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九年级数学二次函数图象和性质

发布时间:2014-01-07 13:53:32  

九年级数学(下)第二章 二次函数
3.刹车距离与二次函数(1)y=ax2与y=ax2+c图象和 性质

阳泉市义井中学 高铁牛
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想一想P42 1

刹车距离与二次函数

驶向胜利 的彼岸

?你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗? ?汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因 素有关? ?影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的 摩擦系数.有研究表明,晴天在某段公路上行驶时,速度为 v(km/h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式(1)确定: ?雨天行驶时,由公式(2)来计算:
1 2 1 2 ?1?.s ? v . ?2?.s ? v . 100 50
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想一想P42 2

1 2 1 2 比较函数s ? 100 v与 s ? 50 v 的图象

驶向胜利 的彼岸

?在同一直角坐标系中作出函数(1)(2)的图象(先想一想, 在函数(2)中,v可以取任何值吗?为什么?). ?完成下表:
v

1 2 1 2 ?1?.s ? v . ?2?.s ? v . 100 50
0 0 0 20 4 8 40 16 32 60 36 72 80 64 128 100 100 200 120 144 288 140 196 392

1 2 s? v 100 1 2 s? v 50

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做一做P43 3
s 288

描点,连线
1 2 ?2?s ? v 50 1 2 ?1?s ? v 100
驶向胜利 的彼岸

?

观察 图象, 回答 问题 串
-20

200 144 128 100 72 64 36
32

(1)两个图象有什么相同与不同?

16
0

相同点: (1)它们都是抛物线的一部分; (2)二者都位于y轴的左侧. (3)函数值都随y值的增大而增大. 不同点: (2)的图像在(1)的图象的内侧. (2)的s比(1)中的S增长速度快 .
20 40 60 80 100 120

140 V/(km/h)

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做一做P43 4
s 288

观察图象,回答问题串
1 2 s? v 50 1 2 s? v 100
驶向胜利 的彼岸

200 144 (2)如果行车速度是60km/h,那么在雨天 128 行驶和在晴天行驶相比,刹车距离相差多 100 少米?你是怎么知道的? 72 64 36 刹车距离相差一半(36m),由图象,表格
32

或解析式都可以获知.

?
-20

16
0 20 40 60 80 100 120 140 V/(km/h)

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做一做P44 5

函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
?在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图 象. ?(1)完成下表:
x y=x2 y=2x2 … … … -3 9 18 -2 4 8 -1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 4 8

驶向胜利 的彼岸

3 9 18

… … …

?(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象.
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?(3)二次函数y=2x2的图象 是什么形状?它与二次函数 y=x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=2x2的 图象形状与y=x2 一样,仍是抛物线.

y ? x2

y ? 2x 2

只是开口 大小不同.
顶点都是 原点(0,0).

二次项系数a>0,开口都向上;对 称轴都是y轴;增减性与也相同.

?想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=2x2的图象,会是什么样?

?(4)二次函数y=-2x2的图象 是什么形状?它与二

次函数 y=-x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=-2x2的 图象形状与y=-x2 一样,仍是抛物线.

y ? ?x

2

y ? ?2x 2

顶点都是 原点(0,0).

只是开口 大小不同.

二次项系数a<0,开口都向下;对 称轴都是y轴;增减性与也相同.

?请你总结二次函数y=ax2的图象和性质.

二次函数y=ax2

y ? ax2

的性质
1.抛物线y=ax2的 顶点是原点,对称 轴是y轴. 3.当a>0时,在对称轴 的左侧,y随着x的增大 而减小;在对称轴右 侧,y随着x的增大而增 大.当x=0时函数y的值 最小.当a<0时,在对 称轴的左侧,y随着x的 增大而增大;在对称 轴的右侧,y随着x增大 而减小,当x=0时,函数 y的值最大.

2.当a>0时,抛 物线y=ax2在x 轴的上方(除顶 点外),它的开 口向上,并且向 上无限伸展; 当a<0时,抛物 线y=ax2在x轴 的下方(除顶点 外),它的开口 向下,并且向下 无限伸展.

4. a 越大,开口越小, a 越小,开口越大.

二次函数y=ax2的性质
1.顶点坐标与对称轴

y ? ax

2

2.位置与开口方向 3.增减性与最值 根据图形填表: y=ax2 (a>0) 抛物线
顶点坐标 对称轴

y= ax2 (a<0)
(0,0)

(0,0)
y轴 在x轴的上方(除顶点外) 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

y轴
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

位置
开口方向 增减性 最值 开口大小

当x=0时,最小值为0.
a 越大,开口越小.

当x=0时,最大值为0.
a 越小,开口越大.

议一义P45 10

我思,我进步

驶向胜利 的彼岸

?在同一坐标系中作出二次函数y=2x2 +1的图象与二次 函数y=2x2 的图象. ?二次函数y=2x2 +1的图象与二次函数y=2x2 的图象有什 么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴 和顶点坐标分别是什么?作图看一看.

?
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?二次函数y=2x2+1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=2x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=2x2+1的 图象形状与y=2x2 一样,仍是抛物线.

y ? 2x2 ?1

y ? 2x 2

顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).

位置不同; 最小值不同: 分别是1和0.

二次项系数为2,开口向上; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.

?想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-2x2+1和 y=-2x2的图象,会是什么样?

?二次函数y=-2x2+1的图象

y y ? ?2 x ? 1
2

是什么形状?它与二次函数 y=-2x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=-2x2+1的 图象形状与y=-2x2 一样,仍是抛物线.

y ? ?2x 2

顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).

位置不同;

最大值不同: 分别是1和0..

二次项系数为-2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.

?想一想,二次函数y=ax2+c和y=ax2的图象和性质?

议一义P45 13

我思,我进步

驶向胜利 的彼岸

?在同一坐标系中作出二次函数y=3x2 -1的图象与二次 函数y=3x2 的图象. ?二次函数y=3x2 一l的图象与二次函数y=3x2 的图象有什 么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴 和顶点坐标分别是什么?

?
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?二次函数y=3x2-1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=3x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3x2+1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).
y ? 3x 2 ? 1

y ? 3x 2

位置不同; 最大值不同: 分别是1和0.

二次项系数为正数3,开口 向上;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.

?想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和 y=-3x2的图象,会是什么样?

?二次函数y=-3x2-1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=-3x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3x2+1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).

y ? ?3x 2

y ? ?3x 2 ? 1

位置不同; 最大值不同: 分别是0和-1.

二次项系数为正数-3,开口 向下;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.

?请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.

二次函数y=ax2+c的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴
y ? ax2 ? c

2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线 y=ax2 +c(a>0) y=ax2 +c(a<0) (0,c) y轴 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

y ? ax2 ? c

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向

(0,c) y轴

当c>0时,在x轴的上方(经过一,二象限); 当c<0时,在x轴的下方(经过三,四象限); 当c<0时,与x轴相交(经过一,二三四象限). 当c>0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

增减性 最值

当x=0时,最小值为c.

当x=0时,最大值为c.

小结

拓展

回味无穷

二次函数y=ax2 +c与=ax2 的关系

驶向胜利 的彼岸

?1.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. ?(2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴. ?(3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减小,在y轴右侧,y 都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在y轴左侧,y都随x的增大 而增大,在y轴右侧,y都随 x的增大而减小 .

2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). (2)最值不同:分别是c和0. 3.联系: y=a

x2+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax2 的图象沿y轴整体平移 |c|个单位得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移).
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独立 作业

知识的升华

P45 习题2.3 1,2题.

祝你成功!
驶向胜利 的彼岸

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P45 习题2.3 1,2题
么?先想一想,如果需要,作草图看一看.

独立 作业

1.二次函数y=-3x2和y=3x2的图象有什么关系?它是轴对
称图形吗? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什
1 2 1 2 二次函数y ? ? x 和 y ? x 呢? 2 12 2.二次函数 y ? 3x 2 ? 和y=3x2的图象有什么关系?它 2

是轴对称图形吗? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分 别是什么?先想一想,如果需要,作草图看一看.
1 2 1 2 二次函数y ? ? x ? 3 和 y ? ? x 呢?. www.1230.org 初中数学资源网 2 2

下课了!

结束寄语
?

一个人只要坚持不懈地 追求,他就能达到目的.

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