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全等三角形4教师版

发布时间:2014-01-08 17:04:13  

直角三角形全等(余角性质)

1、如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D是斜边上AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,CH⊥AB于H点,交AE于G. 求证:BD=CG.三角形ACG全等于三角形ADB

已有AC=CB 角ACH=角CBD=45°

现证角CAG=角BCD

因为角GAD+角ADC=角HCD+角ADC=90°

即角GAD=角HCD 又有

角CAG+角GAD=角BCD +角HCD =45°

所以角CAG=角BCD

则由三角形ACG全等于三角形ADB 得BD=CG

2、如图,将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上,且过A,B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为D,E,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程.

解:全等三角形为:△ACD≌△CBE.

证明如下:

由题意知∠CAD+∠ACD=90°,

∠ACD+∠BCE=90°,

∴∠CAD=∠BCE.

在△ACD与△CBE中,

∠ADC=∠CEB=90° ∠CAD=∠BCE AC=BC ,

∴△ACD≌△CBE(AAS).

2、如图,∠ABC=90°,AB=BC,D为AC上一点,分别过A、C作BD的垂线,垂足分别为E、F

求证:EF=CF-AE

证△ABE≌△BCF,得BE=CF,AE=BF,

∴EF=BE-BF=CF-AE

3、在△ABC中,?ACB?90?,AC?BC,直线MN经过点C,且AD?

MN于D,BE?MN于

E

.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,

求证: ①?ADC≌?CEB;②DE?AD?BE;

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由. 证明:(1)①∵∠ADC=∠ACB=90°,

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∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°,

∴∠1=∠3

又∵AC=BC,∠ADC=∠CEB=90°,

∴△ADC≌△CEB;

②∵△ADC≌△CEB,

∴CE=AD,CD=BE,

∴DE=CE+CD=AD+BE

(2)∵∠ACB=∠CEB=90°,

∴∠1+∠2=∠CBE+∠2=90°, ∴∠1=∠CBE

又∵AC=BC,∠ADC=∠CEB=90°, ∴△ACD≌△CBE,

∴CE=AD,CD=BE,

∴DE=CE-CD=AD-BE;

4、如图:BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。 求证:(1)AM=AN;(2)AM⊥AN。(1) ∵BE⊥AC,CF⊥AB

∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN

∵BM=AC,CN=AB

∴△ABM≌△NAC

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∴AM=AN

(2)

∵△ABM≌△NAC

∴∠BAM=∠N

∵∠N+∠

BAN=90°

∴∠BAM+∠BAN=90°

即∠MAN=90°

∴AM⊥AN

作平行线

1、已知△ABC,AB=AC,E、F分别为AB和AC延长线上的点,且BE=CF,EF交BC于G.求证:EG=GF.

A

E

BGC

F过点E作ED∥AC交BC于D ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∵ED∥AC ∴∠EDB=∠ACB,∠GED=∠F,

∠GDE=∠GCF ∴∠B=∠EDB ∴BE=DE ∵BE=CF ∴DE=CF ∴△EDG≌△FCG ∴EG=GF

2、如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,DE⊥BD于D,交BC于点E.

求证:CD=

1BE 证明:过点D作DF∥AB交BC于点F.

∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2.

∵DF∥AB,∴∠1=∠3,∠4=∠ABC.

∴∠2=∠3,∴DF=BF.

∵DE⊥BD,∴∠2+∠DEF=90o,∠3+∠5=90o.

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∴∠DEF=∠5.∴DF=EF.

∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.

∴∠4=∠C,CD=DF.

∴CD=EF=BF,即CD=1BE. 2

A

1、如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,CE⊥AD于E.

求证:∠ACE=∠B+∠ECD. D

B

分析:注意到AD平分∠BAC,CE⊥AD,于是可延长CE交AB于点F,即可构造全等三角形.

证明:延长CE交AB于点F.

∵AD平分∠BAC,

∴∠FAE=∠CAE.

∵CE⊥AD,

∴∠FEA=∠CEA=90o.

在△FEA和△CEA中,

∠FAE=∠CAE,

AE=AE,

∠FEA=∠CEA.

∴△FEA≌△CEA.

∴∠ACE=∠AFE.

∵∠AFE=∠B+∠ECD,

∴∠ACE=∠B+∠ECD.

2、如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.

求证:BD=2CE. FEC延长角平分线的垂线段

F

A

E

BC

3、如图:∠BAC=90°,CE⊥BE,AB=AC ,BD是∠ABC的平分线,求证:BD=2EC

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B

4、已知,如图34,△ABC中,∠ABC=90o,

AB=BC,AE是∠A的平分线,CD⊥AE于D.

求证:CD=1AE. 2

A

C

D

B

面积法

1 如图1,在△ABC中,∠BAC

的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.

分析:根据已知可知AD是∠BAC的平分线,可通过点D作∠BAC的垂线,根据角平分线的性质,结合三角形的面积进行证明.

证明:

过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F.

因为DA为∠BAC的平分线,所以DE=DF.

又因为AD平分BC,所以BD=CD,

所以S△ABD=S△ACD,

又S△ABD=11AB·DE,S△ACD=AC·DF, 22

所以AB·DE=AC·DF,

所以AB=AC.

2、如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系, 并给予证明.

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A

M

F

E

BC

3、己知,△ABC中,AB=AC,CD⊥AB,垂足为D,P是BC上任一点,PE⊥AB,PF⊥AC垂足分别为E、F, 求证:① PE+PF=CD.

② PE – P F=CD.

A

D E F

P

A

E

G P

旋转型

1、如图,正方形ABCD的边长为1,G为CD边上一动点(点G与C、D不重合), 以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于H。

求证:① △BCG≌△DCE

② BH⊥DE

A

H F

E B C

2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连结DC. 6 小李老师专用资料,盗版必究

(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);

(2)证明:DC⊥BE.

图1 图2

3、(1)如图7,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求∠AEB的大小;

B D O

图7 A

(2)如图8,ΔOAB固定不动,保持ΔOCD的形状和大小不变,将ΔOCD绕着点O旋转(ΔOAB和ΔOCD不能重叠),求∠AEB的大小.

B

O

4、如图,AE⊥AB,AD⊥AC,AB=AE,∠B=∠E, 图8 求证:(1)BD=CE;(2)BD⊥CE.

.证明:(1)AE⊥AB,AD⊥AC ∠BAE=∠CAD

? ∠BAD=∠CAE.而AB=AE,∠B=∠E,

∴△ABD≌△AEC.∴BD=CE.

(2)由△ABD≌△AEC知∠B=∠E.

而∠AGB=∠EGF,∴∠EFG=∠EAB=90°,∴BD⊥CE.

5、如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。

求证: (1)EC=BF;(2)EC⊥

BF

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E C

6、 正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.

AD

F

BEC

7、D为等腰Rt?ABC斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

①当?MDN绕点D转动时,求证DE=DF。

②若AB=2,求四边形DECF的面积。

A

8、如图,?ABC是边长为3的等边三角形,?BDC是等腰三角形,且?BDC?120,以D为顶点做一个60角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,求?AMN的周长。

A00

N

M

B

DC

8

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9、五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,求证:AD平分∠CDE

AF

BEBE

CDCD

10、如图,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五边形ABCDE的面积

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