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全等三角形2教师版

发布时间:2014-01-08 17:04:02  

截长补短

1、已知,四边形ABCD中,AB∥CD,∠1=∠2, ∠3=∠4。求证:BC=AB+

CD

2、如图,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB. 求证:CD=AD+BC.

证明:在CD上截取CF=BC 在△FCE与△BCE中,

CF=CB,∠FCE=∠BCE,CE=CE ∴△FCE≌△BCE

(SAS), ∴∠2=∠1. 又∵AD∥BC, ∴∠ADC+∠

BCD=180°, ∴∠DCE+∠CDE=90°, ∴∠2+∠

3=90°,∠1+∠4=90°, ∴∠3=∠4. 在△FDE与△

ADE中,∠FDE=∠ADE,DE=DE,∠3=∠4 ∴△FDE≌

△ADE(ASA), ∴DF=DA, ∵CD=DF+CF, ∴

CD=AD+BC.

3如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD

证明:∠B=60°,则:∠BAC+∠BCA=120°;

AD和CE均为角平分线,则

∠OAC+∠OCA=60°=∠AOE=∠COD.

在AC上截取AF=AE,连接OF.

∵AF=AE;∠FAO=∠EAO;AO=AO.

∴⊿FAO≌⊿EAO(SAS),OF=OE;∠FOA=∠A

OE=60度

.

故∠

COF=∠AOC-∠AOF=60°.∴∠COF=∠COD;又CO=CO,∠OCF=∠OCD.所以,⊿FOC≌⊿DOC(ASA),OF=OD.∴OE=OD(等量代换)

4、已知△ABC中,∠A=60°,BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD、CE交于点O,

试判断BE、CD、BC 的数量关系,并加以证明.

则△COF≌△COD

∠COF=∠COD

∠BOE=180o-∠ABC/2-∠BEO=180o-∠ABC/2-∠ACB/2-

∠A=90o-∠A/2=60o

∠BOF=180o-∠BOE-∠COF=120o-∠COD=60o

∴△BOF≌△BOE(AAS) BF=BE BC=CF+BF=CD+BE

5、如图,已知在△ABC内,∠BAC=60°,∠C=40°,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是∠BAC,∠ABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP

证明:延长AB到D,使BD=BP,连接PD.则∠D=∠5.

∵AP,BQ分别是∠BAC,∠ABC的平分线,∠BAC=60°,

∠ACB=40°,

∴∠1=∠2=30°,∠ABC=180°-60°-40°=80°,

∠3=∠4=40°=∠C.

∴QB=QC,

又∠D+∠5=∠3+∠4=80°,

∴∠D=40°.

在△APD与△APC中,AP=AP,∠1=∠2,∠D=∠C=40°

∴△APD≌△APC(AAS),∴AD=AC.即AB+BD=AQ+QC,∴AB+BP=BQ+AQ.

6、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC

证:

AB上取点E使AE=AC,连PE

易得△AEP≌△ACP

故,PE=PC

△BPE中,BP-PE<BE

所以: BP-PC<AB-AC

即: AB-AC>BP-PC

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