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25.3反证法

发布时间:2014-01-07 13:53:23  

义务教育课程 标准实验教材 沪科版
九年级 下册

25.3 反证法

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中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王 戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树 上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动.有人问王戎为什么? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”

小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的吗? 他运用了怎样的推理方法?

王戎推理方法是:
假设“李子甜” 树在道边则李子少

与已知条件 “树在道边而多子”产生矛 盾
假设 “李子甜”不成立

所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的

例:小华睡觉前,地上是干的,早晨起 来,看见地上全湿了。小华对婷婷说: “昨天晚上下雨了。” 您能对小华的判断说出理由吗? 假设昨天晚上没有下雨,那么地上应 是干的,这与早晨地上全湿了相矛盾,所 以说昨晚下雨是正确的。

在证明一个命题时,人们有时

先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立,是错误的,

即所求证的命题正确.
这种证明方法叫做反证法.

[能力测试]
写出下列各结论的反面: (1)a//b; a∥b (2)a≥0; (3)b是正数; (4)a⊥b a<0 b是0或负数 a不垂直于b

变式训练
1、“a<b”的反面应是( D ) (A)a≠>b (B)a >b (C)a=b (D)a=b或a >b 2、用反证法证明命题“三角形中最多有 一个是直角”时,应如何假设? 假设三角形中有两个或三个角是直角 ___________________________________

试一试
已知:如图,直线a,b被直线c所截, ∠1 ≠ ∠2

c
1

a b

求证:a∥b
2

证明:假设结论不成立,则a∥b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 这与已知的∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立 ∴a∥b

求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交 于点P. l 求证: l3与l2相交. l3与l2 不相交. 证明: 假设____________, l3∥l2 那么_________. l1∥l2 因为已知_________, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直 这与“_______________________ 线平行于已知直线 _____________”矛盾.
3

P

l1 l2

所以假设不成立,即求证的命题正确.

求证:在一个三角形中,至少有一个内角小 于或等于60°。 已知:△ABC 求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于 证明:假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° , 60°. 则 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° , 即 ∠A+∠B+∠C>180° 。

这与 三角形的内角和为180度 矛盾.假设不成立 ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. .
点拨:“至少”的反面是“没有”,“至多” 新课标教学网(www.xkbw.com)-海量教学资源欢迎下载! 的反面是“不止”!

用反证法证明(填空):在三角形的内角 中,至少有一个角大于或等于60°. 已知: ∠A,∠B,∠C是△ABC的内角. 求证: ∠A,∠B,∠C中至少有一个角大 于 或等于60°. 证明: 假设所求证的结论不成立,即 ∠A ___ 60° ,∠B ___ 60° ,∠C ___60° < < < 则∠A+∠B+∠C < 180°. 这与________________________________相矛盾. 三角形三个内角的和等于180° 所以______不成立,所求证的结论成立. 假设

反证法的一般步骤:
假设命题结 (即命题结论反面成立) 论不成立。

假设
与已知条 件矛盾 与定理,定义, 公理矛盾

所证命题 成立

推理得出 的结论

假设不 成立

定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直 线平行,那么这两条直线也互相平行.
(1)你首先会选择哪一种证明方法? (2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?

已知:如图,l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3

p

证明:假设l1不平行l3,则l1与l3相交,设交点为p. ∵l1∥l2 , l2∥l3, 则过点p就有两条直线l1、 l3都与l2平行,这与“经过直线外一点,有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾. 所以假设不成立,所求证的结论成立, 即 l1∥l3

l1 l2 l3

定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行. l (3)不用反证法证明

已知:如图,l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 p 1 l2 求证: l1∥l3 3 证明:作直线l交直线l2于点p, l3 ∵l1∥l2 ,l 2∥l 3 ∴直线l必定与直线l2,l3相交(在同一平面内, 如果一条直线和两条平行直线中的一条相 交,那么和另一条直线也相交) ∴∠2 =∠1=∠3(两直线平行,同位角相等) ∴ l1∥l3 (同位角相等,两直线平行)

2

l1

练一练
已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相 交,且 l1∥l3,l2∥l3, 求证:∠1=∠2
l
1 2

l1

证明: ∵l1∥l3,l2∥l3(已知) ∴l1∥l2 (在同一平面内,如果两条直线 都和第三条直线平行,那么这 两条直线也互相平行) ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)

l2
l3

发生在身边的例子:
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈 呢!

上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么? 小芳全家没外出旅游. 他是如何推断该命题的正确性的?

在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一 至两个例子.

总结回顾:
1、反证法的概念; 2、反证法的一般步骤:
假 设 命 从假设出发 题 不 成 立 求 证 的 命 题 正 确


引 出 矛 盾

假 设 不 得出结论 成 立

布置作业:
见习题25.3(4)


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