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你能证明它们吗(三)

发布时间:2014-01-08 13:01:21  

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想一想
(1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边 三角形? (2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等 边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路 与同伴交流.

分析:有一个角是60°,在等腰三角形中有两 种情况:(1)这个角是底角;(2)这个角是顶角.

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等边三角形的判定定理:
定理:有一个角是60°.的等腰三角形是等边 三角形.

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随堂练习
求证:三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知:△ABC中,∠A=∠B=∠C. 求证:△ABC是等边三角形. 证明:∵∠A=∠B, ∴BC=AC(等角对等边).

A

又∵∠A=∠C,
∴BC=AB(等角对等边). ∴AB=BC=CA, 即△ABC是等边三角形.

B

C

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等边三角形的性质和判定:
性质 等边对等角 判定的条件 等角对等边

“三线合一”,即等腰三 有一角是60°的等腰 角形顶角平分线,底边上 等腰三角形 三角形是等边三角形 (含等边三角形) 的中线、高互相重合
等边三角形三个角都相等, 三个角都相等的三角 且每个角都是60° 形是等边三角形

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做一做
用含30°角的两个三角尺,你能拼成一个怎样的三角 形?能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由. 由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角 边与斜边有怎样的大小关系?你能证明你的结论吗? A
A

B

B

D (1)

C

D (2)
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C

定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.

1 求证:BC= AB. 2
证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD. ∵∠ACB=90°∴∠ACD=90°

A

∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等). B ∴△ABD是等边三角形(有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形). C

D

1 1 ∴BC= BD= AB. 2 2

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[例题]
等腰三角形的底角为15°腰长为2a,求腰上的高. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC=2a, ∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高; 求:CD的长. A

D

B 解:∵∠ABC=∠ACB=15°

C

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°

锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
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1 1 ∴CD= AC= ×2a= a(在直角三角形中,如果一个 2 2

想一想
一个问题“反过来”思考,就可能形成一个真命题. 你能举个例子吗?

例如“等边对等角”反过来“等角对等边”也是真命 题;“等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于 60°”,反过来“三个角都相等的三角形是等边三角形” .
但有些命题“反过来”就不成立.例“对顶角相等” 反过来“相等的角是对顶角”就不成立.

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试一试
命题“在三角形中,如果一条直角边等于斜边 的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°”是真 命题吗?如果是,请你证明它.

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1 已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC= AB. 2
求证:∠BAC=30°
A

证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD. ∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°. 又∵AC=AC. ∴△ACB≌△ACD(SAS). ∴AB=AD.
B C D

1 ∵CD=BC,∴BC= BD. 2 1
又∵BC=
即△ABD是等边三角形.

2

AB,∴AB=BD.∴AB=AD=BD,

∴∠B=60°.在Rt△ABC中,∠BAC=30°. http://www.bnup.com.cn

课时小结
1、等腰三角形成为等边三角形的条件,并对这个结 论的证明有意识地渗透分类的思想方法.

等腰三角形

+底和腰相等
+有一个角是60°

等边三角形

三角形

三个角相等

等边三角形

2、推理证明了含30°角的直角三角形的边的关系.
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