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28.3.1弧长和扇形的面积

发布时间:2014-01-07 17:06:05  

问题情景:
如图是圆弧形状的铁轨示意图,其中铁轨的半径为100 米,圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗?(π 取3.14 )
分析:我们容易看出这段铁轨是圆周 长的四分之一,所以铁轨的长度 ≈ 2 ? 3 ? 100 =157.0(米).
4

图 23.3.1

问题探究
上面求的是的圆心角900所对的弧长,若圆心角为n0, 如何计算它所对的弧长呢?

思考:
请同学们计算半径为 r,圆心角分别为1800、900、450、 10、n0所对的弧长。
A O B

图 23.3.2

探索:
(1)圆心角是180°,占整个周角的180 ,因此它所对的弧长
180 ? 2?r ? ?r _______; 360

360 90 ,因此它所对的弧长 360

(2)圆心角是90°,占整个周角的 _______;
90 90 1 ? 2?r ? ? ?r ? ?r 360 180 2

45 360 (3)圆心角是45°,占整个周角的_________,因此它所对
的弧长_______;

1 360 (4)圆心角是1°,占整个周角的__________,因此它所对
的弧长_______;

45 45 1 ? 2?r ? ?r ? ?r 360 180 4

n (5)圆心角是n°,占整个周角的__________,因此它所对 360
的弧长_______.
n n ? 2?r ? ?r 360 180

1 1 ? 2?r ? ?r 360 180

结论:
如果弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为r,那么,弧长 的计算公式为:

n n?r l? ? 2?r ? 360 180

练一练:
已知圆弧的半径为50厘米,圆心角为60°,求此圆弧的 长度。
n n?r ? 2?r ? 解: l ? 360 180
=

50 ? 3

答:此圆弧的长度为 50 ?
3

cm

cm

效果检测 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所 围成的图形叫做扇形

O

扇形

扇形面积越大,圆心角就越大。

小试牛刀
下列图形是扇形吗?

探求新知 思考:(1)半径为R的圆,面积是多少?
(2)1°的圆心角所对的扇形面积是多少? (3)n°的圆心角所对扇形面积是多少?

S扇形

n?R ? 360

2

1 ? lR 2

n° 1° O

探 索
图 23.3.4

(1) 是180°的扇形面积是圆面积的_________;

180 如图,圆心角是180°,占整个周角的 360 ,因此圆心角

(2) 圆心角是90°,占整个周角的________,因此圆心角 是90°的扇形面积是圆面积的________; (3) 圆心角是45°,占整个周角的________,因此圆心角 是45°的扇形面积是圆面积的________; (4) 圆心角是1°,占整个周角的________,因此圆心角是 1°的扇形面积是圆面积的_________; (5) 圆心角是n°,占整个周角的________,因此圆心角是 n°的扇形面积是圆面积的_________.

结论:
如果设圆心角是n°的扇形面积为S,圆的半径为r,那么 扇形的面积为: 2

n?r n?r r 1 S? ? ? ? lr 360 180 2 2

因此扇形面积的计算公式为
n?r 2 S? 360
1 S ? lr 2



小试牛刀 1.已知弧所对的圆心角为90°,半径是4,则弧长 为____。 2?
2. (06· 随州)已知一条弧的半径

为9,弧长为8π , 那么这条弧所对的圆心角为____。 160? 3. (06· 枣庄)钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那 么经过40分钟,分针针端转过的弧长是( B ) 50? 20? 10? 25? cm A. C. cm cm B. cm D. 3 3 3 3

随堂训练 1、已知扇形的圆心角为120°,半径为2,则这个

4? 扇形的面积S扇形=____. 3

1 2、已知扇形面积为 ? ,圆心角为60°,则这个 3
扇形的半径R=____. 2

4 3、已知半径为2cm的扇形,其弧长为 ? , 3 4 ?cm 2 则这个扇形的面积是_________. 3

小试牛刀:
1、如果扇形的圆心角是230°,那么这个扇形的面积 等于这个扇形所在圆的面积的____________;

2 2、扇形的面积是它所在圆的面积的 ,这个扇形的圆 3 心角的度数是_________°.
3、扇形的面积是S,它的半径是r,这个扇形的弧长是 _____________ ;

23 答案: 36

240°,

2s r

例题讲解
例1 如图,圆心角为60°的扇形的半径为10厘米,求这 个扇形的面积和周长(π≈3.14).
解:因为n=60°,r=10厘米,所以扇形面积为
n?r 2 60 ? 3.14 ? 10 2 S? ? 360 360
=52.33(平方厘米);

扇形的周长为
n?r 60 ? 3.14 ?10 l? ? 2r ? ? 20 180 180

图 23.3.5

=30.47(厘米)。

如图,一块等边三角形的木版,边长为1,现将木板沿水平线翻滚两次,

那么B点从开始到结束所经过的路径长是多少?
A

B

C

课堂小结: 本节课我们共同探寻了弧长和扇形面积 的计算公式,一方面,要理解公式的由 来,另一方面,能够应用它们计算有关 问题,在计算力求准确无误。


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