1 ∴ P(一个元音)= ∴ P(三个元音)= 12 12 有2个元音字母的结果有4个 (2)全是辅音字母的结果有2个 4 1 2 1 ∴ P(三个辅音)= 12 = 6 ∴ P(两个元音)= = 12 3

例2.甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母A 和B;乙口袋中装有3个相同的小球,它们分别写有字母C. D和E;丙口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母 H和I,从3个口袋中各随机地取出1个小球. (1)取出的3个小球上,恰好有1个,2个 取球试验 和3个元音字母的概率分别是多少? (2)取出的3个小球上全是 B 甲 A 辅音字母的概率是多少? 解: 由树形图可以看出,所有可 乙 C D E C D E

例3.甲、乙、丙三人打乒乓 球.由哪两人先打呢?他们决定用 “石头、剪刀、布”的游戏来决 定,游戏时三人每次做“石头” “剪

刀”“布”三种手势中的一 种,规定“石头” 胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”, “布”胜“石 头”. 问一次比赛能淘汰一人的 概率是多少?

例3.甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先打呢? 他们决定用 “石头、剪刀、布”的游戏来决定,游戏时 三人每次做“石头” “剪刀”“布”三种手势中的一 种,规定“石头” 胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”, “布” 胜“石头”. 问一次比赛能淘汰一人的概率是多少? 游戏开始



石 石 剪 布

















乙 石剪布 石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布

解: 由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪” 由树形图可以看出,游戏的结果 “剪剪布” “布布石”三类. 有27种,它们出现的可能性相等. 而满足条件(记为事件 的结果有9种 ∴P(A)=9 = 1 27 3

(1) 列表法和树形图法的优点是什么? (2)什么时候使用“列表法”方便?什么时候使 用“树形图法”方便?
(1)优点:利用树形图或表格可以清晰地表示出 某个事件发生的所有可能出现的结果;从而较 方便地求出某些事件发生的概率. (2)当试验包含两步时,列表法比较方便,当然, 此时也可以用树形图法; 当试验在三步或三步以上时,用树形图法方便.

(课本P154/练习) 2.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能 向左转或向右转,如果这三种可能性大小相同,当有 三辆汽车经过这个十字路口时,求下列事件的概率:
(1)三辆车全部继续直行; (2)两辆车向右转,一辆车向左转; (3)至少有两辆车向左转.

答案:

1 2. (1) 27

1 (2) 9

(3)

7 27

小结:
用树状图和列表的方法求概 率时应注意各种结果出现的 可能性务必相同.

用树状图和列表各自的优缺 点及局限性.

然 现 观观 从 的 在 察察 表 规 大 某结 面 律 量 个果 上 的 随都 看 偶 机是 随 然 现偶 机 之 象然 现 中 立的 象 存 即, 的 在 可但 每 着 以多 一 必 发次 次 : ,

.

,

3. 用数字1、2、3,组成三位数,求其中恰有2个相同的数 字的概率. 组数开始
百位 十位

1 1 2 3 1

2 2 3 1

3 2 3

个位 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

解: 由树形图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出 现的可能性相等. 其中恰有2个数字相同的结果有18个.
18 2 ∴ P(恰有两个数字相同)= 27 = 3

4.把3个不同的球任意投入3个不同的盒子内(每盒装球 不限),计算: (1)无空盒的概率; (2)恰有一个空盒的概率. 投球开始
球① 球②

盒1 1 2 3 1

盒2 2 3 1

盒3 2 3

球③ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

解: 由树形图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出 现的可能性相等. (2)恰有一个空盒的结果有 (1)无空盒的结果有6个 18个 6 2 18 2 ∴ P(无空盒

)= 27 = 9 ∴ P(恰有一个空盒)=27 = 3


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