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初中方程综合

发布时间:2014-01-09 12:48:42  

贡献者方瑞

九年级方程

方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

方程的根:只含有一个未知数的方程的解,也叫方程的根。

解方程:求方程的解的过程叫做解方程。

同解方程:如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程。(注:用等式的两条性质所得的方程与原方程是同解方程。)

方程的同解原理:

1)方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;

2)方程两边都乘以(或除以)同一个数(除数不为0),所得结果仍是等式。 一元一次方程的解法

一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0的方程叫做一元一次方程。这里的“元”是指方程中的未知数,“次数”是指方程中含有未知数的项的最高次数。

一元一次方程的标准形式:方程ax?b?0(其中x是未知数,a,b是已知数,并且a?0)叫做一元一次方程的标准形式。

移项法则:方程中的任何一项,都可以在改变符号后,从方程的一边移到另一边,即移项要变号

一元一次方程的解法

贡献者方瑞

1.去分母 方程2x?110x?1??1去分母后,得到: 36

2.去括号

将方程2x?3(4?2x)?5去括号正确的是( )

A.2x?12?6x?5 B.2x?12?2x?5 C.2x?3?6x?5 D.2x?12?6x?5

3.移项

将方程2x?5?3x?9移项后,得到:

贡献者方瑞

4.合并同类项

下列方程合并同类项不正确的是( )

A.由3x?2x?4,合并同类项,得x?4.

B.B.由2x?3x?3,合并同类项,得?x?3

C.由?8x?2x?4x?12,合并同类项,得?2x?12

D.由?7x?2x?5,合并同类项,得?5x?5

5.系数化为1

下列等式变形中,正确的是( )

A.若8x??4,则x??2 B.若3x?7, 则x?3 7

C.若?532x?, 则x??1 D. 若?6x??5, 则x? 623

1?1?1?x?2????4??6??8??1 ???9?7?5?3???例 解方程

1?1?x?2???4??6??8?9 解:原方程可变为??7?5?3??

1?1?x?2???4???6??1 ?7?5?3??

1?x?2??4??6?7 ?5?3?

1?x?2x?2??4?=1 ?4?5 ?5?33?

x?2?1 3

解得x=1

贡献者方瑞

二元一次方程组的解法

形如ax+by=c (ab≠0)方程叫二元一次方程,满足方程的解有无数个。 ①代入消元法

1.用代入法解下列方程组:

5x?3y?7, ? ??3x?y?7;

[解]:⑴由②得:y?7?3x ③

再把③代入①得:5x?3(7?3x)?7,解这个方程得:x?2.

将x?2代入③,得y?7?3?2,∴y?1.

∴原方程组的解是??x?2, y?1.?

归纳:用代入消元法解方程组时,首先将其中一个方程变形,用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数,然后代入另一个方程。

②加减消元法

解方程组①

解:把 ②-①得: 8y=-8

y=-1

把y =-1代入①,得:

2x-5×(-1)=7 解得:x=1

所以原方程组的解是=1

y=-1

贡献者方瑞

小结:用加减消元法解方程组时,若哪个未知数系数的绝对值正好相等,就可先消哪个未知数;若两个未知数的系数绝对值均不等,则可选定一个未知数,通过变形使其绝对值相等,再进行消元.

训练

1.已知x?2y?3?(2x?y?1)2?0,求x,y的值.

2.若x,y满足等式1?1?5和1?2?4,求x,y的值 xyxy

??x+y=83.解方程组?y+z=6

??z+x=4

一元二次方程解法

1概念

②③(1)定义:①只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程......................

就是一元二次方程。

(2)一般表达式:ax2?bx?c?0(a?0)

注:当b=0时可化为ax2?c?0这是一元二次方程的配方式

(3)四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为ax2?bx?c?0(a?0)的形式,则这个方程就为一元二次方程. (4)将方程化为一般形式:ax2?bx?c?0时,应满足(a≠0)

(4)难点:如何理解 “未知数的最高次数是2”:

贡献者方瑞

①该项系数不为“0”;

②未知数指数为“2”;

③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题:

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )

112A 3?x?1??2?x?1? B 2??2?0 C ax2?bx?c?0 D xx22x?2x?x?1

变式:当k 时,关于x的方程kx2?2x?x2?3是一元二次方程。 例2、方程?m?2?x?3mx?1?0是关于x的一元二次方程,则m的值为 。 m

2方程的解法

(1)基本思想方法:解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

(2)方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法

(3x?1)2?7 ?3??1?x??9?0; 例1、解方程:?1?2x2?8?0; (2)2

贡献者方瑞

(4)9?x?1??16?x?2? (5)9x2?24x?16?11 22

例2、解关于x的方程:ax2?b?0

3. 下列方程无解的是( )

A.x2?3?2x2?1 B.?x?2??0 C.2x?3?1?x D.x2?9?0 2

类型二、配方法

基本步骤 :1.先将常数c移到方程右边 2.将二次项系数化为1

3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式:

※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题:

例1、试用配方法说明x2?2x?3的值恒大于0,?10x2?7x?4的值恒小于0。 例2、已知x、y为实数,求代数式x2?y2?2x?4y?7的最小值。 变式:若t?2??3x2?12x?9,则t的最大值为,最小值为。 例3、已知x2?y2?4x?6y?13?0,x、y为实数,求xy的值。

变式1:已知x2?111,则?x??4?0x?? . 2xxx

c?1??4a?2?2b?1?4,那么a?2b?3c的值变式2:如果a?b?

为 。

例4、分解因式:4x2?12x?3

贡献者方瑞

类型三、因式分解法: 把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法?x?x1??x?x2??0?x?x1,或x?x2

※方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,

※方程形式:如?ax?m???bx?n?,?x?a??x?b???x?a??x?c? ,x2?2ax?a2?0 22

※分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法

针对练习:

例1、2x?x?3??5?x?3?的根为( )

A x?525 B x?3 C x1?,x2?3 D x? 252

例2. (1)4a2?169b2(平方差)

(2) ?8x4y?6x3y2?2x3y(提公因式)

(3)(m?n)2?4(m?n)2(平方差)

(4)(4)a2?6a?9 (完全平方式)

(5)?12xy?x2?36y2 (完全平方式)

(6)(a?b)2?5(a?b)?4(十字相乘法)

贡献者方瑞

(7)p2?7pq?12q2(十字相乘法)

(8)5n(2m?n)2?2(n?2m)3(提公因式)

例3、若?4x?y??3?4x?y??4?0,则4x+y的值为 2

例4、方程x2?x?6?0的解为( )

A.x1??3,x2?2B.x1?3,x2??2 C.x1?3,x2??3 D.x1?2,x2??2 例5、解方程: x2?23?1x?2?4?0

例6、已知2x2?3xy?2y2?0,则x?y的值为 。 x?y

x?y变式:已知2x2?3xy?2y2?0,且x?0,y?0,则的值为 。 x?y?

例7、解下列方程

4x+14x-52(1) (2x – 3) = (3x – 2) (2) - = x+2 52322

(4) 5m2 – 17m + 14=0 (5) (x2 +x+1)(x2 +x + 12)=42

(6) 2x2 + (3a-b)x –2a2+3ab- b2 =0

例8、解关于x的方程x2+x – 2+k(x2+2x)=0 (对k要讨论)

贡献者方瑞

类型四、公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式的值,当判别式大于等于零时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式,就可得到方程的根。

?a?0,且b2?4ac?0?⑴条2:?b?b?4acx?,?a?0,且b2?4ac?0? 2a

典型例题:例1、选择适当方法解下列方程:

2⑵公式: ⑴3?1?x??6. ⑵?x?3??x?6???8. ⑶x2?4x?1?0

⑷3x2?4x?1?0 ⑸3?x?1??3x?1???x?1??2x?5?

说明:解一元二次方程时,首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法;一般不选择配方法。

例2、在实数范围内分解因式:

(1)x2?22x?3; (2)?4x2?8x?1. ⑶2x2?4xy?5y2

说明:①对于二次三项式ax2?bx?c的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式,这

种方法首先令ax2?bx?c=0,求出两根,再写成ax2?bx?c=a(x?x1)(x?x2).

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去. 3根与系数的关系

ax2?bx?c?0而言,当满足①a?0、②??0时,

才能用韦达定理。

bc1?x2

??,x1x2? aa

贡献者方瑞

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2?8x?7?0的两根,则这个直角三

角形的斜边是( )

A. B.3 C.6 D.6

例2、解方程组:

?x2?y2?10,?x?y?10, (1)?(2)??xy?24;?x?y?2.

说明:一些含有x?y、x2?y2、xy的二元二次方程组,除可以且代入法来解外,往往还可以利用根与系数的关系,将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时,后者显得更为简便.

例3、已知关于x的方程k2x2??2k?1?x?1?0有两个不相等的实数根x1,x2,

(1)求k的取值范围;

(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。

例4、当k取何值时,方程x2?4mx?4x?3m2?2m?4k?0的根与m均为有理数?

例5、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时,小明因看错常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗?其正确解应该是多少?

例6、已知a?b,a2?2a?1?0,b2?2b?1?0,求a?b?

贡献者方瑞

变式:若a2?2a?1?0,b2?2b?1?0,则ab?的值为 。 ba例7、已知?,?是方程x2?x?1?0的两个根,那么?4?3?? .

一元二次方程训练

一、选择题

1.解方程:3x2+27=0得( ). (A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个

2.方程(2-3x)+(3x-2)2=0的解是( ).

(A)

(C)x1=x2=,x2=-1 (B) (D) ,,x2=1

3.方程(x-1)2=4的根是( ).

(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-2

4.用配方法解方程:

(A)

(C)

5.一元二次方程

( ).

(A) a=1,b=

(C)a=-1,b=-正确的是( ). (B),原方程无实数解 (D) 原方程无实数解 用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的是 (B)a=1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=2 ,c=2

6.用公式法解方程:3x2-5x+1=0,正确的结果是( ).

(A) (B) (C) (D)都不对

贡献者方瑞

二、填空

7.方程9x2=25的根是___________...

8.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________.

9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________.

10.关于x的方程(m-m-2)x+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.

11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=________.

三、用适当的方法解下列关于x和y的方程

12.(x+2)(x-2)

=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)2

14.3x-4x-4=0. 15.x+x-1=0.

16.x2+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.

18.2x2-

=0.

20.a2x2+2abx+b2-4=0(a≠0). 21.(b-c)x2-(c-a)x+(a-b)=0(a≠c)

2222 19.x2-bx-2b2

贡献者方瑞

22.用因式分解法、配方法、分式法解方程2x+5x-3=0.

(A) 因式分解法 (B)配方法 (C)公式法

23.解方程:

(1)

24.解关于x的方程:x2-2x+1-k(x2-1)=0

25.已知|2m-3|=1,试解关于x的方程3mx(x+1)-5(x+1)(x-1)=x2

(2) 2

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