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(几何-全等三角形及轴对称)学生版

发布时间:2014-01-08 14:52:59  

初二数学上学期期末考试复习建议(几何部分)

一. 考试范围

第十二章 全等三角形 第十三章 轴对称 第十七章 勾股定理

第十二章 全等三角形 第十三章 轴对称

一、通过框架图进行知识梳理

等腰三角形 轴对称 画轴对称图形的对称轴 画轴对称图形 关于坐标轴对称的点的坐标的关系 等边三角形

二、 基本尺规作图: 作法及原理

作一条线段等于已知线段;

作一个角等于已知角;

作已知角的平分线;

作已知线段的垂直平分线(作已知线段的中点) ;

三、适当总结证明方法:

(1) 证明线段相等的方法

① 利用线段中点. ② 利用数量相等.

③ 证明两条线段所在的两个三角形全等

④ 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等

⑤ 等腰三角形顶角平分线、底边上的高线平分底边

⑥ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

(2) 证明角相等的方法:

① 利用数量相等. ② 利用平行线的性质进行证明.

第1页, 共18页

③ 利用角平分线证明. ④ 证明两个角所在的两个三角形全等

⑤ 同角(或等角) 的余角(或补角) 相等

⑥等腰三角形底边上的高线或底边中线平分顶角

⑦等式性质 ⑧等边对等角

(3) 证明两条线段的位置关系(平行、垂直) 的方法.

(4) 常添加的辅助线:

截长补短

倍长中线

角分线双垂直

角分线翻折

平行线+角分线: 等腰三角形

角分线+垂直: 补全等腰三角形

四、从图形变换的角度来复习全等

同时复习几何的平移、轴对称两种变换, 归纳定义及 性质, 渗透旋转变换的思想 全等三角形的常见图形

平移型:

A A'

B B' C C'

轴对称型:

A

C C B' C' C' A B' C A' A A' A A' A' B (C' ) C (B' ) C' B B' C B C' C B' 第2页, 共18页

旋转型: 补充习题

B'

A

C' A

C B'

B

C

A

A'

C

B

B A

C' B B' ) A'

A'

B' C

(一) 全等的性质和判定

1. 如图, 正方形ABCD的边长为4, 将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处, 该三角板的两条直角边与CD交于点F, 与CB延长线交于点E. 四边形AECF的面积是( ) . A. 16

2. 已知: 如图, AC、BD相交于点O, ∠A = ∠D, 请你再补充一个条件, 使△AOB≌△DOC, 你补充的条件是____________.

3. 在△ABC与△A'B'C' 中, 已知?A = ?A', CD和C'D' 分别为

B

B. 12 C. 8 D. 4

A

C

D

∠ACB和∠A'C'B' 的平分线, 再从以下三个条件: ①?B = ?B', ②AC = A'C', ③CD = C'D' 中任取两个为题设, 另一个为结论, 则可以构成 ( ) 个正确的命题. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 根据下列已知条件, 不能唯一确定△ABC的大小和形状的是( ) . ...... A. AB=3, BC=4, AC=5 C. ∠A=60o, ∠B=45o, AB=4

B. AB=4, BC=3, ∠A=30o D. ∠C=90o, AB=6, AC = 5

5. 如图, 已知△ABC, 则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是( ) .

第3页, 共18页

B

C72?甲c乙50??丙

bA

D. 乙和丙 A. 只有乙 B. 只有丙 C. 甲和乙

6. 已知: 如图, CB = DE, ∠B = ∠E, ∠BAE = ∠CAD. 求证: ∠ACD = ∠ADC.

7. 如图, 锐角△ABC中, D, E分别是AB, AC边上的点, △ADC≌△ADC′, △AEB≌△AEB′, 且C′D∥EB′∥BC, 记BE, CD交于点F, 若?BAC?x?, 则∠BFC的大小是__________°. (用含x的式子表示)

D

B

第6题图 E

第7题图

(二) 轴对称图形和垂直平分线

1. 在下列各图中, 对称轴最多的图形有________条对称轴.

2. (1) 点P(3, ? 5) 关于x轴的对称点坐标为( )

A. (?3, ?5)

(2) 如图, 数轴上A,B两点表示的数分别为?1

点B关于点

A的对称点为C, 则点C所表示的数为(

)

A. ?

2?

(3) 如图, 在正方形网格纸上有三个点A, B, C, 现要在图中网格范围

内再找格点D, 使得A, B, C, D四点组成的凸四边形是轴对称图形

, 在

图中标出所有满足条件的点D的位置. (两个解)

第4页, 共18页 B. (5, 3) C. (?3, 5) D. (3, 5)

B. ?

1?C. ?2?D. 1

3. 如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB = 90°, ∠A = 15°, AB的垂直平分线与 AC交于点D, 与AB交于点E, 连结BD. 若AD=12cm, 则BC的长为 cm.

4. 如图, 已知△ABC中, ∠BAC = 120°, 分别作AC, AB边的垂直平分线PM, PN交于点P, 分别交BC于点E和点F. 则以下各说法中: ①∠P = 60°, ②∠EAF = 60°, ③点P到点B和点C的距离相等, ④PE = PF, 正确的说法是______________. (填序号) ①②③

B

第3题图

第4题图

5. 已知∠AOB=45°, 点P在∠AOB的内部, P1与P关于OB对称, P2与P关于OA对称, 则P1、P2与O三点构成的三角形是( ) A. 直角三角形

(三) 等腰三角形的性质和判定

1. 等腰直角三角形的底边长为5, 则它的面积是( ). A. 50

B. 25

C. 12.5

D. 6.25

2. 已知: 如图3, △ABC中, 给出下列四个命题: ① 若AB=AC, AD⊥BC, 则∠1=∠2; ②若AB=AC, ∠1=∠2, 则BD=DC; ③若AB=AC, BD=DC, 则AD⊥BC;

④若AB=AC, AD⊥BC, BE⊥AC, 则∠1=∠3; 其中, 真命题的个数是( ). A. 1个

3. 如图, 在△ABC中, D是BC边上一点, 且AB = AD = DC, ∠BAD = 40°, 则∠C为( ) . A. 25° B. 35°

C. 40°

D. 50°

B

B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

B. 2个 C. 3个 D. 4个

4. 如图, 在△ABC中, AB = AC, ∠BAC = 30°. 点D为△ABC内一点, 且DB = DC, ∠DCB = 30°. 点E为BD延长线上一点, 且AE = AB.

(1) 求∠ADE的度数;

(2) 若点M在DE上

, 且DM = DA, 求证: ME = DC.

第5页, 共18页

D

C

5. 已知: 如图, △ABC中, 点D,E分别在AB,AC边上, F是

CD中点, 连BF交AC于点E, ?ABE??CEB?180?, 比较线

段BD与CE的大小, 并证明你的结论.

(提示, 注意AE = AB; 过D作AC的平行线交BE于点G)

(四) 等边三角形(30° 角直角三角形)

1. 下列条件中, 不能得到等边三角形的是( ) . ..

A. 有两个内角是60°的三角形

C. 三边都相等的三角形 B. 有两边相等且是轴对称图形的三角形 D. 有一个角是60°且是轴对称图形的三角形

2. 如图, △ABC中, AB=AC, ∠BAC=120°, DE垂直平分AC. 根据以

上条件, 可知∠B=______, ∠BAD=_______, BD: DC=_______.

3. 如图, 在纸片△ABC中, AC = 6, ∠A = 30o, ∠C = 90o, 将∠A沿DE

折叠, 使点A与点B重合, 则折痕DE的长为_____.

第6页, 共18页 B D C E A

4. 如图所示△ABC中, AB = AC, AG平分∠BAC; ∠FBC =

∠BFG = 60?, 若FG = 3, FB = 7, 求BC的长.

(五) 最值问题

1. 如图, P、Q为?ABC边上的两个定点. 在BC边上求作一点M, 使PM+MQ最短

2. 已知: 如图, 牧马营地在M处, 每天牧马人要赶着马群到草地吃草, 再到河边饮水, 最后回到营地M. 请在图上画出最短的放牧路线.

M

第1题图 . 第2题图

3. 如图, 四边形EFGH是一长方形的台球桌面, 现在黑、白两球分别位于A、B两点的位置上. 试问怎样撞击黑球A, 才能使黑球A先碰到球台边EF, 反弹一次后再击中白球B?

4. 如图, MN是正方形ABCD的一条对称轴, 点P是直线MN上的一个动点, 当PC+PD最

小时, ∠PCD = _________°.

第7页, 共18页 MAPDBNC

5. 已知两点M(4, 2) , N(1, 1) , 点P是x轴上一动点, 若使PM+PN最短, 则点P的坐标应为___________.

6. 平面直角坐标系xOy中, 已知点A(0, 4) , 直线x = 3, 一个动点P自OA的中点M出发, 先到达x轴上的某点(设为点E) , 再到达直线x = 6上某点(设为点F) 最后运动到点A, 求使点P运动的路径中最短的点E、F的坐标.

几何专题复习

(一) 分类讨论

1. ① 等腰三角形的一个角是110?, 求其另两角?

② 等腰三角形的一个角是80?, 求其另两角?

③ 等腰三角形两内角之比为2: 1, 求其三个内角的大小?

2. ① 等腰三角形的两边长为5cm、6cm, 求其周长?

② 等腰三角形的两边长为10cm、21cm, 求其周长?

3. ① 等腰三角形一腰上的中线将周长分为12cm和21cm两部分, 求其底边长?

② 等腰三角形一腰上的中线将周长分为24cm和27cm两部分, 求其底边长?

4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°, 则其顶角为_______.(按高的位置分类)

5. 等腰三角形一边上的高等于底边的一半, 则其顶角为___________.

6. 等腰三角形一腰上的高等于腰的一半, 则其顶角为___________.

7. 等腰三角形一边上的高等于这边的一半, 则其顶角为___________.

8. △ABC中, AB = AC, AB的中垂线EF与AC所在直线相交所成锐角为40?, 则∠B = _____. (按一腰中垂线与另一腰的交点所在位置分类)

9. 已知: A?2,0?、B?0,?4?,C为x轴上一点且?ABC为等腰三角形 , 问满足条件的C点有几个?

10. 在正方形ABCD所在平面上找一点P, 使△PAD、△PAB、△PBC、△PCD均为等腰三角形, 这样的P点有几个?

第8页, 共18页

11. 平面内有一点D到△ABC三个顶点的距离DA = DB = DC, 若∠DAB = 30°, ∠DAC = 40°, 则∠BDC的大小是_________°.

(二) 几何作图

1. 如图, 某地区要在区域S内建一个超市M, 按照要求, 超市M到两个新建的居民小区A, B的距离相等, 到两条公路OC, OD的距离也相等. 这个超市应该建在何处?

(本题要求: 尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹)

S

D

2. 尺规作图作?AOB的平分线方法如下: 以O为圆心, 任意长为半径

画弧交OA、OB于C、D, 再分别以点C、D为圆心, 以大于CD长为

半径画弧, 两弧交于点P, 则作射线OP即为所求. 由作法得12

△OCP≌△ODP的根据是( ) .

A. SAS

3. 如图, 用圆规以直角顶点O为圆心, 以适当半径画一条弧

交两直角边于A、B两点, 若再以A为圆心, 以OA为半径画弧,

与弧AB交于点C, 则∠AOC等于 __________ °

4. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现, 只用两把

完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线. 如图: 一把

直尺压住射线OB, 另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交

于点P, 小明说: “射线OP就是∠BOA的角平分线. ”你认为小

明的想法正确吗? 请说明理由.

第9页, 共18页 O A

B. ASA C. AAS D. SSS

5. 阅读下列材料:

木工张师傅在加工制作家具的时候, 用下面的方法在木板上画直角:

如图1, 他首先在需要加工的位置画一条线段AB, 接着分别以点A、点B为圆心, 以大于1AB的适当长为半径画弧, 两弧相交于点C, 再以C为圆心, 以同样长为半径画弧交AC的2

延长线于点D(点D需落在木板上) , 连接DB. 则∠ABD就是直角.

木工张师傅把上面的这种作直角的方法叫做“三弧法.

D

A

图1 图2

解决下列问题:

(1) 利用图1就∠ABD是直角作出合理解释(要求: 先写出已知、求证, 再进行证明);

(2) 图2表示的一块残缺的圆形木板, 请你用“三弧法”, 在木板上画出一个以EF为一条直...

角边的直角三角形EFG(要求: 尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹) .

(三) 操作问题

第1题 图① 图② 第2题图

1. 如图①, 一张四边形纸片ABCD, ∠A=50?, ∠C=150?. 若将其按照图②所示方式折叠后, 恰好MD?∥AB, ND?∥BC, 则∠D的度数为( ).

A. 70°

第10页, 共18页 B. 75° C. 80° D. 85°

2. 如图所示, 把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后, 3个顶点不重合, 那么图中∠1+ ∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值为( ) A. 180°

3. 将一个菱形纸片依次按下图①、②的方式对折, 然后沿图③中的虚线裁剪, 成图④样式. 将纸展开铺平. 所得到的图形是图中的(

)

B. 270°

C. 360°

D. 无法确定

4. 如图, 等边△ABC的边长为1cm, D、E分别是AB、AC上的点, 将△ADE沿直线DE折叠, 点A落在点A′处, 且点在△ABC外部, 则阴影部分图形的周长为____________cm.

5. 如图, 将一张三角形纸片ABC折叠, 使点A落在BC边上, 折痕EF∥BC, 得到△EFG; 再继续将纸片沿△BEG的对称轴EM折叠, 依照上述做法, 再将△CFG折叠, 最终得到矩形EMNF, 折叠后的△EMG和△FNG的面积分别为1和2, 则△ABC的面积为( ) A. 6

B. 9

C. 12

D. 18

6. 将如图1所示的长方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠, 使点B落在AD边上, 折痕为AE(如图2) ; 再继续将纸片沿过点E的直线折叠, 使点A落在EC边上, 折痕为EF(如图3) , 则在图3中, ∠FAE = _______°, ∠AFE = _______°.

AB

DC

D

DC

图1 图2 图3

第11页, 共18页

7.(1) 已知△ABC中, ?A?90?, ?B?67.5?, 请画一条直线, 把这个三角形分割成两个等腰三角形. (请你选用下面给出的备用图, 把所有不同的分割方法都画出来. 只需画图, 不必说明理由, 但要在图中标出相等两角的度数)

(2) 已知△ABC中, ?C是其最小的内角, 过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形, 请探求?ABC与?C之间的所有可能的关系.

A

B

备用图①

8. 当身边没有量角器时, 怎样得到一些特定度数的角呢?

动手操作有时可以解“燃眉之急”. 如图, 已知矩形ABCD,

我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角: (1) 以点A所

在直线为折痕, 折叠纸片, 使点B落在AD上, 折痕与BC交

于E; (2) 将纸片展平后, 再一次折叠纸片, 以E所在直线为

折痕, 使点A落在BC上, 折痕EF交AD于F. 则∠AFE = _______°.

9. 如图(1)所示Rt△ABC中, ∠A = 90°, 三边a?b?c. 现以△ABC某一边的垂直平分线为对称轴, 作△ABC的轴对称图形, 记作一次操作. 例如, 若图(1)中△ABC以a边的垂直平分线为对称轴, 作轴对称图形得到图(2)中的△ABC, 记作“a操作”一次; 图(2)中△ABC继续以b边的垂直平分线为对称轴, 作轴对称图形得到图(3)中的△ABC, 记作“b操作”一次. 现对图(1)中的△ABC分别按以下顺序连续进行若干次操作, 则最后得到的△ABC与图(1)中△ABC重合的是( ) .

A. a操作 ? b操作 ? c操作

C. a操作 ? c操作 ? b操作 ? a操作

B

CA B 备用图② B A C C C 备用图③ B. b操作 ? c操作 ? b操作 ? c操作 D. b操作 ? a操作 ? b操作 ? a操作

(1)ABC (2) a 操作 (3) b 操作

第12页, 共18页

四、探究性问题

1. 已知: 如图, Rt△ABC中, AB = AC, ∠BAC = 90°, 直线AE是经过点A的任一直线, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E, BD > CE.

(1) AD与CE的大小关系如何? 请说明理由.

(2) 求证: DE=BD-CE.

2. 已知: 如图, B、A、C三点共线, 并且Rt△ABD≌Rt△ECA, M是DE的中点.

问题:

(1) 判断△ADE的形状并证明;

(2) 判断线段AM与线段DE的关系并证明;

(3) 判断△MBC的形状并证明.

3.已知: 在△ABC中, ∠CAB = 2?, 且0????30?, AP平分∠CAB.

(1) 如图1, 若??21?, ∠ABC = 32°, 且AP交BC于点P, 试探究线段AB, AC与PB之间的数量关系, 并对你的结论加以证明;

A

图1

BA图2 B

(2) 如图2, 若∠ABC = 60???, 点P在△ABC的内部, 且使∠CBP = 30°, 求∠APC的度数(用含?的代数式表示) .

第13页, 共18页

五、关于旋转的问题、动点问题

1. 已知: 如图, △AOB和△COD都是等边三角形, 作直线AC、直线BD交于E. 求证: (1) AC=BD; (2) ∠AEB=60°.

2. 已知: 如图, 等边三角形ABC中, AB = 2, 点P是AB边上的一动点(点P可以与点A重合, 但不与点B重合) , 过点P作PE⊥BC, B 垂足为E, 过点E作EF⊥AC, 垂足为F, 过点F作FQ⊥AB, 垂足为

E P

F C

Q. 设BP = x, AQ = y. (1) 请用x的代数式表示y(直接写出) ; (2) 当BP的长等于多少时, 点P与点Q重合;

3. 已知: 如图, △ABC中, ∠A=90°, AB=AC. D是斜边BC的中点; E、F分别在线段AB、AC上, 且∠EDF=90°.

(1) 求证: △DEF为等腰直角三角形.

(2) 如果E点运动到AB的反向延长线上, F在直线, 那么△DEF.......CA上且仍保持∠EDF=90°还仍然是等腰直角三角形吗? 请画图(右图) 并直接写出你的结论.

....

C

B

第14页, 共18页

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

5. 如图△ABC中, AB?AC?10厘米, BC?8厘米, 点D为AB中点.

(1) 如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动, 同

时, 点Q在线段CA上由C点向A点运动.

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等, 经过1秒后, △BPD

与△CQP是否全等, 请说明理由;

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等, 当点Q的运动速度为多少时, 能够使△BPD与△CQP全等?

(2) 若点Q以②中的运动速度从点C出发, 点P以原来的运动速度从点B同时出发, 都逆时针沿△ABC三边运动, 求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇? ( (1) ①SAS全等; ②

第15页, 共18页 1580厘米/秒. (2) 经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇. ) 43

六、综合应用

1. 在平面直角坐标系中, 直线l过点M(3,0), 且平行于

y轴.如果△ABC三个顶点的坐标

分别是A(?2,0), B(?1,0),C(?1,2), △ABC关于y轴的

对称图形是△A1B1C1, △A1B1C1关于直线l的对称图

形是△A2B2C2, 在右面的坐标系中画出△A2B2C2,

并写出它的三个顶点的坐标.

2. 已知: 如图, 在△ABC中, AB = AC, ∠BAC = α, 且60° < α < 120°. P为△ABC内部一点, 且PC = AC, ∠PCA = 120° ? α.

(1) 用含?的代数式表示∠APC, 得∠APC = ________;

(2) 求证: ∠BAP = ∠PCB;

(3) 求∠PBC的度数.

第16页, 共18页 BC

3. 在△ABC中, AD是△ABC的角平分线.

(1) 如图1, 过C作CE∥AD交BA延长线于点E, 若F为CE的中点, 连结AF, 求证: AF⊥AD;

(2) 如图2, M为BC的中点, 过M作MN∥AD交AC于点N, 若AB = 4, AC = 7, 求NC的长.

图1

2

4.在△ABC中, BA?BC,?BAC??, M是AC的中点, P是线段BM上的动点, 将线段PA绕点P顺时针旋转2?得到线段PQ.

(1) 若?????且点P与点M重合(如图1) , 线段CQ的延长线交射线BM于点D, 请补全图形, 并写出?CDB的度数;

(2) 在图2中, 点P不与点B,M重合, 线段CQ的延长线与射线BM交于点D, 猜想?CDB的大小(用含?的代数式表示) , 并加以证明.

第17页, 共18页

5. 在Rt△ABC中, ∠ACB = 90°, ∠A = 30°, BD是△ABC的角平分线, DE⊥AB于点E.

(1) 如图1, 连接EC, 求证: △EBC是等边三角形;

(2) 点M是线段CD上的一点(不与点C, D重合) , 以BM为一边, 在BM的下方作∠BMG = 60°, MG交DE延长线于点G. 请你在图2中画出完整图形, 并直接写出MD, DG与AD之间的数量关系;

(3) 如图3,点N是线段AD上的一点, 以BN为一边, 在BN的下方作∠BNG = 60°, NG交DE延长线于点G. 试探究ND, DG与AD数量之间的关系, 并说明理由.

第18页, 共18页

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