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青岛版九年级数学第一轮复习

发布时间:2014-01-09 11:50:04  

第一讲 数与式

1.1 实数的有关概念

【知识梳理】

一、实数的分类

整数 有限小数或 无限循环小数

分数 实数

负分数

无限不循环小数

二、实数的有关概念与性质

1.数轴:(1)规定了的_______称为数轴.

(2)实数与数轴上的点是 对应的.

2.相反数:_________________________________________________________________.

3.倒数:(1)非零实数a的倒数是;(2)实数a、b互为倒数?.

??4.绝对值:|a|=???(a?0)(a?0) (a?0)

5.平方根、算术平方根:

(1)定义:一般的,如果一个数x的 等于a,即 ,那么这个数x

就叫做a的平方根.正数a的平方根记作 .

(2)正数有 个平方根,它们互为 ;负数 平方根;0的平方根是

;正数的正的平方根叫做.

6.立方根:_______________________________________________________________.

7.科学记数法:_____________________________________________________________.

8.有效数字:_______________________________________________________________.

9.实数比较大小:(1)数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的______.

(2)______数大于0,______数小于0;两个正数,绝对值大的较 ;两个负数,

绝对值大的较 .

(3)设a、b为两任意实数,则a?b?0?a_____b;a?b?0?a_____b;

a?b?0?a_____b.

【中考热点】

例1把下列各数中:

?7.5,,?4,822?,1378,??

3?5?,0,3.101001000… ,0.25,?0.1

负有理数的个数有____个,正无理数有____个.

例2如图,数轴上的两个点A,B所表示的数分别是a,b,在a?b,a?b,aba?b 中,是正数的有 个.

1 x B 0 A

例3(1)比较大小:

5 2

5;.

(2)实数a在数轴上对应的点如图所示,则a、-a、1的大小关系正确的是( )

A.-a<a<1 B.a<-a<1

C.1<-a<a D.a<1<-a

(3)估计?1的大小在( )

A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间

【基础过关】

1.-

2的绝对值是________2.下列各组数中,互为相反数的是( )

A.2和 0 1 111 B.-2和- C.-2和|-2| D.2和 222

C.±2

D.

3.8的立方根是( ) A.2 B.?2

4.的结果是( ) A.2 B.±2 C.-2 D.4

5.已知一个正数的平方根是3x?2和5x?6,则这个数是6.在,?3.14,?2,sin45?,4 中,无理数有_______个. 3

7.2009年10月11日,第十一届全运会在泉城济南召开.奥体中心建筑面积约为359800平方米,用科学记数法表示建筑面积是(保留三个有效数字)____________平方米.

8.由四舍五入得到的近似数2.4万的有效数字的个数是_____个,它精确到_______位. 9.观察:a1?1?,a2?1

3111111?,a3??,a4??,…,则an?243546

(n=1,2,3,…).

【能力提升】

10.下列各组数中互为倒数的是( )

A.

5 B.??5和???5?

C.?5 D.?5和—1 5?________

212.若(1?m)?m?n的值为________. 11.当m

?313.已知|x|?4,|y|?x1,且xy?0,则的值等于________. y2

14.数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是_______,如果|AB|=2,那么x=_______.

15.a、b互为相反数,c、d互为倒数,m的绝对值是2,则a?b

m2?1?4m?3cd

2

1.2 实数的运算

【知识梳理】

1.数的乘方:

(1)求n个相同因数a的积的运算叫做_______,乘方的结果叫做_____,表示为_____.

(2)a?0a?0);a

mn?p?a?0). 2.幂的运算性质:(1)a?a=______(m,n都是正整数);

(2)a?a=______(a≠0,m,n都是正整数,且m>n);

★特别地:a=_____(a≠0),a?p?

mnmn01(a≠0,p是正整数); apn(3)(a)=______(m,n都是正整数); (4)(ab)=______(n是正整数) .

3.二次根式:(1)二次根式:形如a(a?0)

(2)二次根式的主要性质: ?__(a?0)?22a?0);①a____0(a?0);② (a)?_____( ③a?|a|??__(a?0) ?__(a?0)?

a?0,b?0); ⑤④ab?_______(

(3)二次根式的乘除法 a?____(a?0,b?0). b

a??________(a?0,b?0); a

b?_______(a?0,b?0).

(4)最简二次根式:条件:①被开方数的因数是_______,因式是整式;②被开方数

中不含__________.

(5)同类二次根式:化简到____________________后,根号内的数或式子相同的二次

根式.

4.实数的运算:

实数的运算律满足有理数的运算律.

【中考热点】

例1下列运算正确的是( )

A.a2·a3=a6 B.(a2)3=a6 C.a6÷a2=a3 D.23=-6 -

例2

?_______.

?1?例3

?(?2006)??? ?2?0?1

3

【基础过关】

1.下列计算,正确的是( )

?

B.2?

?0

1?2

2.计算:?

?3a2b3??4?1=.

3.

x的取值范围是.

2?348;4.计算:(1) (2

11?28?;?2; (332?3 72

?1??1??? ; (5

)(?3)2???. (4

?2??2?

【能力提升】

5.若a?0且a?2,a?3,则a

20?1xyx?y的值为( )A.?1 B.1 C D 23326.

?(x?y),则x-y的值为( )A.-1 B.1 C.2 D.3

7.已知?n是正整数,则实数n的最大值为__________.

8.若x??5,y?5?3,则xy的值为 _________.

50?32

?-4; (2

)???; ?9.计算:(1)

(34?()

13?11?23 (4) ?2?2?tan45???(). ?(?)0?2tan45?;24

1.3 整式

【知识梳理】

1.只含有数和字母的乘积的代数式叫做__________.单独一个数或一个字母也是__________,几个________的和叫做多项式.

2. 单项式的次数、系数_____________________________________________________. 多项式的次数、项_________________________________________________________.

3.__________和__________统称为整式.

4.同类项:_________________________________________________________________.

5.在合并同类项时,把同类项的系数______,字母和字母的指数______.

6.去括号法则:(1)括号前是―+‖号, __________________________________________.

(2)括号前是―-‖号, ________________________________________________.

7.整式的运算:(1)整式的加减运算的步骤:若有括号,先____________,再_________.

(2)整式的乘法运算:①单项式与单项式相乘:__________________.

②单项式与多项式相乘:m(a+b)=____________.

③多项式与多项式相乘:(a+b)(m+n)=___________________.

(3)整式的除法运算:①单项式相除:_____________________________.

(2xy-xy)?(?4xy)②多项式除以单项式:计算=___________.

8.乘法公式:(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=__________________;

2(2)完全平方公式:(a?b) =____________________.

【中考热点】

例1下列运算正确的是( )

4A.x3·x=x12 3332B.(?6x)?(?2x)?3x C.2a?3a??a D.(x?2)?x?4 62322

例2(1)单项式?

m?x2y3z3的系数是,次数是. (2)已知x

2y3与?ynx4是同类项,则m=,n=. 22例3已知x?4?0,求代数式x(x?1)?x(x?x)?x?7的值.

例4任意给定一个非零数,按下列程序计算,最后输出的结果是( )

A.m B.m2 C.m+1 D.m-1

【基础过关】

1.-[a-(b-c)]去括号正确的是( )

A.-a-b+c B.-a+b-c C.-a-b-c D.-a+b+c

2.下列式子中是完全平方式的是( )

A.a?ab?b

2222 B.a?2a?2 D.a?2a?1

22C.a?2b?b 223.已知一个多项式与3x?9x的和等于3x?4x?1,则这个多项式是( )

A.?5x?1 B.5x?1 C.?13x?1 D.13x?1

5

4.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a?b)(如图甲),把余下的 部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证( ) 222222A.(a?b)?a?2ab?b B.(a?b)?a?2ab?b

C.a?b?(a?b)(a?b) D.(a?2b)(a?b)?a?ab?2b

5.多项式x?5xy?4y是五次三项式,则正整数n可取的值 为 . 7.先化简,再求值:y(x?y)?(x?y)?x?2y,其中x??,y?3.

【能力提升】

8.已知a,b互为相反数,并且3a?2b?5,则a2?b2?______.

9.抛物线y?x?x?1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m?m?2008的值 为________.

10.若3xm?5222222225n56.计算: (-2a-3b)2 = ,(a+b)(a-b)+2b2 =_______________. 132y2与x3yn的和是单项式,则nm?.

11.观察下列各式:12+1=1×2,22+2=2×3,32+3=3×4------请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来___________________________.

12.据不完全统计,某市至少有6?10个水龙头、2?10个抽水马桶漏水.如果一个关不紧的水龙头一个月漏掉a立方米水,一个抽水马桶一个月漏掉b立方米水,那么一个月造成的水流失量至少是 ___________立方米.

13.如图,边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为3,则另一边长是_________. 55

a?b?2ab?b2????a?14.先化简,再求代数式?

的值,其中a?3tan30?1

aa??

b?45?.

6

1.4 分解因式

【知识梳理】

1.把一个多项式化成几个_______的__的形式的变形叫做把这个多项式分解因式.

2.分解因式的方法:(1)提公因式法:ma+mb+mc=_________

(2)运用公式法:平方差公式_______________,完全平方公式____________________.

(3)十字相乘法:x2+(a+b)x+ab=________________.

3.分解因式的一般思考步骤:

(1)如果多项式的各项有公因式,那么先_________;(2)如果各项没有公因式,那么可以尝试运用_____________________法来分解;(3)分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再_________为止.

【中考热点】

例1(1)下列各式能用完全平方式进行分解因式的是( )

A.x2 +1 B.x2+2x-1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4

(2)分解因式2x2 ? 4x + 2的结果是( )

A.2x(x ? 2) B.2(x2 ? 2x + 1) C.2(x ? 1)2 D.(2x ? 2)2

(3)3x?6xy?3xy分解因式,结果正确的是( )

A.x(3x?y)(x?3y) B.3x(x?2xy?y)

C.x(3x?y)

3222322 D.3x(x?y) 22(4)下列分解因式正确的是( ) A.?a?a??a(1?a) B.2a-4b+2=2(a-2b)

C. a?4?(a?2) D. a?2a?1?(a?1)

例2分解因式:(1)(x?y)?3(x?y); (2) 3x?12;

(3)2x?12x?18; (4)x?10x?24.

【基础过关】

1.下列各多项式中,能用平方差公式分解的是( )

A.x?4y B.x?2x?1 C.?x?4y D.?x?4y

2.分解因式:(1)2x2?8=(2)x3-x;

(3)2a2-4a+;(4)x?4x?4x;

(5)x?2xy?xy(6)x?5x?6;

(7)?a?ab?

323222222222222222223221216?8(x?y)?(x?y)2?(8)ab?47

3.分解因式:3m(2x-y)2-3mn2= .

4.若x?y?1003,x?y?2,则代数式x?y的值是222 5.一个长方形的面积是(x?9)平方米,其长为(x?3)米,用含有x的整式表示它的宽

为________米.

【能力提升】

6.下列四个多项式,哪一个是2x2?5x?3的因式?( )

A.2x-1 B.2x-3 C.x-1 D.x-3

7.当x??7时,代数式(2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1)的值为

8.在日常生活中,上网、取款等都需要密码,一种―分解因式‖法产生密码的方式,方便记忆,原理是:多项式x?y分解因式的结果是(x?y)(x?y)(x?y),若取4422

x?9,y?9,则各因式的值为:x2?y2?162,x?y?18,x?y?0,于是就可以把―162180‖作为一个六位数的密码.对于多项式4x?xy,取x?15,y?15时,用上述方法产生的密码是:__________(写出一个即可) .

9.有足够多的长方形和正方形的卡片,如下图.

1 23 aa

(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张,可拼成一个长方形(不

重叠无缝隙).请画出这个长方形的草图,并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义.

3222(2)小明想用类似的方法解释多项式乘法(a?3b)(2a?b)?2a?7ab?3b,那么

需用2号卡片

张,3号卡片

.

8

1.5 分 式

【知识梳理】

1.用A、B表示两个整式,A?B就可以表示成_______形式,如果B中含有_______,式子A就叫做分式,分式中字母取值必须使分母的值不为0,否则分式________. B

A()()??(其中M是不等于0的整式) . BB?MB?M2.分式的基本性质是:

3. (1)若分式AA有意义,则_________. (2)若分式=0,则_________. BB

ac()??; bbb

)

bc. 4.分式的运算 (1)分式的加减:①同分母分式: ②异分母分式:

(2)分式的乘法:.ad()()(????bcbcbcad??ada?? . ?= . (3)分式的除法:.?=?bcbcbcbd

a

bn(4)分式的乘方:()?(

bn).

【中考热点】

例1下列代数式整式有______________,分式有______________ .(填序号)

x2?12x?y1m2①-2x,②,③, ④0.5xy, ⑤, ⑥, ⑦,⑧. x?1x43?3??a?3

例2填空:(1)函数y=x?1的自变量x的取值范围是 . x?2

b2?1(2)若分式2的值为0,则b的值为_______. b-2b-3

x2?42?例3先化简,再求值:2,其中x?2. x?4x?

2

例4化简:

9 x3??1,并自选一个合理的数代入求值. x?1(x?1)(x?2)

【基础过关】

1.下列式子是分式的是( ) xxxx B. C. ?y D. 2x?123

x?12.当分式的值为0时,x的值是________. x?2A.

3.当x时,分式1有意义. 3?x

4.锅炉房储存了t天的煤m吨,若储存的煤比预定时间多用n天,每天应节约_____吨.

1?m1a25.计算:(1 – (2)1??(m?1). a-1a-11?m

6.先化简,再求值

【能力提升】

7.已知a?1a?1,其中a=2sin60°-3. ?a?3211a?3ab?b??4,则?. ab2a?2b?7ab

a4?a2?118.已知a??5,则 =_________. 2aa

a?b2ab?b2a1b?(a?); (2)(29.计算:(1). ?)?aaa?b2a?bb?a

10.先化简(??x?2≤3xx2x?)?2,然后从不等组?的解集中,选取一 2x?12x?55?xx?25?

个你认为符合题意的x的值代入求值. ....

10

第二章 方程与不等式

2.1 一元一次方程与二元一次方程组

【知识梳理】

一、一元一次方程

1.用―=‖表示________关系的式子叫做等式,含有_______的等式叫做方程,能够使方程左右两边的_____相等的___________的值,叫做方程的解.

2.一元一次方程概念:只含有___个未知数,并且未知数的指数是____的_______方程叫做一元一次方程,一般形式:ax+b=0(其中a,b是常数,且a≠0).

3.等式基本性质:等式两边同时加上(或减去)_______,所得结果仍是_______。等式两边同时乘以_______(或除以_______),所得结果仍是_______.

4.解一元一次方程的一般步骤:

⑴去_______;(2) 去_______;(3)移_______;(4)合并_______;(5)______化1.

二、二元一次方程(组)

5.二元一次方程相关概念:写出一个含字母x、y二元一次方程_________________.这个二元一次方程有________组解,x?3y?10有________组正整数解.

6.解二元一次方程组的常用方法是_______消元法和_____消元法,同时也能解较简单的三元一次方程组.

【中考热点】

例1 若(2a+3)x4a2?8-a+3=0是关于x的一元一次方程,则a的值是?x?y?4例2(1)二元一次方程组?的解是 . x?y?2?

(2)方程x2-2x=0的解为_________________.

(3)已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=m,则m的值是 .

?x?2?ax?by?7例3 已知?是二元一次方程组?的解,则a-b的值为( ) y?1ax?by?1??

A.1 B.-1 C.2 D.3

例4 某商品按成本价提高40%后标价,再打8折(标价的80%)销售,售价240元,

设这件商品的成本为x元,根据题意,可列方程:_____________________. 例5 某小学在6月1日组织师生共110人到趵突泉公园游览.趵突泉公园规定:成人

票价每位40元,学生票价每位20元.该校购票共花费2400元.在这次游览活动中,教师和学生各有多少人?

11

【基础过关】

1.已知3是关于x的方程2x-a=1的解,则a的值是_______.

2x?kx?3k2.若关于x的一元一次方程??1的解是x??1,则k的值为( ) 32

A.2 B.1 C.?13 D.0

711

3.某种商品的进价为800元,出售标价为1200元,后来由于该商品积压,商店准备打折销售,但要保证利润率不低于5%,则最多可打( )

A.6折 B.7折 C.8折 D.9折

4.某道路一侧原有路灯106盏,相邻两盏灯的距离为36米,现计划全部更换为新型的 节能灯,且相邻两盏灯的距离变为70米,则需更换的新型节能灯有________盏.

5.某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本用电量为a度,超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费,某用户在5月份用电100度,共交电费56元,则a = 度.

6.解方程(组)

?2x?y?62x?1x?2(1) (2)? ?1?x?2y??334?

7.小李骑自行车从A地到B地,小明骑自行车从B地到A地,两人都匀速前进.已知两 人在上午8时同时出发,到上午10时,两人还相距36千米,到中午12时,两人又 相距36千米.求A、B两地间的路程.

【能力提升】

8.已知2x?y?4?(x?3y?5)?0则x2y=_____.

9.如图,两条直线l1与l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解?

12

2.2 分式方程

【知识梳理】

1.概念:分母中含有_______的方程叫做分式方程.

2.解分式方程的基本思想:通过_______,将分式方程转化为_____________.

3.解分式方程的一般步骤:(1)把方程两边都乘以_______,化成整式方程;(2)解这个_______方程;(3)检验:把整式方程的根代入_______,若使其值为_______,则这个根是原方程的_______,必须舍去.

【中考热点】

11?x??1去分母后的结果,其中正确的是( ) x2x

A.2?1?x?1 B.2?1?x?1 C.2?1?x?2x D.2?1?x?2x

1?x1例2 解分式方程,可知方程( ) ?2?x?22?x

A.解为x?2 B.解为x?4 C.解为x?3 D.无解

11例3 对于非零的两个实数a、规定a?b??,若1?(x?1)?1,则x=______. b,ba

21x?21.5例4 解方程:(1) (2) ??1?x?3x?12x?11?2x例1 以下是方程

例5 若分式方程x?2m有增根,则m=______. ?x?3x?3

例6 北京奥运会开幕前,某体育用品商店预测某品牌运动服能够畅销,就用32000元

购进了一批这种运动服,上市后很快畅销,商场又用68000元购进第二批这种运动服,所购数量是第一批购进数量的2倍,但每套进价多了10元.

(1)该商场两次共购进这种运动服多少套?

(2)如果这两批运动服每套售价相同,且全部售完后总利润不低于20℅,那么每套

售价至少是多少元?(利润率=利润×100℅)

成本

13

【基础过关】

1.下列方程中,分式方程有__________ x2x11x?①+3=0. ?2=5; ②?=5;

x2-5x=0;

5x232x3x5x?3??0的解是 . xx

xkx3.分式方程???0有增根x?1,则k= . x?1x?1x?1

x?31214.解方程(1)2;(2)??1.??2?xx?2x?1x?1 2.方程

5.第六次火车大提速后,从北京到上海的火车运行速度提高了25%,运行时间缩短了2 小时.已知北京到上海的铁路全长为1462km.求火车提速后的速度.

【能力提升】

6.用换元法解分式方程x?13xx?1如果设将原方程化为关于y??1?0时,?y,xx?1x

2的整式方程,那么这个整式方程是( ) A.y?y?3?0 B.y?3y?1?0

D.3y?y?1?0

7. 某工厂准备加工600个零件,在加工了100个零件后,采取了新技术,使每天的工作效率是原来的2倍,结果共用7天完成了任务,设该厂使用新技术后每天加工x个零件,依据题意,可列方程______________________.

8.国务院决定从2009年2月1日起,在全国范围内实施―家电下乡‖,农民购买入选产品,政府按原价总额的13%给予补贴返还,某村委会组织部分农民到商场购买入选的同一型号的冰箱.电视机两种家电,已知购买冰箱的数量是电视机的2倍,且按原价购买冰箱总额为40000元,电视机总额为15000元.根据―家电下乡‖优惠政策,每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元,求冰箱、电视机各购买多少台?

14 22 C.3y2?y?1?0

2.3 一元二次方程

【知识梳理】

1.一元二次方程概念:只含有___个未知数,并且未知数的最高次数是__的_____方程.

2.一元二次方程的一般形式:____________________(a、b、c是常数,且_______).

3.一元二次方程的解法:

(1)直接开平方法: (x?m)?n(n?0)的根是________________.

(2)配方法:

(3)公式法:求根公式是:x?_____________(____________).

(4)分解因式法的步骤:

①将方程右边化为________;②左边化为两个因式的______;③令每个因式等于0得___个一元一次方程,解这两个一元一次方程,得解.

4.一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)根的判别式:____________;

(1)当_________时方程有两个不相等的实数根;(2)当________________时方程有两个相等的实数根;(3)当________________时方程无实数根.

﹡5.一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)根与系数关系,如果方程的两个实数根分别为x1、x2,则______________________________________________.

【中考热点】

例1 若关于x的方程(a?1)x?x?a?1?0的一个根是0,则a=.

例2 若关于x的一元二次方程(a?1)x?x?a?1?0的一个根是0,则a=例3 若关于x的方程x2?4x?m?

0的一个根是2,则另一个根是__________. 例4 若x1,x2是一元二次方程x?5x?6?0的两个根,则x1+x2的值是_________. 例5 用配方法解方程x?2x?5?0时,原方程应变形为( )

A.(x?1)?6 B.(x?2)?9 C.(x?1)?6 D.(x?2)?9 例6 解方程(1)(x?1)?4?0 (2)x?5x?6?0 (3)2x?5x?1?0

例7 某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的

关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3圆;以同样的栽培条件,若每盆没增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?

15 2222222222222222

【基础过关】

1.已知x??1是关于x的方程2x?ax?a?0的一个根,则a?_______.

2.方程(x+1)(x-2)=x+1的解是____________.

3.方程x2?9x?18?0的两个根是等腰三角形的底和腰,则该三角形的周长为( )

A.12 B.12或15 C.15 D.不能确定

4.某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则依据题意,可列方程__________________.

225.解方程:(1)(x?1)?3 (2)x?2x?4 (3

)x?5x22x ?

6.如图,在宽为20米,长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2,则修建的路宽应为多少米?

7.某省为解决农村饮用水问题,省财政部门共投资20亿元实施―改水工程‖.2010年,A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于―改水工程‖,计划以后每年以相同的增长率投资,2012年该市计划投资―改水工程‖1176万元.

(1)求A市投资―改水工程‖的年平均增长率;

(2)从2010年到2012年,A市三年共投资―改水工程‖多少万元?

【能力提升】

8.关于x的一元二次方程x?(m?2)x?m?1?0有两个实数根,则m的值是______.

9.已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x?3x?2?0的两根,且O1O2=2,则⊙O1和⊙O2的位置关系是________.

10.关于x的方程a(x?m)?b?0的解是x1=-2,x2=1(a,m,b均为常数,a≠0),则方程a(x?m?2)?b?0的解是

16 2222

2.4 一元一次不等式(组)

【知识梳理】

1.不等式的基本性质(用符合表示):

2.一元一次不等式组中各个不等式的解集的______叫做这个一元一次不等式组的解集.

【中考热点】

例1某工地实施爆破,操作人员点燃导火线后,必须在炸药爆炸前跑到400m外安全

区域,若导火线燃烧的速度为1.1cm/秒,人跑步的速度为5m/秒,则导火线的长x应满足的不等式是:例2不等式2x?4≤0的解集在数轴上表示为( )

例3解不等式(组),并把解集在数轴上表示出来:

?3?x?2??x?41?2x4?3x?(1); (2)?xx?1. ?36??4?3

例4(1)若不等式组??x?a,的解集是?1?x?2,则a? . 4?2x?0?

?x?3(2)若不等式组?的解集是x?3,则a的取值范围是__________. x?a?例5(1)已知y关于x的函数图象如图所示,则当y?0时,

自变量x的取值范围是( )

A.x?0 B.?1?x?1或x?2

C.x??1 D.x??1或1?x?2

(2)如图,直线y?kx?b经过点A(?1,?2)和点B(?2,0),

直线y?2x过点A,则不等式2x?kx?b?0的解集为(

A.x??2

17 B.?2?x??1 C.?2?x?0 D.?

【基础过关】

1.不等式3x-1<5x+3的解集是________.

?2x?1?32.不等式组?的解集是___________. 1?x?2?

3.不等式的解集x≤2在数轴上表示为( )

A.C. B.D.

4.在坐标平面内,若点P(x?2,x?1)在第二象限,则x的取值范围是( )

A.x?2 B.x?2 C.x??1 D.?1?x?2

5.不等式2x?7?5?2x的正整数解有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

?2?x?0,?8x?5(50?x)?349?6.解不等式组(1)?5x?1 (2) ?2x?1?1≥,?4x?9(50?x)?295?23?

【能力提升】

7.直线l1:y?k1x?b与直线l2:y?k2x则关于x的不等式k2x?k1x?b的解集为. 8.已知一次函数y=(-3a+1)x+a的图象上两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x( >x1第2时,12题图)y1> y2,且图象不经过第四象限,则a的取值范围是_________.

9.A(x1,y1)、B(x2,y2)是一次函数y?kx?2(k?0)图象上不同的两点,若t?(x1?x2)(y1?y2),则( )

A.t?0 B.t?0 C.t?0 D.t≤0

10.已知关于x的不等式?

18 ?x?a?0只有四个整数解,实数a的取值范围是___________. 5?2x?1?

2.5 一元一次不等式(组)应用

【中考热点】

例1某公司打算至多用1200元印制广告单,已知制版费50元,每印一张广告单还需

支付0.3元的印刷费,则该公司可印制的广告单数量x满足不等式____________. 例2将一箱苹果分给若干个小朋友,若每位小朋友分5个苹果,则还剩12个苹果;若

每位小朋友分8个苹果,则有—个小朋友分到但不足8个苹果.求这一箱苹果的个数与小朋友的人数.

例3去冬今春,我市部分地区遭受了罕见的旱灾,―旱灾无情人有情‖.某单位给某乡

中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件,其中饮用水比蔬菜多80件.

(1)求饮用水和蔬菜各有多少件?

(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中

小学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件,每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件.则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮助设计出来;

(3)在(2)的条件下,如果甲种货车每辆需付运费400元,乙种货车每辆需付运费

360元.运输部门应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少元?

19

例4 ―六一‖前夕,某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套,并且购进的三种玩具都不少于10套,设购进A种玩具x套,B种玩具y套,三种电动玩具的进价和售价如右表所示,

(1)用含x、y的代数式表示购进C种玩具的套数;

(2)求y与x之间的函数关系式; (3)假设所购进的这三种玩具能全部卖出,且在购销

这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元.

①求出利润P(元)与x(套)之间的函数关系式;②求出利润的最大值,并写出此时三种玩具各多少套.

【基础过关】

1.某学校把学生的纸笔测试.实践能力两项成绩分别按60%,40%的比例计入学期总成绩.小明实践能力这一项成绩是81分,若想学期总成绩不低于90分,则纸笔测试成绩至少是_______分.

2.用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装4吨,则剩下20吨货物;若每辆汽车只装8吨,则最后一辆不满也不空.请问有多少辆汽车?

3.某校初三年级春游,现有36座和42座两种客车供选择租用,若只租用36座客车若 干辆,则正好坐满;若只租用42座客车,则能少租一辆,且有一辆车没有坐满,但 超过30人;已知36座客车每辆租金400元,42座客车每辆租金440元.该校初三年级共有多少人参加春游?

【能力提升】

4.某商店的老板销售一种商品,他要以不低于进价20%的价格才能出售,但为了获得 更多利润,他以高出进价80%的价格标价.若你想买下标价为360元的这种商品,最 多降价( ),商店老板才能出售.

A.80元 B.100元 C.120元 D.160元

20

第三讲 三角形

3.1三角形的概念和全等三角形

【知识梳理】

一、三角形的分类:

1.三角形按角分为______三角形、_________三角形、________三角形.

2.三角形按边分为__________三角形、等腰三角形,等腰三角形又分为底与腰_________的等腰三角形和等边三角形.

二、三角形的边、角(内角、外角)性质:

1.三角形中任意两边之和______第三边,两边之差______第三边.

2.三角形的内角和为_______;

外角的性质:(1)三角形的外角等于___________________内角的和;

(2)三角形的外角大于____________________的内角. 三、三角形中的主要线段:

1.作出△ABC中AC边上的中线、∠C的角平分线(尺规); C BC上的高(工具不限). 2.写出三角形中位线的概念、性质.

四、全等三角形

1.三角形全等的常用判定方法有哪些?直角三角形全等的判定方法呢?

2.全等三角形的性质有哪些?(对应边、对应角、周长、面积、对应线段).

【中考热点】

例1 如图,为估计池塘岸边A、B的距离,小方在池塘的一侧选取一点O, B 测得OA=15米,OB=10米,A、B间的距离不可能是( ) 例1图 A.20米 B.15米 C.10米 D.5米

例2如图,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3, 则EF的长是_____.

例3如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.

猜想AE与CG之间的关系,并证明你的猜想.

21 例2图

例3图

【基础过关】

1.四条线段的长度依次是2,3,4,5,从中任选三条,能组成三角形的概率是 2.如图,∠A、∠1、∠2的大小关系是____________.

3.AD是△ABC的高,下列能使△ABD≌△ACD的条件是( )

A.AB=AC B.∠BAC=90°第3题图 C.BD=AC D.∠B=45° 第2题图

4.如图,△ABC中,∠ABC=45°, AC=4,H是高AD和BE

的交点.求线段BH的长度.

C 第4题图

【能力提升】

5.如图,下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD的是( )

A.BD=DC,AB=AC B. ∠B=∠C,BD=DC

第5题图 C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D. ∠ADB=∠ADC

6.在△ABC中,AB>AC,点D、E分别是边AB、AC的中点,点F在BC边上,连 接DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后,仍无法判定△BFD与△EDF全等( )

A.EF∥AB B.BF=CF

C.∠A=∠DFE D.∠B=∠DEF

7.如图,两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起,且

∠DAB=30°。有以下四个结论:①AF⊥BC ;②△ADG≌△ACF;

③O为BC的中点; ④AG:DE4,其中正确结论的序号是8.如图,在△ABC中,∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分线,∠1=∠B.

求证:AB=AC+CD.

第8题图

9.如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC 与BD 交于O,AC=BD,点E是AB的中点. 试判断OE和AB的位置关系,并给出证明. 第7题图 第6题图

E 第9题图

22

3.2等腰三角形和直角三角形

【知识梳理】

一.等腰三角形的性质与判定:

1.性质:(1)角:等腰三角形的_________________________.

(2)三线合一:等腰三角形的____________、_____________、__________互相重合

2.判定:有_______或_______相等的三角形是等腰三角形.

二.等边三角形的性质与判定:

1. 性质:等边三角形每个角都等于_______;

2. 判定:_____边或_____角相等或一个角等于60°的______三角形是等边三角形.

三.直角三角形的性质与判定:

1.性质:直角三角形两锐角________;三边满足________定理;直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的________;直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的______.

2.勾股定理的逆定理:若三角形的三边a、b、c满足__________,则∠___=90°.

【中考热点】

例1 如图,△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线

上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 度. 例1图 例2如图,点D,E在△ABC的边BC上,连接AD,AE. ①AB=AC;②AD=AE; ③BD=CE.

构成三个命题:(1)①②?③;(2)①③?②;(3)②③?①.

(1)以上三个命题是真命题的为(填序号)

(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后证明).

B D E C 例2图

AE例3如图,△ABC是等边三角形,BD = CE,∠1 =∠2.

求证:△ADE是等边三角形.

BC例3图

例4 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿

BD折叠,使点C落在AB边的C′点,求△ADC′的面积.

23 例4图

【基础过关】

1.

不能构成直角三角形的是( )

A.3、4、5 B.6、8、10 C2 D.5、12、13

2.等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形的顶角为_________.

3.ΔABC中,以B为圆心,BC长为半径画弧,分别交AC、AB于D、E两点,连接BD、 DE.若∠A=30°,AB=AC,则∠BDE的度数为________. 4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,若 CD = 5cm,则EF = _______cm.

5.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶点 在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图, 则三角板的最大边的长________.

第5题图 第3题图 第4题图 第6题图

6.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,请按 要求完成下列各题:(1)画线段AD∥BC且使AD =BC,连接CD;(2)线段AC的长为 ,CD的长为 ,AD的长为 ;(3)△ACD为 三角形,四边形ABCD的面积为 ;(4)若E为BC中点,则tan∠CAE的值是 .

【能力提升】

7.如图,∠AOB=?,在射线OA、OB上分别取点OA=OB1,连结AB1,在B1A、 B1B上分别取点A1、B2,使B1B2= B1 A1,连结A1 B2…按此规律上去,记 ∠A1B1B2=?1,∠A2B2B3?θ2,…,∠AnBnBn?1?θn,

则(1)?1;(2)?n.

第7题图

8.△ABC中,AB=AC,AB的中垂线与AC所在直线相交成的锐角为50o,则∠B= ______.

9.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,

DE⊥AB,垂足为点E,则DE=________.

10.如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,

D为AB边上一点,求证:AD2?DB2?DE2.

第9题图 第10题图

24

3.3相似三角形

【知识梳理】

一、比例

1.比例线段:若线段a,b,c,d成比例,则___________.

2.比例的性质:(1)基本性质:

(2)合分比性质:

(3)等比性质:

3.黄金分割点

点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则_____________________.

二、相似三角形的定义

三边对应_________,三个角对应________的两个三角形相似.

三、相似三角形的判定方法

四、相似三角形的性质

五.位似图形

1.位似图形是特殊的相似图形,特殊在_________________________________.

2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________.

【中考热点】:

例1(1)若2y=3x,则x:y=________;若x?y?z, 则x?y?z?______. 1089y?z

(2)已知x?y?z,且3y?2z?6,则x?____,y?______. 356

例2如图,点F是□ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的

延长线于点E,则下列结论错误的是( ) ..

EDDFDEEFBCBFBFBCA.= = C. D. EAABBCFBDEBEBEAE

例3如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA

在x轴上,OC在y轴上,如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O

位似,且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的例2图 1,那么点B′的 4例3图 坐标是___________.

例4如图,△ABC是一张锐角三角形硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40cm,AD=30cm,

从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在 BC上,顶点G、H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.

求矩形EFGH的周长.

25 例4图

【基础过关】 1.如图,乐器上的一根弦AB=80cm,点C是它的黄金分割点(AC>CB),则AC=______cm. 2.如图,图(2)中AB、CD交于O,对于各图中的两个三角形,下列说法正确的是( ) A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似

第2题图 3.如图,西安路与南京路平行,并且与八一街垂直,曙光路与

环城路垂直.小明站在南京路与八一街的交叉口,准备去书店,

按图中的街道行走,最近的路程约为_____m. 第4题图 4.如图,在□ABCD

中,E为BC边上的点,若BE:EC=4

:5,

AE交BD于F,则BF:FD等于________.

5.如果△ABC∽△A′B′C′,相似比为3:2,若它们的面积的差 为40厘米2,则△A′B′C′的面积为 厘米2. 6.如图,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ACB=∠ADC; ③

第6题图

ACAB

;④AC2=AD×AB,其中单独能够判定 ?

CDBC

△ABC∽△ACD的有__________.

7.如图,△ABC与△DEF是位似图形,且顶点都在格点上,

则位似中心的坐标是 . 8.如图,点D是等边△ABC边BC上一点,连接AD,作 ∠ADE=60°,交AC边于点E.若AB=3,BD=1,求CE的长.

【能力提升】

9.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点A(-3,0)、C(1,0), 3(1)求过点A、B的直线表达式;

tan?BAC?.4(2)在x轴上求一点D,使得△ADB与△ABC相似(不包括全等);

(3)在(2)的条件下,P、Q分别是AB和AD上的动点,连接PQ,设AP=DQ=m,问是否存在m使得△APQ与△ADB相似,如存

在,请求出m的值;如不存在,请说明理由.

26

3.4解直角三角形

【知识梳理】

1.如图,Rt△ABC中,

(1)三边关系________________;(2)角的关系:________________;(

(3)边角关系:sinA=_____,cosA =_____,tanA=_______.

2.特殊角的三角函数值:

C B 例1图

例 2图 【中考热点】

例1如图,AC是电杆AB的拉线,BC=6米,∠ACB=52°,则拉线AC的长为______米. 例2如图,正方形网格中,sin∠AOB =________.

?1?例3 α是锐角,且

.

4cos??(??3.14)0?tan????的值. ?3?

例4如图,在△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D

,若AC?

AB?tan∠BCD的值为________.

【基础过关】

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,?B?2?A,则sinB等于_______.

2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinB??1例4图 1,则cosA的值为_______. 3

3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则tanA的值是________.

4.如图,A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′,则tanB′的值为_______.

第8题图(2) 东 第8题图(1) 5.当锐角A的cosA>0.5时,锐角∠A的取值范围为_____________.

6.

??10?)?1,则锐角?的度数为________.

7.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500m处,那么水塔所在的位置到公路的距离是______m.

8.(1)如图(1),一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定.这里所运用的几何原理是

____________________.

(2)图(2)是图(1)中窗子开到一定位置时的平面图,若∠AOB=45°,∠OAB=30°,

OA=60cm,求点B到OA边的距离.

1.7,结果精确到整数)

27

9.如图,直角梯形纸片ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠C=30°.折叠纸片使BC经过点D.点C落在点E处,BF是折痕,且BF= CF =8.

(l)求∠BDF的度数;

(2)求AB的长.

第9题图

【能力提升】

10.如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3, 则tanC等于_________.

11.在△ABC中,∠A=120°,AB=4,AC=2,则sinB的值是________.

12.已知锐角A满足2sin2A?7sinA?3?0,则sinA的值为______.

13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,E在AB上且AE:EB=4:1, EF⊥AC于F,连结FB,则tan∠CFB的值等于

AD

BC 第第10题图 第16题图 第13题图 14题图 14.如图,在矩形ABCD中,DE⊥

AC于E,设∠ADE=?,且cos??3,AB = 4, 5

则AD的长为_________.

15.如图,∠1的正切值等于.

16.如图,正方形ABCD中,E是BC边上一点,以E为圆心、EC为半径的半圆与以A 为圆心,AB为半径的圆弧外切,则sin∠EAB=______.

17.如果方程x?4x?3?0的两个根分别是Rt△ABC的两条边,△ABC最小的角为A,那么tanA=___.

18.如图,点E在矩形ABCD中CD边上,△BCE沿BE折叠为△BFE,F落在AD上.

(1)求证:△ABF∽△DFE;(2)若sin∠DFE=

21,求tan∠EBC的值. 3FD

28 B第18题图

A 【知识梳理】 1.如图1,______是仰角, _______是俯角. 2.如图2,坡角∠α与坡度i的关系是________. 图1 B 3.如图3,方向角OA:________, OD:________. 图3 图2

4.解直角三角形应用的题型思路主要有哪两类?常用基本图形有哪几个?.

【中考热点】

例1如图,两条笔直的公路AB、CD相交于点O,∠AOC=36°.指挥中心M设在OA路

段上,与O地的距离为18千米.一次行动中,王警官带队从O地出发,沿OC方向行进.王警官与指挥中心均配有对讲机,两部对讲机只能在10千米之内进行通话.通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话【参考数据:.

sin36°=0.59,cos36°=0.81,tan36°=0.73.】

例1图

3.5解直角三角形的应用

例2抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险,飞机在距地面450米上空的P点,

测得A村的俯角为30°,B村的俯角为60°(如图).

求A、B两个村庄间的距离.

例3我市准备在相距2千米的A、B两工厂间修一条笔直的公路,但在B地北偏东

60°

方向、A地北偏西45°方向的C处,有一个半径为0.6千米的住宅小区,问修筑公 路时,这个小区是否有居民需要搬迁?

例3图

【基础过关】 1.如图,小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度, 已知她与树之间的水平距离BE为5m,AB为1.5m,那么这棵 第1题图 树高是_______.

29 A B 例2图 C G P

2.如图,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1

BC=5m,则坡面AB长_____米.

3.如图,王英从A地沿北偏西60o方向走100m到B地,再从B地向正南方向走200m到C地,此时王英离A地_______m.

4.如图,在平地上种植树时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为0.5的山坡上种植树,也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为_________.

5.某生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当50°≤α≤70°(α为梯子与地面所成的角),能够使人安全攀爬,现在有一长为6米的梯子AB,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC是_______米.(结果保留两个有效数字,sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,

第2题图 第4 题图

第5题图 第3题图

6.某厂家新开发的一种电动车如图,

它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8o和10o

,大灯A与地面离地面的距离为1m.求该车大灯照亮地面的宽度BC.(不考虑其它因素)

第6题图

【能力提升】

9.如图,一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向,

这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行,半小时至B处,在

B处看 见灯塔M在北偏东15°方向,此时灯塔M与渔船的距 第9题图 离是________海里.

10.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90o,AC=6,D是AC上一点,

若tan∠DBA=1,则AD的长为________. 5

11.在一次课题设计活动中,小明对修建一座87m长的水库大坝

第10题图 提出了以下方案:大坝的横截面为等腰梯形,如图,AD∥BC,

坝高10m,迎水坡面AB的坡度i=5:3,老师看后,从力学的角度对此方案提出了建议,小明决定在原方案的基础上,将迎水坡面AB的坡度进行修改,修改后的迎水坡面AE的坡度i=5:6. (1)求原方案中此大坝迎水坡AB的长(结果保留根号);

(2)如果方案修改前后,修建大坝所需土石方总体积不变,在方案修改后,若坝顶沿EC方向拓宽2.7m,求坝顶将会沿AD方向加宽多少米?

第11题图

30

第四讲 四边形与图形变换

4.1多边形与平行四边形

【知识梳理】

1.n边形的内角和是_______,外角和是_______.

2.从n边形的一个顶点可以引出_______条对角线;n边形对角线的总条数为_______条;n边形的每个顶点引出的对角线把n边形分成_______个三角形.

3.

4.(5.【中考热点】

例1若一个正多边形的每一个外角都是30,则这个正多边形的内角和等于 度. 例2如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E是CD的中点,△ABD的周长为16cm,则△DOE的周长是 cm.

例3如图,已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点, 点A的坐标为(-2,3),则点C的坐标为__________.

例4如图,在?ABC中,EF为?ABC的中位线,D为BC边上一点(不与B、C重合),AD与EF于点O,连接DE、DF,要使四边形AEDF为平行四边形,需要添加条件 (只添加一个条件) . 例3图

F C

?

D 例4图

例5如图,E、F是□ABCD的对角线AC上的点,CE=AF.

请你猜想:BE与DF 有怎样的关系?并对你的猜想加以证明.

31

【基础过关】

1.某商店出售下列四种形状的地砖:①正三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形. 只选购其中一种地砖镶嵌地面,可供选择的地砖共有______种.

2.□ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=12 ,BD=10,

AB=m ,那么m的取值范围是___________.

3.如图,任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H,若对角线

AC、BD的长都为20cm,则四边形EFGH的周长是________ cm.

4.已知多边形的内角和为其外角和的5倍,则它是____边形.

5.□ABCD中,∠B=30°,AB=4 cm,BC=8 cm,则□ABCD面积是_________.

6.如图,在□ABCD中,点E是CD的中点,AE、BC的延长线交

于点F.若△ECF的面积为1,则四边形ABCE的面积为 _ .

7.以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有( ) 第6题图 第3题图

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图,在□ABCD中,已知AD=3 cm, AE平分

∠BAD交BC 边于点E,则EC 等于_______ cm. 9.如图,□ABCD中,AB=3,BC=5,AC的垂直平分线交 第8题图 AD于E,则△CDE的周长是_______. 第9题图

10.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,F,E分别是AD及其延长

线上的点,CF∥BE.连结BF,CE,试判断四边形BECF是何种

特殊四边形,并说明理由.

第 10题图

【能力提升】 11.如图,□ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A 落在CD上的点F,若△FDE的周长为8,△FCB

的周长为22,则FC的长为_____. 第11题图

12.如图,小明在操场上从A点出发,沿直线前进10米后向左转

40o,再沿直线前进 ?

o

10米后,又向左转40,……,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时, 一共走了

米.

13.如图,□ABCD中,O是对角线AC的中点,过点O的直线EF分别交 ?

AB、DC于点E、F,与CB、AD的延长线分别交于点G、H. 第12 题图

(1)写出图中不全等的相似三角形(不要求证明);

(2)除AB=CD,AD=BC,OA=OC这三对相等的线段外,图中还有多对相等

的线段,请选出其中一对加以证明.

第13题图

32

4.2矩形、菱形和正方形

【知识梳理】

2.用图形间的关系梳理矩形、菱形、正方形的判定方法.

【中考热点】

例1如图,四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( ) A.当AB=BC时,它是菱形 B.当AC⊥BD时,它是菱形

C.当∠ABC=90 o时,它是矩形 D.当AC=BD时,它是正方形

例1图 例2如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,∠AOD=120 o,AB=2,则AC的长为.

例3如图,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落 在BC边中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段 CN的长是________. 例4如图,在四边形ABFC中,∠ACB=90 o,BC的垂直平分线 EF

交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE (1)试探究四边形BECF是什么特殊的四边形;

(2)当?A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?

请回答并证明你的结论.

33

D

例2图

例3图

例4图

【基础过关】

1.如图,P为菱形ABCD的对角线上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AD 于点F,PF=3cm,则P点到AB的距离是_______cm.

2.已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm,则菱形的面积为2. 3.菱形ABCD的周长为16,∠A=60o,则对角线BD的长度是_______. 4.四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90o,若再添加一个条件, 可得四边形ABCD是矩形,你所添加的条件是 .

5.如图,矩形纸片ABCD,AB=2,点E在BC上,且AE=EC.若将纸片 沿AE折叠,点B恰好落在AC上,则AC的长是 . 6.在矩形ABCD中,两条对角线AC、BD相交于点O, 若AB=OB=4,则AD=________.

7.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图,∠AOC=45o , OC=2,则点B的坐标为______.

【能力提升】

8.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF

若AB=3,则BC的长为________.

9.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,对角线AC 的垂直平分线分别交AD,BC于点E、F,连接CE, 则CE的长________.

D

C

P B 第1题图

第5题图

第6题图

第8题图

10.如图,在矩形ABCD中,E是BC边上的点, AE=BC,DF⊥AE,垂足为F,连接DE. (1)求证:AB=DF;

(2)若AD=10,AB=6,求tan∠EDF的值.

第10题图

F

第9题图

34

4.3 梯形

【知识梳理】

1.梯形的定义

一组对边平行,另一组对边_______的四边形,叫做梯形;两腰______的梯形叫做等腰梯形;一腰与______的梯形叫做直角梯形.

2.等腰梯形的性质

3.等腰梯形的判定

4.梯形中常作的辅助线:(画草图说明)

【中考热点】

例1如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AD=2,BC=6,∠B=60°,则梯形 ABCD的周长是________.

例2如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AC⊥BD,AD=6,BC=8,

则梯形的高为 .

A例1图

例3图 例2图 例4图

例3如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=DC=CB,若∠ABD=25°,则∠BAD的大

小是________.

例4如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,对角线AC、BD相交于O,∠ABD=30°,

AC⊥BC,AB = 8cm,则△COD的面积为__________ cm2.

例5如图,是小红设计的钻石形商标,△ABC是边长为2的等边三角形,四边形ACDE

是等腰梯形,AC∥ED,∠EAC=60°,AE=1

(1)证明:△ABE≌△CBD;

(2)图中存在多对相似三角形,请你找出一对进行证明,并求出其相似比(不添加辅

助线,不找全等的相似三角形);

D E (3)小红发现AM=MN=NC,请证明此结论;

(4)求线段BD的长.

A C M N

B 例5图

35

【基础过关】

1.将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上,按图示

画线得到四边形ABCD,则四边形ABCD的形状是 ___.

2.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD相交于点O.

下列结论正确的有________ .⑴AC=BD ⑵∠OBC=∠OCB ..ADB第1题图 C ⑶ S△AOB=S△COD ⑷∠BCD=∠BDC 3.等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm,10cm,6cm, C 则它的下底角为 . 第2题图

4.等腰梯形ABCD中,E、F、G、H分别是各边的中点,则四边形EFGH的形状是_______.

5.如图,在一张△ABC纸片中, ∠C=90°, ∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③正方形. 那么以上图形一定能被拼成的是___________.

6.在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=60°,∠B=30°,AD=CD=6,则AB的长度为_________.

7.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,AC⊥BC,∠B=60°,BC=2cm,则上底DC的长是_______cm..

8.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90o,对角线BD、AC相交于点O.下列条件中,不能判断对角线互相垂直的是( )

A.∠1=∠4 B.∠1=∠3 C.∠2=∠3 D.OB2+OC2=BC2

A

D

第7题图 BC第9题图 第8题图

第5题图 第10题图

【能力提升】

9.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,△AOD与△AOB的面积之比为1:4,若AD=1,则BC的长是 .

10.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6,BC=16,E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动.点P停止运动时,点Q也随之停止运动.当运动时间t为 秒时,以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.

11.如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BC=CD=10,sinC=4. 5

(1)求梯形ABCD的面积;

(2)点E、F分别是BC、CD上的动点,点E从点B出发向点C运动,点F从

点C 出发向点D运动,若两点均以每秒1个单位的速度同时出发,连接EF. 求△EFC面积的最大值,并说明此时E、F的位置.

36 F 第11题图 C

4.4 图形变换中的识别与操作

【知识梳理】

1.轴对称与轴对称图形

轴对称:对于两个图形,如果沿一条直线_________后,它们能________,那么称这

两个图形成轴对称,这条直线就是________.

轴对称图形:如果一个图形沿一条直线________后,直线两旁的部分能够________,

那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做________.

2.轴对称的性质:对应点所连的线段被对称轴_______,对应线段_______,对应角_____.

3.中心对称图形:在平面内,一个图形绕某个点旋转________,如果旋转前后的图形________,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的________.

4.中心对称图形的性质

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心________.

5.平移的要素:____________________________________________________________.

6.旋转的要素:_____________________________________________________________ .

7.拉伸与压缩:原图形各点的纵坐标(或横坐标)保持不变,横坐标(或纵坐标)分别

1)倍,与原图形相比,整个图形被_____(或纵向)_____k

1(或压缩)为原来的____倍(或). k

18.放大与缩小:原图形各点的横、纵坐标均变为原来的k(k>1)倍(或),所得的图k

1形与原图形 ,整个图形被放大(或缩小)为原来的k倍(或). k变为原来的正整数k(或

【中考热点】

例1下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )

A. B. C. 例2

如图,将△OAB绕点O按逆时针方面旋转至△O′A′B′,使点B恰好落在边A′B′上.

已知AB=4cm,BB′=lcm,则A′B长是 cm.

例3如图,在平面直角坐标系xoy中,A(?1,5),B(?1,0),C(?4,3).

(1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1.

(2)点A1,B1,C1的坐标分别为__________ .(3)求出△ABC的面积为________.

例4如图,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到 △A?B?C?,使点B?与C重合,连结A?B,则tan?A?BC?的值为 .

例2图 例3图 【基础过关】

1.下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

37 ′ ′ C(B′) 例 4图

2.一个图形无论经过平移还是旋转,以下说法正确的( ) ①对应线段平行;②对应线段相等;③对应角相等;④图形的形状 和大小都没有发生变化 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④3.如图,点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上,若△COD是由 △AOB绕点O按逆时针方向旋转而得,则旋转的角度为( ) A.30° B.45° C.90° D.135°

4.如图,将?ABC 沿直线AB向右平移后到达?BDE的位置, 若?CAB=50°,?ABC=100°,则?CBE的度数为 . 5.如图,△ABC的顶点坐标分别为A(?4,?3),B(0,?3),

A

第3题图

C(?2,1),如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位 到达B1点,若设△ABC的面积为S1,△AB1C的面积为S2,

则S1,S2的大小关系为6.如图,△ABC的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的 边长均为1个单位长度)的格点上,将△ABC绕点B顺时针旋转 到△A′BC′的位置,且点A、C仍落在格点上,则线段AB 扫过的图形的面积是 平方单位. 【能力提升】

7.小宇先把一张矩形纸片按图(1)的方式进行折叠,使折痕的左侧 部分比右侧部分短1cm;展开后按图(2)的方式再折叠一次, 使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm,再展开后,在纸上 形成的两条折痕之间的距离是 .

第4题图

第5题图

第 8题

8.如图所示,在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长),⊙A的半径为1,⊙B的半径为2,要使⊙A与静止的⊙B相切,那⊙A由图示位置需向右平移 .

9.如图所示图形中,是由一个矩形沿顺时针方向旋转90°后所形成的图形的是( ) A.(1)(4) B.(2)(3) C.(1)(2) D.(2)(4)

10.如图,在锐角△ABC中,AB=42,∠BAC=45°, ∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和 AB上的动点,则BM+MN的最小值是____.

第10题图

38

4.5 图形变换中的计算与证明

【中考热点】

例1如图,点O是AC的中点,将周长为4cm的菱形ABCD沿对角线AC方向平移,

得到菱形OB’C’D’,则四边形OECF的周长是 cm.

例2如图,把矩形纸条ABCD沿EF、GH同时折叠,B、C两点恰好落在AD边的P

点处,若∠FPH?90,PF?8,PH?6,则矩形ABCD的边BC长为( )

A. 20 B. 22 C. 24 D. 30

?

例1图

例3图

A? C?

例2图

例3如图,Rt△A?BC?是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得,且点A,B,C?在同一条直线上,在Rt△ABC中,若∠C?90,BC?2,AB?4,则斜边AB旋转到A?B所扫过的扇形面积为 .

例4如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30?到正方 形AB?C?D?,图中阴影部分的面积为( )

?

C

A.

1

B.

C. 1?

D. 1?

3342

【基础过关】

1.将点A(4,0)绕着原点O顺时针方向旋转30°角到对应点A?,则点A?的坐标( ) A. (2,2) B.(4,-2) C. (23,?2) D.(2,?2)

2.如图,△OAB是正三角形,OC⊥OB,OC=OB,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转, 使得OA与OC重合,得到△OCD,则旋转的角度是( ) A.150°

B.120°

C.90°

D.60°

3.如图,将左边的矩形绕点B旋转一定角度后,位置如右边的矩形,则∠ABC=______. 4.如图,已知△ABC的面积为36,将△ABC沿BC平移到△A′B′C′,使B′和C重合, 连结AC′交AC于D,则△C′DC的面积为( ) A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 5.如图,下面的图案由三个叶片组成,绕点O旋转120后可以和自身重合,若每个叶 ..2?

片的面积为4cm,∠AOB为120,则图中阴影部分的面积为 .

6.如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,P为△ABC内一点,将△ABP绕点A 逆时针旋转后与△ACP′重合,如果AP=3,那么线段PP′的长等于__________.

?

B

C(

B?)

C

第2题图

第3题图 第4题图

第5题图

39

【能力提升】

7.如图,把长为8cm的矩形按虚线对折,按图中的虚线剪出一个直角梯形,打开得到一个等腰梯形,剪掉部分的面积为6cm2,则打开后梯形的周长是( )

A.(

cm B.(

cm C.22cm D.18cm 果AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则阴影部分面积为 ___cm.

9.如图,把Rt△ABC放在直角坐标系内,其中∠CAB=90°,BC=5,点A、B的坐标分 别为(1,0)、(4,0),将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x-6上时,线段BC扫过的面积为__________.

∠BAC=155°,则??的度数是 .

11.如图,△OAB

是边长为2?的等边三角形,其中O是坐标原点,顶点B在y轴 正方向上,将△OAB 折叠,使点A落在边OB上,记为A′,折痕为EF.当A′E//x轴 时,点E的坐标为____________. 12.将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,直 角边不重合,已知AB=8,AC与BD相交于点E,连结CD. (1)填空:如图1,AC= ,BD= ;四边形ABCD的形状是 . (2)如图2,若以AB所在直线为x轴,过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图2

的平面直角坐标系,保持ΔABD不动,将ΔABC向x轴的正方向平移到ΔFGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF=t,ΔFBP面积为S,求S

系式,并写出t的取值范围.

图1

图2

第10题图

第11题图

2

第8题

8.如图,两个重叠的直角三角形.将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF.如

10.如图,△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的,若

40

第五讲 函数

5.1函数的概念和图象

【知识梳理】

一.坐标平面内点的坐标特征:

1.象限内的点P(x,y)的特征:第一象限______________;第二象限______________;

第三象限______________;第四象限______________.

2.坐标轴上的点的特征:x轴上_____________;y轴上_____________.

3.对称点:点P(x,y)关于x轴对称的点是_______;关于y轴对称的点是_______; 关于原点对称的点是_______;

4.点B与C的纵坐标相同,则直线BC的位置特点是______________________; 直线BC与x轴垂直时,点B与C的坐标特点是______________________;

5.点A(m,n)到x轴的距离是_____,到y轴的距离是_____,到原点的距离是_______.

二. 函数

1.函数的表示方式常有三种形式:_________、_________、_________.

2.函数自变量的取值范围: ①函数y?1的自变量x取值范围是____________;②函数y??x?1的自变量x?2

x?2的自变量x取值范围是____________. x?3x取值范围是______;③函数y?

3.函数的图象:把一个函数自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的_______和_______,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.

【中考热点】

1.(1)点P在第二象限内,并且它到x轴的距离是4,到y轴的距离是3,那么点P

的坐标为_________

(2)点(-2,1)关于x轴的对称点的坐标为___________

(3)若点A的坐标为(6,3),O为坐标原点,将OA绕点O按顺时针方向旋转90°

得到OA',则点A'的坐标为( )

A.(3,-6) B.(-3,6) C.(-3,-6) D.(3,6)

2.向高为h0的水瓶中注水,一直到将水瓶注满为止. 如果注水量v与水深h的函数图象 如图所示,那么水瓶的形状可能是( )

A

【基础过关】 v B C D h0h

1.如图是中国象棋棋盘的一部分,若帅○在点(1,-1)

上,车○在点(3,-1)上,则马○在点________

2.点P(2m-1,3)在第二象限,则m的取值范围是

_________

41 第1题图

3.已知点P(x,y)位于第二象限,并且y≤x+4 ,x、y为整数,写出一个符合上述条件..的点P的坐标: . 4.如图,小红居住的小区内有一条笔直的小路,小路的正中间有一路灯,晚上小红由A处径直走到B处,她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来,大致图象是( )

【能力提升】

5.如图,A,B的坐标为(2,0),(0,1)若将线段AB平移 至A1B1,则a+b的值为( ) A.2

B.3

C.4

D.5

b)

6.已知平面直角坐标系上的三个点O(0,0),A(-1,1),B (-1,0),将△ABO绕点O按顺时针方向旋转135°,则点 A,B的对应点A’,B’的坐标分别是_____________.

第5题图

x

7.已知m为整数,且点(12-4m,15-3m)在第二象限,则m2+2012的值为______. 8.已知点A(2a+3b,-2)和点B(8,3a+2b)关于x轴对称,那么a+b=( )

A.2 B.-2 C.0 D.4

9.如图所示,在矩形ABCD中,垂直于对角线BD的直线l,从点B开始沿着线段BD匀速平移到D.设直线l被矩形所截线段EF的长度为y,运动时间为t,则y关于t的函数的大致图象是( )

第9题图

10.如图,在平面直角坐标系中,直线l是第一、三象限的角平分线.

⑴由图易知A(0,2)关于直线l的对称点A?的坐标为 (2,0),请在图中分别标明B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线l的对称点B?、C?的位置,并写出他们的坐标: B’、C’

⑵结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平

面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的 对称点P?的坐标为

(不必证明); ⑶已知两点D(1,-3)、E

(-1,-4),试在直线l上确定一点Q,

使点Q到D、E

两点的距离之和最小,并求出Q

点坐 标.

42

(第22题图题图)第10

5.2一次函数

【知识梳理】

1.一次函数:形如______________(_________,_____),称y是x的一次函数.特别地,当___________,则称y是x的正比例函数. 2.一次函数y?kx?b的图象是一条________,与x轴交于_____,与y轴交于________. 3.一次函数y?kx?b中k的符号决定其图象过一、三象限还是二、四象限,b决定其图象与y轴交点的位置;反之亦然.具体如下:

1.已知一次函数的图象经过点(2,5)和(-1,-1)两点. (1)求这个一次函数的解析式;

(2)设该一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别是点A、点B,试求?AOB的面积. 3

2.某农户种植一种经济作物,总用水量

y(米)与种植时 间x(天)之间的函数关系如图所示. (1)第20天的总用水量为多少米?

(2)当x?20时,求y与x之间的函数关系式. (3)种植时间为多少天时,总用水量达到7000米3?

3

天)

3.鞋子的

(1)分析上表,―鞋码‖与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数? (2)设鞋长为x,―鞋码‖为y,求y与x之间的函数关系式; (3)如果你需要的鞋长为26cm,那么应该买多大码的鞋?

43

【基础过关】

1.一次函数y=2x-2的图象不经过第______象限. ...

2.关于函数y=-2x+1,下列结论正确的是( )

A.图象必经过点(﹣2,1) B.图象经过第一、二、三象限 C.当x>

1

时,y<0 D.y随x的增大而增大 2

3.若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点(x1,y1)和点(x2,y2),当x1<x2时,y1>y2 ,

则m的取值范围是____________. 4.一次函数y?3x?b与y?ax?3的图象交于点P(-2,-5), 那么不等式3x?b?ax?3的解集是 .

?y?kx?b

5.如图的是函数y?kx?b与y?mx?n的图象,则方程组?的

y?mx?n?

解是 .

6.某单位急需用车,准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同.如果汽车每月行驶x km,要付给个体车主的月费用是y1元,要付给出租车公司的月

费用是y2元;y1 、y2分别与x之间的函数关系如图(两条直线)

问题:

(1)当x __________时,租国营公司的车合算.

(2)当x =________ km时,任租一家的车的费用相同. (3)若这个单位估计每月行驶的路程为2300km,则租_______的车合算.

【能力提升】

7.如图,点A的坐标为(-1,0)

,点B在直线y=x上运动,当线段 AB最短时,点B的坐标为_________.

8.如图,在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片 ABCO. 将纸片翻折后,点B恰好落在

x轴上,记为B′,折痕为CE, tan∠OB′C=

3

.求折痕CE所在直线的解析式. 4

第6 题图

9.如图,某地区一种商品的需求量y1(万件)、供应量y2(万件)与价格x(元/件) 分别近似满足下列函数关系式:y1??x?60,y2?2x?36. 需求量为0时,即停

止供应. 当y1?y2时,该商品的价格称为稳定价格,此时的需求量称为稳定需求量. (1)求该商品的稳定价格与稳定需求量; (2)当需求量高于供应量时,政府常通过对供应方提供价格补贴来提高

供货价格,以提高供应量. 现若要使稳定需求量增加4万件,政府应

对每件商品提供多少元补贴,才能使供应量等于需求量?

44

5.3 反比例函数

【知识梳理】

1.反比例函数:形如

__________(____________,_____),称y是x的反比例函数. 反比例函数的表达式还有以下两种形式:________________,________________. 2. 反比例函数的图象和性质

3.反比例函数y?

k

中k的几何意义:如图,点P是双曲线y?上一点, xx

过P作PA⊥x轴于A,PB⊥y轴于B,则矩形PBOA 的面积是3,则k=____. 【中考热点】

1.如图是反比例函数y?

m?2

的图象,那么实数m的取值范围是. x

4

的图象上, x

第1题图

2.已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数y=—则y1、y2、y3大小关系_________.

y

2

3.如图,在反比例函数y?(x?0)的图象上,有点 P1,P2,P3,P4,

x

它们的横坐标依次为1,2,3,4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线,

图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3, 则S1?S2?S3?. 【基础过关】

1.下列各点中,在函数y??图象上的是( )

A.(-2,-4) B.(2,3) C.(-1,6) D.(-0.5,3) 2.反比例函数y?(2m?1)xm

2

y?

P1

2

x

P2

P3

P4

4

O

1 2 3 第3题图

x

6x

?2

,当x>0时,y随x的增大而增大,则m的值是______.

3.若A(a,b),B(a?2,c)两点均在函数y?小关系为________. 4.函数y?x?m与y?

1

的图象上,且a?0,则b与c的大x

m

(m?0)在同一坐标系内的图象可以是( ) B

C

D

A

5.如图,直线l和双曲线y?

k

B两点,P是线段AB上的点(不与A、 B (k?0)交于A、

x

重合),过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、△BOD面积是S2、△POE面积是S3,则( ) A. S1<S2<S3 B. S1>S2>S3 C. S1=S2>S3 D. S1=S2<S3

6.点A在反比例函数y?则k? .

k

(k?0)的图象上,AM⊥x轴于点M,△AMO的面积为3,x

7.如图,反比例函数y??4的图象与直线y??x的交点为A, B,过点A作y轴的平

x3

行线与过点B作x轴的平行线相交于点C,则△ABC的面积为________.

8. 闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω) 成反比例.该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象如图,为保证用电安全,要求电流I不超过4A,则电阻R的取值范围是_________.

9.如图,⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切,圆心A和圆心B都在反比例函数y?

第5题图

【能力提升】

1的

x

第6题图

10. 如图,已知点A、B在双曲线y?k(x>0)上,AC⊥

xD,AC与BD交于点P,P是AC的中点,若△ABP11.将直线y?x向上平移1个单位长度得到直线l,直线l的图象的一个交点为A(a,2),则k的值等于 .

4

(x>0)x

的图象上,斜边OA1、A1A2都在x轴上,则点A2的坐标是 .

k

13.如图,点A是反比例函数y1?的图象上一点,AB⊥x轴的正半轴于B点,

x

12.如图,△P1O A1、△P2 A1 A2是等腰直角三角形,点P1、P2在函数y?C是OB的中点,一次函数y2?ax?b的图象经过A、C两点,并交y点D(0,-2),S?AOD?4.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)观察图象,请指出在y轴的右侧,当y1?y2时x的取值范围.

46

第12题图

5.4二次函数的图象和性质

【知识梳理】

1.二次函数的概念:形如___________(___________,_____),则称y是x的二次函数. 2.二次函数y?a(x?h)?k的图象和性质

2

2

3.二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成y?a?x?h??k的形式,其中h=_____

,k=________.

4.二次函数y?a(x?h

)?k的图象和y?ax图象的关系.

5.根据右边二次函数y=ax2+bx+c的图象填空:

2

2

(1)a_______0 (2)b_______0 (3)c_______0 (4) b2-4ac _______0 (5) a+b+c_______0 (6) a-b+c_______0 (7) 4a+2b+c(8) 2a+b_______0 (9)2a-b_______0

6.二次函数与二次方程的关系:抛物线y?ax2?bx?c与x轴的___________决定. 当__________时,抛物线与x轴有两个交点,横坐标分别是方程______________的两个根;当__________时,抛物线与x轴有一个交点(该种情况也可换个说法:抛物线的 _____在x轴上);当__________时,抛物线与x轴无交点. 【中考热点】

1.若二次函数y?ax2?bx?a2?2(a,b为常数)的图象如图,则a的值为_______. 2.二次函数y?ax2?bx?c的部分对应值如下表:

47

第1题图

抛物线y?ax?bx?c的对称轴为x?,x?4对应的函数值y?口方向______,方程ax2?bx?c?0的根的范围_________________.

3.二次函数y?ax2?bx?c的图象过点A(1,2),B(3,2),C(5,7).若点M(-2, y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y?ax2?bx?c的图象上,则下列 结论 正确的是 ( )

A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y1<y3<y2

4.向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且时间与高度关系为y=ax2?bx.若此炮弹 在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪个时间的高度是最高的( )

A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒 .

【基础过关】

1.抛物线y?2x2?4的顶点坐标是_________.

2.抛物线y=2x2+4x+5的对称轴是x=_________.

3.抛物线y??x2?4x?3交x轴于点A、B,交y轴于C点,则ΔABC的面积为_____.

4.将抛物线y??3x向左平移2个单位向上平移3个单位后得到的抛物线____________.

5.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图,则点M(b,

222c)在第____象限. a

第5题图 6.若(2,5)、(4,5)是抛物线y?ax?bx?c上两个点,则它的对称轴是_______.

7.在同一直角坐标系中y?ax?b与y?ax?b(a?0,b?0)图象大致为( )

2

第8题图

8.已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图所示,?则下列结论:①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的是_________(填序号).

【能力提升】

9.抛物线y=ax2+bx+c过第一、二、四象限,则a0, b0,c. 2

10.抛物线y?2x2?8x?m与x轴只有一个公共点,则m的值为

11.已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图所示,有下列5个结论:

① abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④ 2c<3b;⑤ a+b>m(am+b)

(m?1的实数),其中正确的结论有__________(填序号).

12.如图,□ABCD中,AB=4,点D的坐标是(0,8),以点C为顶点的

抛物线y?ax?bx?c经过x轴上的点A、B.

(1)求点A、B、C的坐标.

(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求平移后抛物线的解析式.

48 2第11题图

5.5二次函数的应用

【知识梳理】

1.二次函数的解析式:(1;(2)顶点式: ;

(3)交点式:.

2.顶点式的几种特殊形式.

⑴ , ⑵ , ⑶ ,(4) .

b24ac?b23.二次函数y?ax?bx?c通过配方可得y?a(x?)?,其抛物线关于 2a4a2直线x? 对称,顶点坐标为( , ).

⑴ 当a?0时,抛物线开口向 ,有最 (填―高‖或―低‖)点, 当x? 时,y有最 (―大‖或―小‖)值是 ;

⑵ 当a?0时,抛物线开口向 ,有最 (填―高‖或―低‖)点, 当x? 时,y有最 (―大‖或―小‖)值是 .

【中考热点】

1.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.

(1)已知二次函数的图象经过点(0,2)、(1,1)、(3,5);

(2)已知抛物线的顶点为(-1,2),且过点(2,1);

(3)已知抛物线与x轴交于点(-1,0)、(2,0),且经过点(1,2).

2.橘子洲头要建造一个圆形的喷水池,并在水池中央垂直安装一个柱子OP,柱子顶端 P处装上喷头,由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落 下(如图所示).若已知OP=3米,喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米, 离柱子OP的距离为1米.

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)若不计其它因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流

不至于落在池外?

第2题图

49

3.某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可 以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.对有游客入 住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加 x元.求:

(1)房间每天的入住量y(间)关于x(元)的函数关系式;

(2)该宾馆每天的房间收费z(元)关于x(元)的函数关系式;

(3)该宾馆客房部每天的利润w(元)关于x(元)的函数关系式;当每个房间的定

价为每天多少元时,w有最大值?最大值是多少?

4.如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米. 现 以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.

(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;

(2)求这条抛物线的解析式;

(3)若要搭建一个矩形―支撑架‖AD- DC- CB,使C、D点在抛物线上,

A、B点在地面OM上,则这个―支撑架‖总长的最大值是多少?

第4题图

【基础过关】

1.如图,用长8m的铝合金条制成矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么

这个窗户的最大透光面积是________.

第1题图

2.用长20m的篱笆,一面靠墙围成一个长方形的园子,当园子宽为,园子有最大面积是 .

3.抛物线y?ax?bx?c?a?0?的对称轴为x??1与x轴交A、B两点,与y轴交于,2

?2?.0?、C?0,点C其中A??3,则这条抛物线的函数表达式为

_______________.

50

24.若抛物线y?ax?bx?c?a?0?的顶点坐标是(1,3),且与y?2x的开口大小2

相同,方向相反,则这条抛物线的函数表达式_________________.

【能力提升】

5.王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,其飞行路线满足抛物线y??1x2?8x,55其中y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水平距离,结果球离球洞的水平距离还有2m.

(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴.

(2)请求出球飞行的最大水平距离.

(3)若王强再一次从此处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚

好进洞,则球飞行路线应满足怎样的抛物线,求出其解析式.

第5题图

6.(1)一辆宽2米的货车要通过跨度为8米,拱高为4米的单行抛物线隧道(从正中

通过),为保证安全,车顶离隧道顶部至少要0.5米的距离,求货车的限高为多少?

(2)若将(1)中的单行道改为双行道,即货车必须从隧道中线的右侧通过,求货车

的限高应是多少?

备用图 第6题图

51

5.6二次函数的综合

【中考热点】

1.已知函数y?(x?a)(x?b)(其中a?b)的图象如右下图所示,

则函数y?ax?b的图象可能正确的是( )

第1题图

2. 如图所示,二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交 点为B,且与y轴交于点C.

(1)求m的值;

(2)求点B的坐标;

(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0), 使

S△ABD=S△ABC,求点D的坐标.

3.如图,抛物线y=第2题图 12x+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点, 2

且A(一1,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;

(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求m的值.

52 第3题图

【基础过关】

1.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B 向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点, HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运动.设BP的长为x,△HDE的面积为y. (1)求证:△DHQ∽△ABC;

(2)求y关于x的函数解析式,并求y的最大值;

【能力提升】

2.在上题的条件下,当x为何值时,△HDE为等腰三角形?直接写答案.

53

第1题图

备用图

备用图

第六讲 圆

6.1 圆的基本性质

【知识梳理】

1.圆的定义:平面上到.

2.重要概念:

等弧:能够 的弧叫做等弧,等弧存在于 圆中.

弦心距: 到 的距离叫做弦心距.

3.圆是轴对称图形,对称轴是_______________________________________.

垂径定理: 弦的直径 这条弦,并且_____________________________. 推论:(1) 弦( )的直径 这条弦,并

且 .

(2)弦的垂直平分线______________,并且___.

4.圆是中心对称图形,对称中心是.

―圆心角、弧、弦、弦心距等对等‖定理:在弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量_______,那么它们所对应的其余各组量都分别 .

5.与圆有关的角:

(1)圆心角定义:顶点在 的角叫做圆心角.

(2)圆周角定义:顶点在 ,并且两边分别和圆 的角叫做圆周角.

(3)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .

推论1:同弧和等弧所对的________________;在 ,相等的圆

周角所对的弧 .

推论2:半圆或直径所对的圆周角是 .

90°的圆周角所对的弧是,所对的弦是

【中考热点】

1.(1)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OCB=40°则∠A的度数等于________.

(2)如图,已知AB为⊙O的直径,∠CAB=30°,则∠D= .

(3)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的截面圆半径OB=10,截面圆圆心O 到水面的距离OC是6

(4)如图,△ABC

的外心坐标是

第1(1)图 第1(2)图 2.如图,?PAC?30?,在射线AC上顺次截取AD =3cm,DB =10cm,以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点,求圆心O到AP的距离及EF的长.

54 C

【基础过关】

1.下列命题中,正确的是_____________.(填序号)

①顶点在圆周上的角是圆周角; ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;

③90的圆周角所对的弦是直径; ④不在同一条直线上的三个点确定一个圆;

⑤同弧所对的圆周角相等.

2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知∠B=70°,则∠CAO的度数是__________.

3.如图,⊙O的弦AB=6,M是AB上任意一点,OM最小值为4,则⊙O的半径为_______.

4.如图,⊙O的弦AB垂直平分半径OC.则四边形OACB是( )

A.正方形 B.长方形 C.菱形 D.以上答案都不对

5.如图,⊙O中OA⊥BC,∠CDA=25°,则∠AOB的度数为

6.若弓形的弦长为4,弓形的高为1,那么弓形所在圆的半径等于.

7.如图,已知⊙O的两条弦AC,BD相交于点E,∠A=70o,∠C=50o,则sin∠AEB的

值为__________.

? 第4题图 第5题图 第2题图

第7题图

8.如图,△ABC内接于⊙O,AE是⊙O的直径,CD是△ABC中AB边上的高.

求证:AC·BC=AE·CD.

【能力提升】 第3题图

第8题图

9.如图,⊙O的半径为1,AB是⊙O 的一条弦,且AB=3,则弦AB所

对圆周角的度数为_________.

10.如图,两个同心圆的半径分别为3cm和5cm,弦AB与小圆相切于点C,

则AB的长为__________cm.

第9题图

11.如图,矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E,GB=8cm,

AG=1cm,DE=2cm,则EFcm .

12.如图,△ABC内接于⊙O,过点A的直线交⊙O于点P,交BC的延长线

于点D,AB2?AP?AD. ⌒ 的 (1)求证:AB=AC;(2)如果∠ABC=60°,⊙O的半径为1,且P为AC

中点,求AD的长 第11题图

55 第12题图

6.2 与圆有关的位置关系 【知识梳理】

1.点与圆的位置关系共有三种:① ,②,③ ;对应点到

圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为:①d r,②d r,③d r.

2.(1)直线与圆的位置关系共有三种:① ,② ,③.

对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为: ①d r,②d r,③d r.

(2)切线的性质与判定:圆的切线

经过 的一端,并且_________这条_________的直线是圆的切线.

证明切线常用的方法:①__________________;②___________________.

(3)① ―三点定圆‖定理: ②三角形的外接圆:三角形的三个顶点确定 个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,

三角形的外接圆的圆心是三角形 的交点,叫 心,到 的距

离相等.

③三角形的内切圆:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的_______,内切圆的圆

心是三角形_________的交点,叫做三角形的 ,到 的距离

相等.

3.圆与圆的位置关系共有五种:①,②,④,⑤;两

圆的圆心距d和两圆的半径R、r(R≥r)之间的数量关系分别为:①d R-r,

②d R-r,③ R-r d R+r,④d R+r,⑤d R+r.

【中考热点】

1.(1)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以

BC为直径作⊙O,线段CD的中点为P,则点P与⊙O的位置关系是_________.

(2)⊙O的半径为5,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与⊙O的位置关系是____.

(3)如图,⊙O1,⊙O2,⊙O3两两相外切,⊙O1的半径r1=1,⊙O2的半径 r2=2,

⊙O3的半径r3=3,则△O1O2O3是______三角形.

(4)半径分别是10cm和17cm的两圆相交,公共弦长为16cm,则两圆的圆心距_____.

2.(1)如图,⊙O是正方形 ABCD的外接圆,点 P 在⊙O上,则∠APB等_______.

(2)如图,已知⊙O是△ABC的内切圆,且∠BAC=50°, 则∠BOC为 .

(3)如图,从⊙O外一点A引圆的切线AB,切点为B,连接AO并延长

交圆于点C,连接BC,若∠A=26°,则∠ACB的度数为 .

(4)边长为a的正△ABC的内切圆半径为 .

2 O3 第1(1)图 第2(1)图 第1(3)图 第2(2)图 第2(3)图 3.如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙

O与BC边的交点D恰好为BC的中点.

过点D作⊙O的切线交AC边于点E.

(1)求证:DE⊥AC;(2)若∠ABC=30°,求tan∠BCO的值.

第3题图

56

4.在等腰△ABC中,AB=AC,O为AB上一点,以O为圆心.OB长为半径的圆交BC于D,DE⊥AC 交AC于E.(1)求证:DE是⊙O的切线. (2)若⊙O与AC相切于F,AB=AC=5cm,sinA?3,求⊙O的半径的长. 5

C 第4题图

5.如图,AD是⊙O的弦,AB经过圆心O,交⊙O于点C,∠DAB=∠B=30°

(1)直线BD是否与⊙O相切?为什么?

(2)连接CD,若CD=5,求AB的长.

【基础过关】

1.已知点O为直角坐标系原点,圆O的半径为2,点A的坐标是(2,1),则下列关于点A与圆O的位置关系的说法正确的是( )

A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不能确定

2.⊙O1的半径为5,⊙O2的半径为9,⊙O1与⊙O2相切,则这两圆的圆心距为_______.

3.如图,在△ABC中,AB=2,AC

,以A为圆心,1为半径的圆与边BC相切,则∠BAC的度数是 .

4.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,若⊙O的半径为

3,AC=2,则 2

sinB的值是_______.

5.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,DC切⊙O于C.若∠A=25°,则∠D等于_____.

6.如图,AB是⊙O的直径,AD是⊙O的切线,点C在⊙O上, BC∥OD,AB=2,OD=3,则BC的长为_________.

7.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC=4. BD为⊙O的直径,则BD= ___.

B C

第3题图 第4题图 C

57

8.如图,AB是半圆的直径,O为圆心,BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.

(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;

(2)如果?BDE?60°,PD

求PA的长.

第8题图

【能力提升】

9.如图,已知⊙O的半径为1,锐角△ABC内接于⊙O,BD⊥AC于点D,OM⊥AB于 点M,则sin∠CBD的值等于( )

A.OM的长 B.2OM的长 C.CD的长 D.2CD的长

10.如图.AB为⊙O的直径,AC交⊙O于E点,BC交⊙O于D点,CD=BD,∠C=70°.现给出以下四个结论:①∠A=45°;②AC=AB: ③弧AE=弧BE; ④CE·AB=2BD2. 其中正确结论的序号是_________.

11.⊙O的半径为2,点A的坐标为(2,2),直线AB为⊙O的切线,B为切点. 则B点的坐标为___________.

第9题图 第10题图 第11题图 第12题图

12.如图,BD是⊙O的直径,OA⊥OB,M是劣弧AB上一点,过M点作⊙O的切线MP 交OA的延长线于P点,MD与OA交于N点.

(1)求证:PM?PN;

(2)若BD=4,PA=

3AO,过点B作BC∥MP交⊙O于点C,求BC的长. 2

58

6.3 与圆有关的计算

【知识梳理】 1.圆的周长为,弧长公式为l2.圆的面积:S 扇形面积: S=____________=__________. 3.圆柱的侧面展开图是__________.

侧面积公式:S=_____________.(其中r为底面圆的半径,l为圆柱的高) 4.圆锥的侧面展开图是_________.

侧面积公式:S=______.(其中r为底面圆的半径, l为圆锥的长) 【中考热点】

1.母线长为2,底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为_________.

2.如图,在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AC=4cm,将△ABC绕顶点C顺 时针方向旋转至△A′B′C′的位置,且A、C、B′三点在同一条直线上, 则点A所经过的最短路线的长为________.

3.(1)如图,线段AB与⊙O相切于点C,连结OA、OB,OB交⊙O于点D, OA=OB=6cm,AB

=则⊙O的半径为_____,图中阴影部分的面积为_______. (2)如图,方格纸中4个小正方形的边长均为1,则图中阴影部分三个

小扇形的面积和为______.

4.如图,圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面圆心的截面)是边长为4cm 的等边△ABC,点D是母线AC的中点,一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的 表面爬行到点D处,则这只蚂蚁爬行的最短距离是 cm.

5.如图,在?ABC中,?A?90o,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆分别 与AB、AC边相切于D、E两点,连接OD.已知BD?2,AD?3. 求:(1)tanC;

(2)图中两部分阴影面积的和.

59

A

C 第3(1)

A

C

B′

B

A′

第2题图

O

B

第3(2)

B

第5题图

【基础过关】

1.扇形的半径为2cm,面积是

为 .

2.如图,有一圆心角为120 o.半径长为6cm的扇形,若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面,那么圆锥的高是( ) A.42cm B.35cm C.2cm D.23cm

3.如图,在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片,使之恰好能围成一个圆锥模型.若圆的半径为r,扇形的半径为R,扇形的圆心角等于90°,则r与R之间的关系是( )

A.R=2r

B.R? C.R=3r D.R=4r

4.如图,正六边形内接于⊙O,⊙O的半径为10,则圆中阴影部分的面积为.

5.将△ABC绕点B逆时针旋转到△A?BC?使A、B、C?在同一直线上,若

2,AB?4cm,则图中阴影部分面积为. ?BCA?90°,?BAC?30°4?cm2,则扇形的弧长是cm,扇形的圆心角3

第 2题图

【能力提升】 4题图

第C/第5题图

第6题图

6.右图是圆心角为30°,半径分别是1、3、5、7、…的扇形组成的图形,阴影部分的面积依次记为S1、S2S3、…,则S50?_________(结果保留π).

7.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,以A为圆心,

AD为半径的圆与 BC切于点M,与AB交于点E,

⌒的长( ) AD=2,BC=6,则DE

A.AEBM第7题图 CD3?3?3? B. C. D.3? 248

8.如图,有一长为4cm,宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑

动的翻滚(顺时针方向),木板上的顶点A的位置变化为

A→A1→A2,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住,使木板

边沿A2C与桌面成30°角,则点A翻滚到A2位置时,共走过

的路径长为( ) A.10cm B.3.5πcm C.4.5πcm D.2.5πcm 第8题图

60

第七讲 视图与投影

【知识梳理】

(一)视图

1.从 观察物体时,看到的图叫做主视图 ;从 观察物体时,看到的图叫做左视图 ;从 观察物体时,看到的图叫做俯视图.

2.画三种视图时,应遵循―______________、______________、______________‖的原则,看不见部分的轮廓线画成_______.

(二)投影

1.平行投影:

2.中心投影:__所形成的投影叫中心投影.

3.视点与盲区:一个人看东西时,这个人眼睛的位置称为________,由

视点发出的线称为________,这个人看不到的地方称为________.

(三)展开与折叠、截一个几何体

1.正方体的开展图共有____种,判断展开图的原则:最长________,―______‖不能有.

2.用一个平面截一个正方体,截面多边形的边数可能为______________.

【中考热点】

1.如图是一个正方体的表面展开图,则图中―加‖字所在面的对面

所标的字是________.

2.如图所示的几何体的正视图是( )

左视图

A B C D 3.一个圆柱体钢块,正中央被挖去了一个长方体孔,其俯视图如图所 主视图

示,则此圆柱体钢块的左视图是( ) .

第3题图

A. B. C. D.

4.一个几何体的三视图如图所示,它的俯视图为菱形.请写出该几何体

的形状,并根据图中所给的数据求出它的侧面积.

5.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距

路灯的底部(O点 )20米的A点,沿OA所在的直线行

走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变

长或变短了多少米?

61 俯视图

俯视图 第4题图

O B N A M 第5题图

【基础过关】

1.下列四幅图形中,表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( )

主视图左视图

2.长方体的主视图与左视图如图所示(单位:cm), 第2题图

2则其俯视图的面积是_________cm.

3.已知李明的身高为1.8m,他在路灯下的影长为2m,李明距路灯杆底部为3m,则路 灯灯泡距地面的高度为____________m.

4.如图,F表示一路口交通信号灯的位置,一小汽车停在

一货车后面,点C表示小汽车司机头部.问若小汽车司机

抬头向正前方望去,他能否看到信号灯F,为什么?

5.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度,如图,他在某一时刻立1米长 的标杆测得其影长为1.2米,同时旗杆的投影一部分在地面上,另一部分

在某一建筑的墙上,分别测得其长度为9.6米和2

第5题图

【能力提升】

6.如图所示几何体的左视图是(

正面 D B 第6题图

7.

得到一个工件如图②.对于这个工件.

俯视图、主视图依次是________.

acb①②

8.如图,CD,EF表示高度不同的两座建筑物,已知CD

高15米,小明站在

A处,视 线越过CD,能看到它后面的建筑物的顶端E,此时小明的视

∠FAE=45°,为了能看到建筑物EF上点M的位置,小明延直线

FA由点A移动到点N的位置,此时小明的视角∠FNM=30°,求 M

AN之间的距离.

第7题图 d

F 第 8题图 N

62

第八讲 概率与统计

【知识梳理】 (一)统计

1.一般地,对于n个数x1,x2,x3,?xn,x=_________________叫做这n个数的平均数; 2.将一组数据_________________,处于_____________或______________叫做这组数据的中位数;

3.一组数据中_____________的那个数据叫做这组数据的众数; 4.一组数据中____________________叫做这组数据的极差;

5.一般对于n个数x1,x2,x3,?xn,s=_______________叫做这n个数的方差;方差的 _____叫做标准差;

6.在一组数据中,称每个数据出现的次数为_______,而每个数据出现的次数与总次数的比值为_______.

7.加权平均数概念:如果在n个数中,x1出现f1次,x2出现f2次,…,xk出现fn次,(其中f1++f2 +…+fk=n),则称______________________________________为加权平均数. (二)概率 8.

??_________

?________?

随机事件??_________

?________?

2

9.概率的计算方法常有以下几种:(1)利用概率的意义;(2)分类列出;(3)用树状图列出;(4)列表格;(5)面积法.

10.当试验次数非常大时,试验频率可作为事件发生的概率的估计值,即试验次数非常大时,_______稳定于_______.因此可以利用试验的方法进行概率估算. 【中考热点】

1.四川省汶川发生大地震后,全国人民―众志成城,抗震救灾‖,积极开展捐款捐物献爱 心活动.下表是我市某中学初一·八班

50名同学捐款情况统计表: 20

第3题图

根据表中提供的信息,这50名同学捐款数的众数是________. 2.一组数据0、1、2、2、3、1、3、3的众数是_________.

3. ―只要人人都献出一点爱,世界将变成 美好的人间‖. 在 今年的慈善一日捐活动中,济南市某中学八年级三班50

名学生自发组织献爱心捐款活动.班长将捐款情况进行了 统计,并绘制成了统计图.根据右图提供的信息,捐款金 .额的众数和中位数分别是__________. .

30 50 100 金额/元

4.―五一‖期间,我市某街道办事处举行了―迎全运,促和谐‖中青年篮球友谊赛.获得男 子篮球冠军球队的五名主力队员的身高如下表:(单位:厘米)则该队主力队员身高 的极差是______,方差是

63

5.在一次体育课上,体育老师对九年级一班的40名同学进行了立定跳远 项目的测试,测试所得分数及相应的人数如图所示,则这次测试的平均 分为________分.

6. ―迎奥运,我为先‖联欢会上,班长准备了若干张相同的卡片,上面写的 是联欢会上同学们要回答的问题.联欢会开始后,班长问小明:你能 设计一个方案,估计联欢会共准备了多少张卡片?小明用20张空白卡 片(与写有问题的卡片相同),和全部写有问题的卡片洗匀,从中随机 抽取10张,发现有2张空白卡片,马上正确估计出了写有问题卡片的 数目,小明估计的数目是_______张.

7.如图,数轴上两点A,B,在线段AB上任取一点,则点C到表 示1的点的距离不大于2的概率是 . 8.有3 卡片背面朝上洗匀后,第一次从中随机抽取一张,并把这张卡片标有的数 字记作一次函数表达式中的k,第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一 ..张,上面标有的数字记作一次函数表达式中的b. (1)写出k为负数的概率;

(2)求一次函数y?kx?b的图象经过二、三、四象限的概率. (用树状图或列表法求解)

9.完全相同的4个小球,上面分别标有数字1、-1、2、-2,将其放入一个不透明的 盒子中摇匀,再从中随机摸球两次(第一次摸出球后放回摇匀).把第一次、第二次 摸到的球上标有的数字分别记作m、n,以m、n分别作为一个点的横坐标与纵坐标, 求点(m,n)不在第二象限的概率.(用树状图或列表法求解) ..

第8题图

背面

人数(人) 20

15 10 5 0

6分 8分 10分 分数

第5题图

?1?23

正面

64

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