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18.1勾股定理的应用

发布时间:2014-01-08 13:58:26  

b a

c

a2+b2=c2

练习1:
蚂蚁从A点经B到C点的最少要爬了多少厘米?

A
5

4 G 3

B

12

E
5

13

C

(小方格的边长为1厘米)

练习2:
小明在平坦无障碍物的草地上,从A地向东走 3 m , 再向北走 2 m ,再向西走 1 m ,再向北走 6 m ,最后 向东走 4 m 到达 B 地 ,求 A、B 两地的最短距离 是多少?

4

AB ? 62 ? 82 ? 100

B

? 10
答:A、B 两地的最短距离 是10 米.

6

10
1

8

A

2

3

6

c

练习3:
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5 米、2.2米,那么,能进入电梯内的竹竿的最 大长度大约是多少米?

2.2米 1.5米
1.5米

A

2.2米

x
1.5米 1.5米 1.5米 1.5米

2.2米

C

x

B

X2=1.52+1.52=4.5

AB2=2.22+X2=9.34

AB≈3米

探究1:

展开问题

有一圆柱,底面圆的周长为24cm,高为6cm,一只蚂 蚁从底面的A处爬行到对角B处吃食物,它爬行的最 短路线长为多少? B 分析:由于蚂蚁是沿着圆柱 C 12 B
的表面爬行的,故需把圆柱 展开成平面图形.根据两点之 间线段最短,可以发现A、B 分别在圆柱侧面展开图的宽 6cm处和长24cm中点处,即AB 长为最短路线.(如图)

6 6 5
A

A

蚂蚁从距底面1cm的A 处爬行到对角B处吃 食物,它爬行的最短 路线长为多少?

B

C

12 5 13

B

A

A

变式1:
有一木质圆柱形笔筒的高为h,底面半径 为r,现要围绕笔筒的表面由A至C,(A,C在 圆柱的同一轴截面上)镶入一条银色金属线 作为装饰,这条金属线的最短长度是多少?

C

B D

C

A

A

变式2:如果圆柱换成如图的棱长为

10cm的正方体盒子,蚂蚁沿着表面由A 至B需要爬行的最短路程又是多少呢?
B

B

10

C
A

A

10

10

C

变式3:如果盒子换成如图长为3cm,宽
为2cm,高为1cm的长方体,蚂蚁沿着表 面需要爬行的最短路程又是多少呢?
B

1
A

2
3

分析:有3种情况,六条路线。
(1)经过前面和上底面;
(或经过后面和下底面)
B
2 1

(2)经过前面和右面;
(或经过左面和后面)

(3)经过左面和上底面.
(或经过下底面和右面)
B
A

A

3

C B 1 C
B

3

2

1
A

2

3

2

A 1

3

C

变式4:
如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分 别为2m、0.3m、0.2m,A和B是台阶上两个相对的顶点,A 点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,问蚂蚁沿着台 阶爬行到B点的最短路程是多少?
B
B
(0.2×3+0.3×3)m

0.2 0.3
A

2

A

2m

C

勾股定理在生活中的应用十分广泛,利用勾股定理解决问 题,关键是找出问题中隐藏的直角三角形或自己构造合适的直 角三角形。尝试把立体图形转换为平面图形。

探究2:

折叠问题

64 ? 16z ? z ? 16 ? z 2 4 4 z ? z ? 5 ?OD ? 8 ? 5 ? 3 z E5 3 ? D(3, 0) A x O D 12 1 1 8 3 S?ADC ? AD?OC ? ? 5 ? 4 ? 10 8-z 5 4 2 2 4 12 24 B1 24 12 y ? ? x ? 4 当y ? ? 时, 解得x ? ? B1 ( ,

? ) 3 5 5 5 5

边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴 和y轴上,若沿对角线AC折叠后,点B落在第四象限B1处, 设B1C交X轴于点D, 求(1)点D的坐标;(2)三角形ADC的面积; (3)CD所在的直线解析式;(4)点B1的坐标. y 2 2 2 (8 ? z ) ? 4 ? z 8 B C 2 2 1

练习&2

?

如图,小颍同学折叠一个直角三角形的纸片, 使A与B重合,折痕为DE,若已知AC=10cm, BC=6cm,你能求出CE的长吗?
x 2 ? 62 ? (10 ? x )2
B
D

x 2 ? 36 ? 100 ? 20 x ? x 2

20 x ? 100 ? 36
解得x ? 3.2
A

10-x 6 10-x

x

10

E

C

探究3:
长方形ABCD如图折叠,使点D落在BC边上的点F处, 已知AB=8,BC=10,求折痕AE的长。

42 ? (8 ? x )2 ? x 2

16 ? 64 ? 16x ? x ? x
2

2

AE ? EF 2 ? AF 2 ? 52 ? 102 ? 5 5

解得x ? 5
A

10 ?

D x x E 8 8-x

8
B

10 6 10

F 4 C

练习&3

?

折叠长方形纸片,先折出折痕对角线BD,在绕点D折叠, 使点A落在BD的E处,折痕DG,若AB=4,BC=3,求 AG的长。

x ? 2 ? (4 ? x )
2 2

2

x 2 ? 4 ? 16 ? 8 x ? x 2

8 x ? 12
3 x? 2

D

4

C
2

3

3

E5 x

3 B

A x 你还能用其他方法求AG的长吗?

G
4

4-x

练习&3

?

折叠长方形纸片,先折出折痕对角线BD,在绕点D折叠, 使点A落在BD的E处,折痕DG,若AB=4,BC=3,求 AG的长。 你还能用其他方法求AG的长吗?

1 1 1 ? 3x ? ? 5x ? ? 3? 4 2 2 2
D

? 8 x ? 12
4

3 ?x? 2
C
2

1 1 ? 3 ? (4 ? x ) ? ? 5 x 2 2 3 12 ? 3 x ? 5 x ? x ? 2

3
A x

3

E5 x

3 B

G
4

4-x

练习1:
一只蚂蚁从实心长 42 ? (2 ? 1)2 ? 5 方体的顶点A1出发, 12 ? (4 ? 2)2 ? 37 沿长方体的表面爬 到对角顶点C处 22 ? (4 ? 1)2 ? 29 (三条棱长如图所 A1 25 ? 29 ? 37 示),问怎样走路 线最短?最短路线 第一种路线最短 A 长为多少? A1
A1 2

D1

294
D1 B1 C1 1 C

D

5
4

37
B1

41 A

a

A1

c 1 4

2 b B

如果长方形的长、宽、高分别是a、b、c(a>b>c), 你能求出蚂蚁从顶点A1到C的最短路径吗?

变式:
如果长方形的长、宽、高分别是a、b、c(a>b> c),你能求出蚂蚁从顶点A1到C的最短路径吗?
a 2 ? (b ? c )2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc c 2 ? (a ? b)2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab b2 ? (a ? c )2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ac
A1 D A a D1 B1

D1 A1

b

a
C1 c C

?a ? b ? c ? 0

? ab ? ac ? bc

A1

ac
A

a

A1

B1

c c a

b b B

? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc 最小

从A1到C的最短路径是

a ? (b ? c )
2

2


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