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几何三大变换之平移探讨

发布时间:2014-01-09 13:54:54  

【2013年中考攻略】专题10:几何三大变换之平移探讨

轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内,将一个图形(含点、线、面)整体按照某个直线方向移动一定的距离,这样的图形变换叫做图形的平移变换,简称平移。平移由移动的方向和距离决定。经过平移,平移前后图形的形状、大小不变,只是位置发生改变;平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等;平移前后图形的对应线段平行且相等,对应角相等。

在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识,是中考数学的必考内容。

结合2011和2012年全国各地中考的实例,我们从下面七方面探讨平移变换:(1)构造平移图形;(2)点的平移;(3)直线(线段)的平移;(4)曲线的平移;(5)三角形的平移;(6)四边形的平移;(7)圆的平移。

一、构造平移图形:

典型例题:例1. (2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分)顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形,如图,在一个9 X 9的正方形网格中有一个格点△ABC.设网格中小正方形的边长为l个单位长度.

(1)在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△AlBlCl.

(2)在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转900后得到的△AB2C2

(3)在(1)中△ABC向上平移过程中,求边AC所扫过区域的面积.

【答案】解:(1)、(2)如图所示:

(3)∵△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1,△ABC向上平移过程中,边AC所扫

过区域是以4为边长,以2为高的平行四边形, ∴边AC所扫过区域的面积=4×2=8。

1

【考点】作图(旋转和平移变换),平行四边形的判定和性质。

【分析】(1)根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可。

(2)根据图形旋转的性质画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2。

(3)根据△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1,△ABC向上平移过程中,求边AC所扫过区域是以4为边长,以2为高的平行四边形,由平行四边形的面积公式即可得出结论。

例2.(2012黑龙江龙东地区6分)如图,方格纸中每个小正方形的边长都是单位1,△ABC的三个顶点都在格点上,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:

(1)将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度,画出两次平移后的△A1B1C1;

(2)写出A1、C1的坐标;

(3)将△A1B1C1绕C1逆时针旋转90°,画出旋转后的△A2B2C1,求线段B1C1旋转过程中扫过的面积(结 果保留π)。

【答案】解:(1)两次平移后的△A1B1C1如图所示:

(2)由△A1B1C1在坐标系中的位置可知,A1(0,2);C1(2,0)。

(3)旋转后的图形如图所示:

2

∵由勾股定理可知,B1C1??

S扇形?

∴线段B1C1旋转过程中扫过的面积为

【考点】作图(旋转和平移变换),扇形面积的计算。

【分析】(1)根据图形平移的性质画出两次平移后的△A1B1C1即可。

(2)根据△A1B1C1在坐标系中的位置写出A1、C1的坐标;

(3)根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2B2C1,再根据勾股定理求出B1C1的长,由扇形的面积公式即可计算出线段B1C1旋转过程中扫过的面积。

例3.(2012贵州六盘水10分)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形.Rt△ABC的顶点均在格点上,建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(﹣4,1),点B的坐标为(﹣1,1).

(1)先将Rt△ABC向右平移5个单位,再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1.试在图中画出图形Rt△A1B1C1,并写出A1的坐标;

(2)将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2,试在图中画出图形Rt△A2B2C2.并计算Rt△A1B1C1在上述旋转过程中C1所经过的路程.

90???2 360?17?。 417?。 4

3

【答案】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求作的三角形。点A1的坐标为(1,0)。

(2)如图所示,△A2B2C2即为所求作的三角形。

根据勾股定理,A1C1

∴旋转过程中C1

【考点】网格问题,作图(旋转和平移变换),勾股定理,弧长的计算。

【分析】(1)根据网格结构找出点A.B.C平移后的对应点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接即可,再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可。

(2)根据网格结构找出点A1、B1、C1绕点A1顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置,然后顺次连接即可,再根据勾股定理求出A1C1的长度,然后根据弧长公式列式计算即可得解。

例4.(2012安徽省8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和点A1.

(1)画出一个格点△A1B1C1,并使它与△ABC全等且A与A1是对应点;

(2)画出点B关于直线AC的对称点D,并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的.

【答案】解:(1)答案不唯一,如图,平移即可:

4

(2)作图如上,

BD=AB2+AD2=BD2。

∴△ABD是直角三角形。

∴AD可以看作由AB绕A点逆时针旋转90°得到的。

【考点】作图(平移变换、轴对称变换),全等图形,旋转和轴对称的性质,勾股定理和逆定理。

【分析】(1)利用△ABC三边长度,画出以A1为顶点的三角形三边长度即可,利用图象平移,可得出 △A1B1C1。

(2)利用点B关于直线AC的对称点D,得出D点坐标,根据勾股定理和逆定理可得出AD与AB的位置关系。

例5.(2012海南省8分)如图,在正方形网络中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A、B、C的坐标分别为(-2,4)、(-2,0)、(-4,1),结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:

(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1.

(2)平移△ABC,使点A移动到点A2(0,2),画出平移后的△A2B2C2并写出点B2、C2的坐标.

(3)在△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2中,△A2B2C2与 成中心对称,其对称中心的坐标为

.

5

【答案】解:(1)△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示:

(2)平移后的△A2B2C2如图所示:

点B2、C2的坐标分别为(0,-2),(-2,-1)。

(3)△A1B1C1;(1,-1)。

【考点】网格问题,作图(中心对称变换和平移变换),中心对称和平移的性质。

【分析】(1)根据中心对称的性质,作出A、B、C三点关于原点的对称点A1、B1、C1,连接即可。

(2)根据平移的性质,点A(-2,4)→A2(0,2),横坐标加2,纵坐标减2,所以将B(-2,0)、C(-4,1)横坐标加2,纵坐标减2得到B2(0,-2)、C2(-2,-1),连接即可。

(3)如图所示。

6

例6.(2012江苏泰州10分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点A、

B、C在小正方形的顶点上,将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1,然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2.

(1)在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2;

(2)计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积(重叠部分不重复计算)

【答案】解:(1)如图所示:

(2)∵图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格,

∴AC?

∵将△ABC向下平移4个单位AC所扫过的面积是以4为

底,以2为高的平行四边形的面积:4×2=8。

再向右平移3个单位AC所扫过的面积是以3为底,以2

为高的平行四边形的面积:4×2=6。

当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时,A1C1所扫过的面积是以A1为圆心以

以圆心角为90°的扇形的面积,重叠部分是以A1为圆心,

以圆心角为45°

的扇形的面积,去掉重叠部分,面积为:45???360?2=?

∴线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积=8+6+π×=14+π。

7

【考点】作图(平移和旋转变换),平移和旋转的性质,网格问题,勾股定理,平行四边形面积和扇形面积的计算。

【分析】(1)根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1及△A1B2C2即可。

(2)画出图形,根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。

例7.(2012甘肃白银3分)将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是【 】

A.

【答案】A。

【考点】生活中的平移现象。 B. C. D.

【分析】根据平移的性质,平移只改变图形的位置,不改变图形的形状与大小。观察各选项图形可知,A选项的图案可以通过平移得到。故选A。

练习题:

1. (2012江苏常州6分)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A(1,0)、B(3,0)、C(2,1)、D(4,3)、E(6,5)、F(4,7)。按下列要求画图:以点O为位似中心,将△ABC向y轴左侧按比例尺2:1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1,并解决下列问题:

(1)顶点A1的坐标为 ▲ ,B1的坐标为 ▲ ,C1的坐标为 ▲ ;

(2)请你利用旋转、平移两种变换,使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2,且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形(非正方形)。写出符合要求的变换过程。

3.(2012福建泉州9分)如图,在方格纸中(小正方形的边长为1),反比例函数y?

B均在格点上,根据所给的直角坐标系(点O是坐标原点),解答下列问题:

(1)分别写出点A、B的坐标后,把直线AB向右平移平移5个单位,再在向上平移5个单位,画出平移..后的直线A′B′.

8 k与直线的交点A、x

(2)若点C在函数y?k的图像上,△ABC是以AB为底边的等腰三角形,请写出点C的坐标

. x

4.(2012湖北武汉7分)如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(-1,3)、(-4,1),先 将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1,点A的对应点为A1,点B1的坐标为(0,2),在将线段A1B1 绕远点O顺时针旋转90°得到线段A2B2,点A1的对应点为点A2.

(1)画出线段A1B1、A2B2;

(2)直接写出在这两次变换过程中,点A经过A1到达A2的路径长.

5.(2012湖南张家界6分)如图,在方格纸中,以格点连线为边的三角形叫格点三角形,请按要求完成下列操作:先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1,再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2.

6.(2012四川凉山6分)如图,梯形ABCD是直角梯形.

(1)直接写出点A、B、C、D的坐标;

(2)画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形,使它与梯形ABCD构成一个等腰梯形.

9

(3)将(2)中的等腰梯形向上平移四个单位长度,画出平移后的图形.(不要求写作法)

7.(2012辽宁丹东8分)已知:△ABC在坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2).(正方形网格中, 每个小正方形的边长是1个单位长度)

(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1,并直接写出C1点的坐标;

(2)以点B为位似中心,在网格中画出△A2BC2,使△A2BC2与△ABC位似,且位似比为2︰1,并直...

接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积.

二、点的平移:

典型例题:例1. (2012广东肇庆3分)点M(2,?1)向上平移2个单位长度得到的点的坐标是【 】

A.(2,0) B.(2,1) C.(2,2) D.(2,?3)

【答案】B。

【考点】坐标平移。

【分析】根据坐标的平移变化的规律,左右平移只改变点的横坐标,左减右加。上下平移只改变点的纵坐标,下减上加。因此,

∵点M(2,-1)向上平移2个单位长度,∴-1+2=1。

∴平移后的点坐标是(2,1)。故选B。

10

例2. (2012辽宁鞍山3分)在平面直角坐标系中,将点P(﹣1,4)向右平移2个单位长度后,再向下平移3个单位长度,得到点P1,则点P1的坐标为 ▲ .

【答案】(1,1)。

【考点】坐标平移。

【分析】根据坐标的平移变化的规律,左右平移只改变点的横坐标,左减右加。上下平移只改变点的纵坐标,下减上加。因此,

∵点P(﹣1,4)向右平移2个单位长度,向下平移3个单位长度,∴﹣1+2=1,4﹣3=1。

∴点P1的坐标为(1,1)。

例2.(2012江苏泰州3分)如图,数轴上的点P表示的数是-1,将点P向右移动3个单位长度得到点P′, 则点P′表示的数是 ▲ .

【答案】2。

【考点】数轴和数,平移的性质。

【分析】如图,根据平移的性质,点P′表示的数是2。

例3.(2012安徽省4分)如图,A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线?,与⊙O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,设OP= x,则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是【 】

【答案】D。

【考点】动点问题的函数图象,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。

【分析】利用AB与⊙O相切,△BAP是直角三角形,把直角三角形的直角边表示出来,从而用x表示出三角形的面积,根据函数解析式确定函数的图象:

∵AB与⊙O相切,∴∠BAP=90°,

∵OP=x,AP=2-x,∠BPA=60°,∴

?x),

∴△APB

的面积y?(0≤x≤2)。 ?x)2,∴△PAB的面积y关于x的函数图像是经过(2,0)的抛物线在0≤x≤2的部分。故选D。

11

例4.(2012浙江嘉兴、舟山4分)如图,正方形ABCD的边长为a,动点P从点A出发,沿折线A→B→D→C→A的路径运动,回到点A时运动停止.设点P运动的路程长为长为x,AP长为y,则y关于x的函数图象大致是【 】

A.

【答案】D。 B.C. D.

【考点】动点问题的函数图象。

【分析】因为动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动,因此,y关于x的函数图象分为四部分:A→B,B→D,D→C,C→A。

当动点P在A→B上时,函数y随x的增大而增大,且y=x,四个图象均正确。

当动点P在B→D上时,函数y在动点P位于BD中点时最小,且在中点两侧是对称的,故选项B错误。

当动点P在D→C上时,函数y随x的增大而增大,故选项A,C错误。

当动点P在C→A上时,函数y随x的增大而减小。故选项D正确。故选D。

例5.(2012浙江温州4分)如图,在△ABC中,∠C=90°,M是AB的中点,动点P从点A出发,

沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发,沿CB方向匀速运动到终点B.已知P,Q两点同时出发,并同时到达终点.连结MP,MQ,PQ.在整个运动过程中,△MPQ的面积大小变化情况是【 】

A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小

【答案】C。

【考点】动点问题的函数图象。

【分析】如图所示,连接CM,∵M是AB的中点,

12

1S△ABC, 2

1开始时,S△MPQ=S△ACM=S△ABC; 2∴S△ACM=S△BCM=

由于P,Q两点同时出发,并同时到达终点,从而点P到达AC的中点时,点Q也到达BC的中点,此时,S△MPQ=1S△ABC; 4

1S△ABC。 2结束时,S△MPQ=S△BCM=

△MPQ的面积大小变化情况是:先减小后增大。故选C。

例6.(2012湖北黄石3分)如图所示,已知A(,y1),B(2,y2)为反比例函数y?1

21图像上的两点,动 x

点P(x,0)在x正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是【 】

A. (,0) B. (1,0) C. (,0) D. (,0)

【答案】D。

【考点】反比例函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,三角形三边关系。

【分析】∵把A(,y1),B(2,y2)分别代入反比例函数y?

∴A(1232521211 得:y1=2,y2= , x211 ,2),B(2, )。 22

∵在△ABP中,由三角形的三边关系定理得:|AP-BP|<AB,

∴延长AB交x轴于P′,当P在P′点时,PA-PB=AB,

即此时线段AP与线段BP之差达到最大。

设直线AB的解析式是y=kx+b,把A、B的坐标代入得: ?12=k+b?k=?1?5??2 ?,解得:?5。∴直线AB的解析式是y??x?。 2b=??1=2k+b2???2

55当y=0时,x= ,即P( ,0)。故选D。

22

13

例7.(2012辽宁大连3分)如图,一条抛物线与x轴相交于A、B两点,其顶点P在折线C-D-E上移动,若点C、D、E的坐标分别为(-1,4)、(3,4)、(3,1),点B的横坐标的最小值为1,则点A的横坐标的最大值为【 】

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B。

【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,二次函数的性质。

【分析】∵抛物线的点P在折线C-D-E上移动,且点B的横坐标的最小值为1,

∴观察可知,当点B的横坐标的最小时,点P与点C重合。

∵C(-1,4),∴设当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为y=a?x+1?+4。

∵B(1,0),∴0=a?1+1?+4,解得a=-1。

∴当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为y=??x+1?+4。

∵观察可知,当点A的横坐标的最大时,点P与点E重合,E(3,1),

∴当点A的横坐标的最大时抛物线的解析式为y=??x?3?+1。

令y=0,即??x?3?+1=0,解得x=2或x=4。

∵点A在点B的左侧,∴此时点A横坐标为2。故选B。

∴点A的横坐标的最大值为2。

22222

14

例8(2012北京市5分)操作与探究:

1 (1)对数轴上的点P进行如下操作:先把点P表示的数乘以,再把所得数对应的点向右平移1个 3

单位,得到点P的对应点P′.

点A,B在数轴上,对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′,其中点A,B的对 应点分别为A′,B′.如图1,若点A表示的数是?3,则点A′表示的数是 ;若点B′表示的

数是2,则点B表示的数是 ;已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重 合,则点E表示的数是 ;

(2)如图2,在平面直角坐标系xoy中,对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作:把每个 点的横、纵坐标都乘以同一种实数a,将得到的点先向右平移m个单位,再向上平移n个单位(m>0, n>0),得到正方形A′B′C′D′及其内部的点,其中点A,B的对应点分别为A′,B′。已知正方形ABCD 内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合,求点F的坐标。

【答案】解:(1)0;3;3。 2

1?a??2?3a?m??1 ??1??(2)根据题意得, ?3a?m?2,解得?m?. 2?0?a?n?2???n?2??

设点F的坐标为(x,y),

1?1x??x??x?1?22∵对应点F′与点F重合,∴?,解得?。 y?41??y?2?y??2

∴点F的坐标为(1,4)。

【考点】坐标与图形的平移变化,数轴,正方形的性质,平移的性质。

15

【分析】(1)根据题目规定,以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′,设点B表示的数为a,根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数,设点E表示的数为b,根据题意列出方程计算即可得解:

1 点A′:-3×+1=-1+1=0。 3

1设点B表示的数为a,则a+1=2,解得a=3。 3

31设点E表示的数为b,则a+1=b,解得b=。 23

(2)先根据向上平移横坐标不变,纵坐标加,向右平移横坐标加,纵坐标不变求出平移规律,

然后设点F的坐标为(x,y),根据平移规律列出方程组求解即可。

例9. (2012江苏常州9分)已知,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点M为边BC的中点,点P为边CD上的动点(点P异于C、D两点)。连接PM,过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)。设CP=x,DE=y。

(1)写出y与x之间的函数关系式 ▲ ;

(2)若点E与点A重合,则x的值为 ▲ ;

(3)是否存在点P,使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上?若存在,求x的值;若不存在,请说明理由。

【答案】解:(1)y=-x2+4x。

(2

2

(3)存在。

过点P作PH⊥AB于点H。则

∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上,

∴P D′=PD=4-x,E D′=ED= y=-x2+4x,

EA=AD-ED= x2-4x+2,∠P D′E=∠D=900。

在Rt△D′P H中,PH=2, D′P =DP=4-x,

? ∵∠ E D′A=1800-900-∠P D′H=900-∠P D′H=∠D′P H,∠P D′E=

∠P HD′ =900, 16

?x2+4x2E D?EA ∴△E D′A∽△D′P H。∴,即, ?4?xD?PD?

H

即x2,两边平方并整理得,2x2-4x+1=0

。解得x?

2

+42, ∵当x时,

y=???

∴此时,点E已在边DA延长线上,不合题意,舍去(实际上是无理方程的增根)。

2?+42, ∵当x?时,

y=?2??

∴此时,点E在边AD上,符合题意。

∴当x?22?时,点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。 2

【考点】矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,折叠对称的性质,解无理方程。

【分析】(1)∵CM=1,CP=x,DE=y,DP=4-x,且△MCP∽△PDE,

∴DEDPy4?x,即?。∴y=-x2+4x。 ?CPCMx1

(2)当点E与点A重合时,y=2,即2=-x2+4x,x2-4x+2=0。

解得x?2

(3)过点P作PH⊥AB于点H,则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上,可得△E D′A与△D′P H相似,由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。

例10. (2012江苏苏州8分)如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆 上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x?2<x<4?.

5 ⑴当x= 时,求弦PA、PB的长度; 2

⑵当x为何值时,PD?PC的值最大?最大值是多少?

O

17 Al

【答案】解:(1)∵⊙O与直线l相切于点A,AB为⊙O的直径,∴AB⊥l。

又∵PC⊥l,∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。

∵AB为⊙O的直径,∴∠APB=90°。

∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。 ∴PCPA,即PA2=PC·PD。 ?APAB

? 5∵PC=x=,AB=4

,∴PA?2

∴在Rt△APB

中,由勾股定理得:PB

(2)过O作OE⊥PD,垂足为E。

∵PD是⊙O的弦,OF⊥PD,∴PF=FD。

在矩形OECA中,CE=OA=2,∴PE=ED=x-2。

∴CD=PC-PD= x-2(x-2)=4-x 。

∴PD?PC=2?x?2???4?x?=?2x2+12x?16

=?2?x?3?+2。

∵2<x<4

∴当x=3时,PD?PC有最大值,最大值是2。

【考点】切线的性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,垂径定理,矩形的判定和性质,二次函数的最值。

【分析】(1)由直线l与圆相切于点A,且AB为圆的直径,根据切线的性质得到AB垂直于直线l,又PC垂直于直线l,根据垂直于同一条直线的两直线平行,得到AB与PC平行,根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等,再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似,由相似得比例,将PC及直径AB的长代入求出PA的长,在Rt△APB中,由AB及PA的长,利用勾股定理即可求出PB的长。

(2)过O作OE垂直于PD,与PD交于点E,由垂径定理得到E为PD的中点,再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形,根据矩形的对边相等,可得出EC=OA=2,用PC-EC的长表示出PE,根据PD=2PE表示出PD,再由PC-PD表示出CD,代入所求的式子中,整理后得到关于x的二次函数,配方后根据自变量x的范围,利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值

2

18

练习题:

1. (2012山东东营3分)将点A(2,1)向左平移2个单位长度得到点A′,则点A′的坐标是【 】 ..

A.(2,3) B.(2,-1) C.(4,1) D. (0,1)

2.(2012广西来宾3分)在平面直角坐标系中,将点M(1,2)向左平移2个长度单位后得到点N,则点N的坐标是【 】

A.(-1,2) B.(3,2) C.(1,4) D.(1,0)

3.(2012广西玉林、防城港3分)在平面直角坐标系中,一青蛙从点A(-1,0)处向右跳2个单位长度,再向上跳2个单位长度到点A′处,则点A′的坐标为 ▲ .

4.(2012四川攀枝花3分)如图,直角梯形AOCD的边OC在x轴上,O为坐标原点,CD垂直于x轴,D(5,4),AD=2.若动点E、F同时从点O出发,E点沿折线OA→AD→DC运动,到达C点时停止;F点沿OC运动,到达C点是停止,它们运动的速度都是每秒1个单位长度.设E运动秒x时,△EOF的面积为y(平方单位),则y关于x的函数图象大致为【 】

A.B.C.D.

5.(2012四川内江3分)如图,正△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发,以每秒1cm的速度,沿

2,y?PC,则y关于x的函数的图像A?B?C的方向运动,到达点C时停止,设运动时间为x(秒)

大致为【 】

A.

B.

C. D.

19

6.(2012江苏无锡10分)如图,菱形ABCD的边长为2cm,∠DAB=60°.点P从A点出发,以cm/s的速度,沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从A点出发,以1cm/s的速度,沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时,P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts.

(1)当P异于A.C时,请说明PQ∥BC;

(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点?

7. (2012广东河源9分)如图,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,2、D(0,3,射线l过点D且与 x轴平行,点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点,满足∠PQO=60o.

(1)点B的坐标是,∠CAO=,当点Q与点A重合时,点P的坐标

为 ;

(2)设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S,试求S与x的函数关系式和相应 的自变量x的取值范围.

8. (2012福建南平14分)如图,在△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,连接AD、DE,且∠1=∠B=∠C.

(1)由题设条件,请写出三个正确结论:(要求不再添加其他字母和辅助线,找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中,不必证明)

答:结论一: ;结论二: ;结论三: .

(2)若∠B=45°,BC=2,当点D在BC上运动时(点D不与B、C重合),

①求CE的最大值;

②若△ADE是等腰三角形,求此时BD的长.

20

(注意:在第(2)的求解过程中,若有运用(1)中得出的结论,须加以证明)

9. (2012福建漳州14分)如图,在?OABC中,点A在x轴上,∠AOC=60o,OC=4cm.OA=8cm.动 点P从点O出发,以1cm/s的速度沿线段OA→AB运动;动点Q同时..从点O出发,以 acm/s的速度沿线段OC→CB运动,其中一点先到达终点B时,另一点也随之停止运动. 设运动时间为t秒.

(1)填空:点C的坐标是(______,______),对角线OB的长度是_______cm;

(2)当a=1时,设△OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式,并直接写出当t为何值时,S的值最大?

(3)当点P在OA边上,点Q在CB边上时,线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似,求a与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围.

10. (2012福建福州13分)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90o,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t≥0).

(1) 直接用含t的代数式分别表示:QB=______,PD=______.

(2) 是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.并探究如 何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度;

(3) 如图②,在整个运动过程中,求出线段PQ中点M所经过的路径长.

21

11.(2011湖北黄石3分)初三年级某班有54名学生,所在教室有6行9列座位,用(m,n)表示第m行第n列的座位,新学期准备调整座位,设某个学生原来的座位为(m,n),如果调整后的座位为(i,j),则称该生作了平移[a,b]???m?i,n?j?,并称a?b为该生的位置数。若某生的位置数为10,则当m?n取最小值时,m?n的最大值为 ▲ .

三、直线(线段)的平移:

典型例题:例1. (2012湖南娄底3分)对于一次函数y=﹣2x+4,下列结论错误的是【 】

A. 函数值随自变量的增大而减小

B. 函数的图象不经过第三象限

C. 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象

D. 函数的图象与x轴的交点坐标是(0,4)

例2.(2012福建南平3分)将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是 ▲

22

【答案】y=2x+1。

【考点】一次函数图象与平移变换,待定系数法,直线上点的坐标理性认识各式的关系。

【分析】直线y=2x经过点(0,0),向上平移1个单位后对应点的坐标为(0,1),

∵平移前后直线解析式的k值不变,∴设平移后的直线为y=2x+b。

则2×0+b=1,解得b=1。∴所得到的直线是y=2x+1。

例3. (2012湖南娄底4分)如图,A.B的坐标分别为(1,0)、(0,2),若将线段AB平移到至A1B1,A1、B1的坐标分别为(2,a)、(b,3),则a+b= ▲ .

【答案】2。

【考点】坐标与图形平移变化。

【分析】∵A(1,0)转化为A1(2,a)横坐标增加了1,B(0,2)转化为B1(b,3)纵坐标增加了1,

∴a=0+1=1,b=0+1=1。∴a+b=1+1=2。

例4.(2012江西南昌3分)如图,有a、b、c三户家用电路接入电表,相邻电路的电线等距排列,则三户所用电线【 】

A. a户最长

C. c户最长

【答案】D。

【考点】生活中的平移现象,平移的性质。

【分析】根据平移的性质,对于电线中横的和竖的线段分别采用割补法将线段向右进行

平移,便可直观观察到都是相等的。因此a b c三线长度相等。故选D。

例5.(2012广西河池12分)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在

B. b户最长 D. 三户一样长 23

的直线建立平面直角坐标系,抛物线y=-

(1)写出点A、点B的坐标; 127x+x+4经过A、B两点. 22

(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移,分别交线段OA、CA和抛物 线于点E、M和点P,连结PA、PB.设直线l移动的时间为t(0<t<4)秒,求四边形PBCA的面积S(面积单位)与t(秒)的函数关系式,并求出四边形PBCA的最大面积;

(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使得△PAM是直角三角形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由

.

【答案】解:(1)A(8,0),B(0,4)。

(2)∵AB=AC,∴OB=OC。∴C(0,-4)。

设直线AC:y=kx+b,由A(8,0),C(0,-4)得

?1?8k+b=01?k= ?,解得?2。∴直线AC:y=x?4。 2?b=?4??b=?4

∵ 直线l移动的速度为2,时间为t,∴OE=2t。

?2t2?7t?4, 设P2t,??

1 在y=x?4中,令x=2t,得y=t?4,∴M(2t,t?4)。 2

∵BC=8,PM=?2t2?7t?4??t?4?=?2t2?6t?8,OE=2t,EA=4?2t,

∴S?S梯形BCMP?S?PMA?

=?4t2?20t?16。

∴四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为S=?4t2?20t?16(0<t<4)。 11??2t2?6t?8?8?2t???4?2t???2t2?6t?8 22????

24

?5? ∵S=?4t?20t?16=?4?t???41, ?2?22

∴四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。

(3)存在。∵由(2),在0<t<4,即0<t<8时,∠AMP和∠APM不可能为直角。

若∠PAM为直角,则PA⊥CA,∴△AOC∽△PEA。∴

设P? -?p,

∴OCOA。 ?EAEP骣?桫127p+p+22127,则OC=4,OA=8,EA=8-p,EP=4÷-p+p+4, ÷÷22482,整理得p-11p+24=0,解得p1=3,p2=8(舍去)。 ?178?p?p2?p?422

当p=3时,-1271p+p+4=-?32

2227。 ?34=10。∴P(3,10)2

∴当P(3,10)时,△PAM是直角三角形。

【考点】二次函数综合题,动直线问题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数最值,相似三角形的判定和性质,直角三角形的判定。

【分析】(1)在y=-127x+x+4中,令x=0,得y=4;令y=0,得x=-1或x=8。 22

∴A(8,0),B(0,4)。

(2)由AB=AC,根据等腰三角形三线合一的性质可得点C的坐标,从而用待定系数法求出直线AC的解析式,得到点M关于t的表达式,根据S?S梯形BCMP?S?PMA求出四边形PBCA的面积S与t的函数关系式,应用二次函数最值的求法求出四边形PBCA的最大面积。

(3)存在。易知,∠AMP和∠APM不可能为直角。当∠PAM为直角时,△AOC∽△PEA,根据比例关系列出方程求解即可。

33例6.(2012广东广州14分)如图,抛物线y=?x2?x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),84

与y轴交于点C.

(1)求点A、B的坐标;

(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;

(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.

25

3333【答案】解:(1)在y=?x2?x+3中,令y=0,即?x2?x+3=0,解得x1=﹣4,x2=2。 8484

∵点A在点B的左侧,∴A、B点的坐标为A(﹣4,0)、B(2,0)。

33(2)由y=?x2?x+3得,对称轴为x=﹣1。 84

33 在y=?x2?x+3中,令x=0,得y=3。 84

11 ∴OC=3,AB=6,S?ACB?AB?OC??6?3?9。 22

在Rt△AOC

中,?5。

设△ACD中AC边上的高为h,则有

解得h=1AC?h=9, 218。 5

如图1,在坐标平面内作直线平行于AC,且到AC的距离=h=18,这样的直线有2条,分别是L1和L2,则直线与对称轴x=﹣1的两个5

18, 5交点即为所求的点D。 设L1交y轴于E,过C作CF⊥L1于F,则CF=h=

18

CFCF9????。 ∴CE?sin?CEFsin?OCA2

5

设直线AC的解析式为y=kx+b,

将A(﹣4,0),B(0,3)坐标代入,得

?3??4k+b=0?k=,解得?4。 ??b=3??b=3

∴直线AC解析式为y?3x?3。4

直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位(

26 9个长度单位)而形成的,

2

3933x?3??x?。 4242

9339则D1的纵坐标为???1????。∴D1(﹣4,?)。 4424

927同理,直线AC向上平移个长度单位得到L2,可求得D2(﹣1,)。 24

927综上所述,D点坐标为:D1(﹣4,?),D2(﹣1,)。 44∴直线L1的解析式为y?

(3)如图2,以AB为直径作⊙F,圆心为F.过E点作⊙F的切线,这样的切线有2条.

连接FM,过M作MN⊥x轴于点N。

∵A(﹣4,0),B(2,0),∴F(﹣1,0),⊙F半径FM=FB=3。

又FE=5,则在Rt△MEF中,-

43,cos∠MFE=。 55

412在Rt△FMN中,MN=MN?sin∠MFE=3×?, 55

39FN=MN?cos∠MFE=3×?。 55

4412则ON=。∴M点坐标为(,)。 555

412直线l过M(,),E(4,0), 55?4,sin∠MFE=

123?4??k+b=?k=?设直线l的解析式为y=k1x+b1,则有?55,解得?4。

???b=3?4k+b=0

3∴直线l的解析式为y=?x+3。 4

3同理,可以求得另一条切线的解析式为y=?x﹣3。 4

33综上所述,直线l的解析式为y=?x+3或y=?x﹣3。 44

【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,勾股定理,直线平行和平移的性质,直线与圆的位置关系,直线与圆相切的性质,圆周角定理,锐角三角函数定义。

【分析】(1)A、B点为抛物线与x轴交点,令y=0,解一元二次方程即可求解。

(2)根据题意求出△ACD中AC边上的高,设为h.在坐标平面内,作AC的平行线,平行线之间的距离等于h.根据等底等高面积相等的原理,则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点.从一次函数的观点来看,这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成.因此先求出直线AC的解析式,再求出平移距离,即可求得所作平行线的解析式,从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。

27

(3)本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义.因为过A、B点作x轴的垂线,其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形,这样已经有符合题意的两个直角三角形;第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑,以AB为直径作圆,当直线与圆相切时,根据圆周角定理,切点与A、B点构成直角三角形.从而问题得解。这样的切线有两条。

例7.(2012广东深圳9分)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x+b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化.

(1)已知⊙M的圆心坐标为(4,2),半径为2.

当b=时,直线l:y=-2x+b (b≥0)经过圆心M:

当b=时,直线l:y=-2x+b(b≥0)与OM相切:

(2)若把⊙M换成矩形ABCD,其三个顶点坐标分别为:A(2,0)、B(6,0)、C(6,2).

设直线l扫过矩形ABCD的面积为S,当b由小到大变化时,请求出S与b的函数关系式,

【答案】解:(1)10

;10?

(2)由A(2,0)、B(6,0)、C(6,2),根据矩形的性质,得D(2,2)。

如图,当直线l经过A(2,0)时,b=4;当直线l经过D(2,2)时,b=6;当直线l经过B

(6,0)时,b=12;当直线l经过C(6,2)时,b=14。

28

当0≤b≤4时,直线l扫过矩形ABCD的面积S为0。

当4<b≤6时,直线l扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积(如图1), 在 y=-2x+b中,令x=2,得y=-4+b,则E(2,-4+b),

11令y=0,即-2x+b=0,解得x=b,则F(b,0)。 22

1∴AF=b?2,AE=-4+b。 2

11?11?∴S=?AF?AE???b?2???-4+b??b2-2b+4。 22?24?

当6<b≤12时,直线l扫过矩形ABCD的面积S为直角梯

形DHGA的面积(如图2),

11在 y=-2x+b中,令y=0,得x=b,则G(b,0), 22

11令y=2,即-2x+b=2,解得x=b?1,则H(b?1,2)。 22

11∴DH=b?3,AG=b?2。AD=2 22

11∴S=??DH+AG??AD???b?5??2?b?5。 22

当12<b≤14时,直线l扫过矩形ABCD的面积S为五边形

DMNBA的面积=矩形ABCD的面积-△CMN的面积(如图3)

1在 y=-2x+b中,令y=2,即-2x+b=2,解得x=b?1,2

1则M(b?1,0), 2

令x=6,得y=-12+b,,则N(6,-12+b)。

1∴MC=7?b,NC=14-b。 2

∴S=4?2?11?1?1?MC?NC?8???7?b???14-b???b2+7b?41。 22?2?4

当b>14时,直线l扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积,面积为民8。 综上所述。S与b的函数关系式为:

29

?0?0?b?4???1b2-2b+4?4<b?6??4?S??b?5?6<b?1?。

?1??b2+7b?41?12<b?14??4?8?b>14??

【考点】直线平移的性质,相似三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,直线与圆相切的性质,勾股定理,解一元二次方程,矩形的性质。

【分析】(1)①∵直线y=-2x+b (b≥0)经过圆心M(4,

2),

∴2=-2×4+b,解得b=10。

②如图,作点M垂直于直线y=-2x+b于点P,过点

P作PH∥x轴,过点M作MH⊥PH,二者交于点H。设直线y=-2x+b与x,y轴分别交于点A,B。

MHAO1??。 PHOB2

1 ∴可设直线MP的解析式为y?x+b1。 2

11 由M(4,2),得2??4+b1,解得b1?0。∴直线MP的解析式为y?x。 22

121 联立y=-2x+b和y?x,解得x=b, y?b。 255

21 ∴P(b, b)。 55 则由△OAB∽△HMP,得

?2??1? 由PM=2,勾股定理得,?b-4?+ ?b-2??4,化简得4b2-20b+80=0。 ?5??5?

解得b=10?

(2)求出直线l经过点A、B、C、D四点时b的值,从而分0≤b≤4,4<b≤6,6<b≤12,12<b≤14, 30 22

b>14五种情况分别讨论即可。

例8.(2012广东珠海9分)如图,在等腰梯形ABCD中,ABDC,

,高

,对角线AC、BD交于H,平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移,分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q,分别交对角线AC于F、G;当直线RQ到达点C时,两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2,若直线MN平移的速度为1单位/秒,直线RQ平移的速度为2单位/秒,设两直线移动的时间为x秒.

(1)填空:∠AHB= ;AC= ;

(2)若S2=3S1,求x;

(3)设S2=mS1,求m的变化范围.

【答案】解:(1)90°;4。

(2)直线移动有两种情况:0<x<

①当0<x<33及≤x≤2。 223时,∵MN∥BD,∴△AMN∽△ARQ。 2

∵直线MN平移的速度为1单位/秒,直线RQ平移的速度为2单位/秒,

∴△AMN和△ARQ的相似比为1:2。 S?2?∴2????4。∴S2=4S1,与题设S2=3S1矛盾。 S1?1?

∴当0<x<

②当23时,不存在x使S2=3S1。 23≤x≤2时, 2

∵AB∥CD,∴△ABH∽△CDH。

∴CH:AH=CD:AB=DH:BH=1:3。

31

1AC=1,AH═BH=4﹣1=3。 4

1∵CG=4﹣2x,AC⊥BD,∴S△BCD=×4×1=2 2∴CH=DH=

∵RQ∥BD,∴△CRQ∽△CDB。 ∴S?CRQ2?4?2x??2???=8?2?x?。

?1?2

又S梯形ABCD?AB?CD)?CE???8,S?ABD?AB?CE??6, ∵MN∥BD,∴△AMN∽△ADB。∴12121212S1

S?ABDx2?AF???, ??AH9??2

222x,S2=8﹣8(2﹣x)。 3

22622∵S2=3S1,∴8﹣8(2﹣x)x,解得:x1=<(舍去),x2=2。 353∴S1=

∴x的值为2。

(3)由(2)得:当0<x<

当3时,m=4, 23≤x≤2时,∵S2=mS1, 2

22S28?8?2?x?3648?12??=?2+?12=?36???+4。 ∴m=2S1xx?x3?x2

3

131121的二次函数,当≤x≤2时,即当??时,m随的增大而增大, 2x2x3x

3∴当x=时,m最大,最大值为4;当x=2时,m最小,最小值为3。 2∴m是

∴m的变化范围为:3≤m≤4。

【考点】相似三角形的判定和性质,平移的性质,二次函数的最值,等腰梯形的性质。

【分析】(1)过点C作CK∥BD交AB的延长线于K,

∵CD∥AB,∴四边形DBKC是平行四边形。

,CK=BD。

AK=AB+BK=

∵四边形ABCD是等腰梯形,∴BD=AC。

∴AC=CK。∴AE=EK=1=CE。

2

32

∵CE是高,∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°。

∴∠ACK=90°。∴∠AHB=∠ACK=90°

?4。 33(2)直线移动有两种情况:0<x<及≤x≤2;然后分别从这两种情况分析求解:当 22

330<x<时,易得S2=4S1≠3S1;当 ≤x≤2时,根据相似三角形的性质与直角三角形的面积的求解方法,22∴

AC=AK?cos45°=可求得△BCD与△CRQ的面积,继而可求得S2与S1的值,由S2=3S1,即可求得x的值;

8?8?2?x?S33(3)由(2)可得当0<x< 时,m=4;当≤x≤2时,可得m=2?,化为关于S122x2

32

1?12?的二次函数m=?36???+4,利用二次函数的性质求得m的变化范围。 x?x3?

例9.(2012福建福州14分)如图①,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D 的坐标;

(3) 如图②,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应).

2

【答案】解:(1) ∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3,0)、B(4,4).

?9a+3b=0?a=1∴?,解得:?。 ?16a+4b=4?b=-3

∴抛物线的解析式是y=x2-3x。

(2) 设直线OB的解析式为y=k1x,由点B(4,4),

33

得:4=4k1,解得k1=1。

∴直线OB的解析式为y=x。

∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x-m。

∵点D在抛物线y=x2-3x上,∴可设D(x,x2-3x)。

又点D在直线y=x-m上,∴ x2-3x =x-m,即x2-4x+m=0。

∵抛物线与直线只有一个公共点, △=16-4m=0,解得:m=4。

此时x1=x2=2,y=x2-3x=-2。∴ D点坐标为(2,-2)。

(3) ∵直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),

∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0,3)。

设直线A'B的解析式为y=k2x+3,过点B(4,4),

1∴4k2+3=4,解得:k2=。 4

1∴直线A'B的解析式是y=x+3。 4

∵∠NBO=∠ABO,∴点N在直线A'B上。

1∴设点N(n,+3),又点N在抛物线y=x2-3x上, 4

13∴ +3=n2-3n,解得:n1=-,n2=4(不合题意,会去)。 44

345∴ 点N的坐标为(-)。 416

如图,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,

345则N1(-,-,B1(4,-4)。 416

∴O、D、B1都在直线y=-x上。

∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N1OB1。

∴ OPOD1345。∴点P1的坐标为(-,-。 ON1OB12832

453将△OP1D沿直线y=-x翻折,可得另一个满足条件的点P2(,)。 328

345453综上所述,点P的坐标是(-或(。 832328

【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,一元二次方程根的判别式,翻折对称的性质,旋转的性质,相似三角形的判定和性质。

【分析】(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可。

(2) 根据已知可求出OB的解析式为y=x,则向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x-m。

34

由于抛物线与直线只有一个公共点,意味着联立解析式后得到的一元二次方程,其根的判别式等于0,由此可求出m的值和D点坐标。

(3) 综合利用几何变换和相似关系求解:翻折变换,将△NOB沿x轴翻折。(或用旋转)求出P点坐标之后,该点关于直线y=-x的对称点也满足题意,即满足题意的P点有两个。

练习题:

1. (2012山东枣庄3分)将直线y?2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为【 】

A.y?2x?1 B.y?2x?2 C.y?2x?1 D.y?2x?2

2.(2012天津市3分)将正比例函数y=-6x的图象向上平移,则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 ▲ (写出一个即可).

3. (2011湖北随州4分)如图:矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为

【 】

A、14 B、16 C、20 D、28

4. (2011云南昭通10分)如图(1)所示,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF和⊙O相争于点C,AD⊥EF,垂足为D。

(1)求证:∠DAC=∠BAC;

(2)若把直线EF向上平行移动,如图(2)所示,EF交⊙O于G、C两点,若题中的其它条件不变,这时与∠DAC相等的角是哪一个?为什么?

5. (2011四川广安12分)如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A(?1 ,,B 0)(?1 ,,D(3,0).连接DM,并把线段DM沿DA方向平移到ON.若抛物线y?ax?bx?c经过 2)2

35

点D、M、N.

(1)求抛物线的解析式.

(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大?并求出最大值.

m6. (2011辽宁盘锦14分) 如图,直线y=x+m(m≠0)交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B且AB3

=5,过点A作直线AC⊥AB交y轴于点C.点E从坐标原点O出发,以0.8个单位/秒的速度沿y轴向上运动;与此同时直线l从与直线AC重合的位置出发,以1个单位/秒的速度沿射线AB方向平行移动. 直线l在平移过程中交射线AB于点F、交y轴于点G.设点E离开坐标原点O的时间为t(t≥0)s.

(1)求直线AC的解析式;

(2)直线l在平移过程中,请直接写出△BOF为等腰三角形时点F的坐标;

(3)直线l在平移过程中,设点E到直线l的距离为d,求d与t的函数关系.

备用图

四、曲线的平移:

典型例题:例1. (2012上海市4分)将抛物线y=x+x向下平移2个单位,所得抛物线的表达式是

【答案】y=x+x﹣2。

【考点】二次函数图象与平移变换。

【分析】根据平移变化的规律,左右平移只改变点的横坐标,左减右加。上下平移只改变点的纵坐标,下减上加。因此,将抛物线y=x+x向下平移2个单位,所得抛物线的表达式是y=x+x﹣2。

例2. (2012广东广州3分)将二次函数y=x的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为【 】

A.y=x﹣1 B.y=x+1 C.y=(x﹣1) D.y=(x+1) 222222222

36

【答案】A。

【考点】二次函数图象与平移变换。

【分析】根据平移变化的规律,左右平移只改变横坐标,左减右加。上下平移只改变纵坐标,下减上加。因此,将二次函数y=x的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为:y=x﹣1。故选A。 例3.(2012陕西省3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y?x2?x?6向上(下)或向左(右)平移了m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则m的最小值为【 】

A.1

【答案】B。

【考点】二次函数图象与平移变换

【分析】计算出函数与x轴、y轴的交点,将图象适当运动,即可判断出抛物线移

动的距离及方向:

当x=0时,y=-6,故函数与y轴交于C(0,-6),

当y=0时,x2-x-6=0, 解得x=-2或x=3,即A(-2,0),B(3,0)。

由图可知,函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点,故|m|的最小值为2。故选B。

B.2 C.3 D.6 22

例5.(2012甘肃兰州4分)抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移过程正确的是【 】

37

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位

D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

【答案】B。

【考点】二次函数图象与平移变换。

【分析】根据“左加右减,上加下减”的原则进行解答即可:

∵y=x2????????y=(x?2)2????????y=(x?2)2?3y=x2,

∴平移过程为:先向左平移2个单位,再向下平移3个单位。故选B。 向左平移2个单位向下平移3个单位

12x平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(﹣6,0)和2

12原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x交于点Q,则图中阴影部分的面积为 2例6.(2012四川广安3分)如图,把抛物线y=

▲ .

【答案】27。 2

【考点】二次函数图象与平移变换,平移的性质,二次函数的性质。

【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴,然后求出点

P的坐标,过点P作PM⊥y轴于点M,根据抛物线的对称性可知阴影部分的

面积等于四边形NPMO的面积,然后求解即可:

过点P作PM⊥y轴于点M,设PQ交x轴于点N,

∵抛物线平移后经过原点O和点A(﹣6,0),∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3。

∴平移后的二次函数解析式为:y=

将(﹣6,0)代入得出:0=12(x+3)+h, 21992(﹣6+3)+h,解得:h=﹣。∴点P的坐标是(3,﹣)。 222

根据抛物线的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积,

38

∴S=3??927。 =22

例7.(2012广西桂林3分)如图,把抛物线y=x2沿直线y=x

个单位后,其顶点在直线上的A 处,则平移后的抛物线解析式是【 】

A.y=(x+1)2-1 B.y=(x+1)2+1 C.y=(x-1)2+1 D.y=(x-1)2-1

【答案】C。

【考点】二次函数图象与平移变换,二次函数的性质,勾股定理。

【分析】首先根据A点所在位置设出A点坐标为(m,m)再根据

,利用勾股定理求出m的值, 然后根据抛物线平移的性质:左加右减,上加下减可得解析式:

∵A在直线y=x上,∴设A(m,m),

OA= m2+m2=

)2,解得:m=±1(m=-1舍去)。∴A(1,1)。

∴抛物线解析式为:y=(x-1)2+1。故选C。

1 例8.(2012江苏南通14分)如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=2+bx+c与x轴相交于点B(-0,2

0)和C,O为坐标原点.

(1)求抛物线的解析式;

1 7 (2)将抛物线y=2+bx+c向上平移个单位长度、再向左平移m(m>0)个单位长度,得到新抛物 22

线.若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围;

(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长.

39

1 【答案】解:(1)将A(0,-4)、B(-2,0)代入抛物线y=x2+bx+c中,得: 2

?0?c??4 ?b??1 ?,解得,?。 c??42?2b?c?0??

1 ∴抛物线的解析式:y=x2-x-4。 2

(2)由题意,新抛物线的解析式可表示为:y=17?x+m?2??x+m??4+, 22

111即:y=x2+?m?1?x+m2?m?。它的顶点坐标P(1-m,-1)。 222

由(1)的抛物线解析式可得:C(4,0)。

∴直线AB:y=-2x-4;直线AC:y=x-4。

当点P在直线AB上时,-2(1-m)-4=-1,解得:m=5; 2

当点P在直线AC上时,(1-m)+4=-1,解得:m=-2;

又∵m>0,

∴当点P在△ABC内时,0<m<5 。 2

(3)由A(0,-4)、B(4,0)得:OA=OC=4,且△OAC是等腰直角三角形。

如图,在OA上取ON=OB=2,则∠ONB=∠ACB=45°。

∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB,

即∠ONB=∠OMB。

如图,在△ABN、△AM1B中,

∠BAN=∠M1AB,∠ABN=∠AM1B,

∴△ABN∽△AM1B,得:AB2=AN?AM1;

由勾股定理,得AB2=(-2)2+42=20,

又AN=OA-ON=4-2=2,

40

∴AM1=20÷2=10,OM1=AM1-OA=10-4=6。

而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN,∴OM1=OM2=6,AM2=OM2-OA=6-4=2。

综上,AM的长为6或2。

【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,二次函数的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理。

【分析】(1)该抛物线的解析式中只有两个待定系数,只需将A、B两点坐标代入即可得解。

(2)首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式,从而用m表示出该函数的顶点坐标,将其 代入直线AB、AC的解析式中,即可确定P在△ABC内时m的取值范围。

(3)先在OA上取点N,使得∠ONB=∠ACB,那么只需令∠NBA=∠OMB即可,显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点;以y轴正半轴上的点M为例,先证△ABN、△AMB相似,然后通过相关比例线段求出AM的长。

例9.(2012北京市7分)已知二次函数y?(t?1)x2?2(t?2)x?

(1) 求二次函数的解析式;

(2) 若一次函数y?kx?6的图象与二次函数的图象都经过点A(?3,m),求m和k的值;

(3) 设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点B在点C的左侧),将二次函数的图象在点B,C间 的部分(含点B和点C)向左平移n(n?0)个单位后得到的图象记为C,同时将(2)中得到的直线y?kx?6向上平移n个单位。请结合图象回答:当平移后的直线与图象G有公共点时,n的取值范围。

3在x?0和x?2时的函数值相等。 2

【答案】解:(1)∵二次函数在x?0和x?2时的函数值相等,∴二次函数图象的对称轴为x?1。

∴?2?t?2?3?1,解得t??。 2t?12

13∴二次函数解析式为y??x2?x?。 22

(2)∵二次函数图象经过A(?3,m)点,

41

132∴m??×??3????3????6,A(-3,-6)。 22

又∵一次函数y?kx?6的图象经过A点,

∴?3k?6??6,解得k?4。

(3)由题意可知,二次函数在点B,C间的部分图象的解析式为

y??1?x?3??x?1?,?1≤x≤3, 2

则向左平移后得到的图象C的解析式为y??1?x?3?n??x?1?n?,?n?1≤x≤3?n。 2

此时一次函数y?4x?6的图象平移后的解析式为y?4x?6?n。

0?与?3?n,0?。 ∵平移后的直线与图象C有公共点,∴两个临界的交点为??n?1,

∴当x=?n?1时,0?4??n?1??6?n,即n?

当x=3?n时,0?4?3?n??6?n,即n?6。 2∴≤n≤

6 32; 3

【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质。

【分析】(1)由二次函数在x?0和x?2时的函数值相等,可知二次函数图象的对称轴为x?而由对称轴公式x??3b=1可求得t??,从而求得二次函数的解析式。 22a0+2=1,从2

13 (2)由二次函数图象经过A(?3,m)点代入y??x2?x?可求得m??6,从而由一次函数22

y?kx?6的图象经过A点,代入可求得k?4。

(3)根据平移的性质,求得平移后的二次函数和一次函数表达式,根据平移后的直线与图象C有公共点,求得公共点的坐标即可。

42

例10.(2012广西柳州12分)如图,在△ABC中,AB=2,

(1)以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系如图,请你分别写出A、B、C 三点的坐标;

(2)求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式;

(3)若D为抛物线上的一动点,当D点坐标为何值时,S△ABD=1S△ABC; 2

(4)如果将(2)中的抛物线向右平移,且与x轴交于点A′B′,与y轴交于点C′,当平移多少个单位时, 点C′同时在以A′B′为直径的圆上(解答过程如果有需要时,请参看阅读材料).

附:阅读材料

一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法,对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元 二次方程求解.如解方程:y4-4y2+3=0.

解:令y2=x(x≥0),则原方程变为x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3.

当x1=1时,即y2=1,∴y1=1,y2=-1.

当x2=3,即y2=3,∴y3= 3 ,y4=- 3 .

所以,原方程的解是y1=1,y2=-1,y3= 3 ,y4=- 3 .

再如x?2?2

,可设y? ,用同样的方法也可求解.

【答案】解:(1)∵AB的垂直平分线为y轴,∴OA=OB=11AB=×2=1。 22

∴A的坐标是(-1,0),B的坐标是(1,0)。

在Rt△OBC

中,

OC??

(2)设抛物线的解析式是:y=ax2+b,

根据题意得:?。 2,∴C的坐标为(0,2)?a?b?0?a??2 ,解得:? 。 ?b?2?b?2

43

∴抛物线的解析式是:y??2x?2。

(3)∵S△ABC=21111AB?OC=×2×2=2,S△ABD=S△ABC,∴S△ABD=S△ABC=1。 2222

1设D的纵坐标是m,则AB?|m|=1,∴m=±1。 2

当m=1时,-2x2+2=1,解得:

。 2

当m=-1时,-2x2+2=-1,解得:

∴D的坐标是:

,1

,1

)或(,-1)

,或(-,-1)。 22(4)设抛物线向右平移c个单位长度,则0<c≤1,OA′=1-c,OB′=1+c。

平移以后的抛物线的解析式是:y??2?x?c??2。

令x=0,解得y=-2c2+2,即OC′= +2c2+2。

当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有:OC′2=OA′?OB′,

则(-2c2+2)2=(1-c)(1+c),即(4c2-3)(c2-1)=0。

解得:

c=2

,?(舍去),1,-1(舍去)。

22

故平移 或1个单位长度。 2

【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,线段垂直平分线的性质,勾股定理,平移的性质,相似三角形的判定和性质,解多元方程。

【分析】(1)根据y轴是AB的垂直平分线,则可以求得OA,OB的长度,在直角△OAC中,利用勾股 定理求得OC的长度,则A、B、C的坐标即可求解。

(2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。

(3)首先求得△ABC的面积,根据S△ABD=1 S△ABC,以及三角形的面积公式,即可求得D的 2

纵坐标,把D的纵坐标代入二次函数的解析式,即可求得横坐标。

(4)设抛物线向右平移c个单位长度,则0<c≤1,可以写出平移以后的函数解析式,当点C′同 时在以A′B′为直径的圆上时由相似三角形的性质有:OC′2=OA?OB,据此即可得到一个关于c的方程求得c的值。

44

练习题:

1. (2012贵州黔东南4分)抛物线y=x﹣4x+3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为【 】

A.(4,﹣1) B.(0,﹣3) C.(﹣2,﹣3) D.(﹣2,﹣1)

2.(2012江苏宿迁3分)在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2 - 4x+3先向右平移3个单位长度,再 向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【 】

A.(-2,3) B.(-1,4) C.(1,4) D.(4,3) 2

3.(2012江苏扬州3分)将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得抛物线的函数关系式是【 】

A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2-2 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2-2

4.(2012湖北鄂州3分)把抛物线y?x2?bx?4的图像向右平移3个单位,再向上平移2个单位,所得到的图象的解析式为y?x2?2x?3,则b的值为【 】

A.2 B.4 C.6 D.8

5.(2012浙江丽水、金华10分)在直角坐标系中,点A是抛物线y=x2在第二象限上的点,连接OA,过点O作OB⊥OA,交抛物线于点B,以OA、OB为边构造矩形AOBC.

(1)如图1,当点A的横坐标为时,矩形AOBC是正方形;

(2)如图2,当点A的横坐标为?

①求点B的坐标;

②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2,试判断抛物线y=-x2经过平移交换后,能否经过A,B,C三点?如果可以,说出变换的过程;如果不可以,请说明理由.

6.(2012福建三明12分)已知直线y=2x?5与x轴和y轴分别交于点A和点B,抛物线y=?x2+bx+c的顶点M在直线AB上,且抛物线与直线AB的另一个交点为N. 1时, 2

45

(1)如图①,当点M与点A重合时,求:

①抛物线的解析式;(4分)

②点N的坐标和线段MN的长;(4分)

(2)抛物线y=?x2+bx+c在直线AB上平移,是否存在点M,使得△OMN与△AOB相似?若存在, 直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(4分)

7. (2011广西崇左14分)已知抛物线y=x2+4x+m(m为常数)经过点(0,4).

(1) 求m的值;

(2) 将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线.已知平移后的抛物线满足下述两个条件:的 对称轴(设为直线l2)与平移前的抛物线的对称轴(设为直线l1)关于y轴对称;它所对应的函数的最小值为-8.

① 试求平移后的抛物线的解析式;

② 试问在平移后的抛物线上是否存在点P,使得以3为半径的圆P既与x轴相切,又与直线l2 相交?若存在,请求出点P的坐标,并求出直线l2被圆P所截得的弦AB的长度;若不存在,请说明理由.

8. (2011山东枣庄10分)如图,在平面直角坐标系xoy中,把抛物线y?x2向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线y?(x?h)2?k.所得抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,顶点为D.

(1)写出h、k的值;

(2)判断△ACD的形状,并说明理由;

(3)在线段AC上是否存在点M,使△AOM∽△ABC?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

46

9. (2011内蒙古呼和浩特12分)已知抛物线y1?x2?4x?1的图象向上平移m个单位(m?0)得到的新抛物线过点(1,8).

(1)求m的值,并将平移后的抛物线解析式写成y2?a(x?h)2?k的形式;

(2)将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻

折到x轴上方,与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y的解

3析式,并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图,同时写出该函数在?3?x≤?时对应的函数值y的取2

值范围;

(3)设一次函数y3?nx?3(n?0),问是否存在正

整数n使得(2)中函数的函数值y?y3时,对应的x的值为?1?x?0,若存在,求出n的值;若不存在,说明理由

.

10. (2011四川绵阳12分)已知抛物线y = x2-2x + m-1与x轴只有一个交点,且与y轴交于A点,如图,设它的顶点为B.

(1)求m的值;

(2)过A作x轴的平行线,交抛物线于点C,求证:△ABC是等腰直角三角形;

(3)将此抛物线向下平移4个单位后,得到抛物线C′,且与x轴的左半轴

交于E点,与y轴交于F点,如图.请在抛物线C′上求点P,使得△EFP是以

47

EF为直角边的直角三角形.

五、三角形的平移:

典型例题:例1. (2012湖北孝感3分)如图,△ABC在平面直角坐标系中的第二象限内,顶点A的坐标是(-2,3), 先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,再作△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2,则顶点 A2的坐标是【 】

A.(-3,2) B.(2,-3) C.(1,-2) D.(3,-1)

【答案】B。

【考点】坐标与图形的对称和平移变化。

【分析】∵将△ABC向右平移4个单位得△A1B1C1,∴A1的横坐标为-2+4=2;纵坐标不变为3;

∵把△A1B1C1以x轴为对称轴作轴对称图形△A2B2C2,∴A2的横坐标为2,纵坐标为-3。

∴点A2的坐标是(2,-3)。故选B。

例3.(2012江苏无锡2分) 如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,D是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1cm,得到△EFG,FG交AC于H,则GH的长等于cm.

【答案】3。

【考点】直角三角形斜边上中线的性质,平移的性质,相似三角形的判定和性质。

48

【分析】由∠ACB=90°,AB=8,D是AB的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,得AD=BD=CD=1AGGHAB=4。然后由平移的性质得GH∥CD,因此△AGH∽△ADC。 ∴。 ?2ADDC

又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1cm得到的, ∴AG=4-1=3。 3GH,解得GH=3。 ?44

例4.(2012湖北黄冈3分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(-2,3),B(-4,∴

-1),C(2,0),将△ABC平移至△A1B1C1 的位置,点A、B、C 的对应点分别是A1B1C1,若点A1 的 坐标为(3,1).则点C1 的坐标为.

【答案】(7,-2)。

【考点】坐标与图形的平移变化。

【分析】根据A点平移后的坐标变化,确定三角形的平移方法,得到C点的平移方法:

由A(-2,3)平移后点A1的坐标为(3,1),可得A点横坐标加5,纵坐标减2,

则点C的坐标变化与A点的变化相同,故C1(2+5,0-2),即(7,-2)。

例5.(2012浙江义乌3分)如图,将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF,则四边形ABFD的周长为【 】

A.6 B.8 C.10 D.12

【答案】C。

【考点】平移的性质。

【分析】根据题意,将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF,

∴AD=1,BF=BC+CF=BC+1,DF=AC。

又∵AB+BC+AC=8,

∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10。故选C。

例6(2012贵州安顺12分)在如图所示的方格图中,我们称每个小正方形的顶点为“格点”,以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”,根据图形,回答下列问题.

(1)图中格点△A′B′C′是由格点△ABC通过怎样的变换得到的?

(2)如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(﹣3,4),请写出格点△DEF各顶点的坐标,并求出△DEF的面积.

49

【答案】解:(1)图中格点△A′B′C′是由格点△ABC向右平移7个单位长度得到的;

(2)如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(﹣3,4),则格点

△DEF各顶点的坐标分别为D(0,﹣2),E(﹣4,﹣4),F(3,﹣3),

过点F作FG∥x轴,交DE于点G,

则G(-2,-3)。

11×5×1+×5×1=5。 22

【考点】作图(平移变换),网格问题,三角形的面积。 ∴S△DEF=S△DGF+S△GEF=

【分析】(1)直接根据图形平移的性质得到△A′B′C′即可。

(2)根据△DEF所在的格点位置写出其坐标,过点F作

FG∥x轴,交DE于点G,,再根据三角形的面积公式求解。

例7.(2012浙江温州8分)如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,将△ABC沿射线BC方向平移10cm,得到△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连结AD,求证:四边形ACFD是菱形。

【答案】证明:由平移变换的性质得,CF=AD=10,DF=AC。

∵∠B=90°,AB=6,BC=8,

∴AC??10。

∴AC=DF=AD=CF=10。∴四边形ACFD是菱形。

【考点】平移的性质,勾股定理,菱形的判定。

【分析】根据平移的性质可得CF=AD=10,DF=AC,再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10,就可以根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论。

50

例8.(2012湖南湘潭8分)如图,△ABC是边长为3的等边三角形,将△ABC沿直线BC向右平移,使B点与C点重合,得到△DCE,连接BD,交AC于F.

(1)猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论;

(2)求线段BD的长.

【答案】解:(1)AC⊥BD。证明如下:

∵△DCE由△ABC平移而成,∴△DCE≌△ABC。

又∵△ABC是等边三角形,∴BC=CD=CE=DE,∠E=∠ACB=60°。

∴∠DBC=∠BDC=30°。∴∠BDE=90°。∵BD⊥DE,

∵∠E=∠ACB=60°,∴AC∥DE。∴BD⊥AC。

(2)在Rt△BED中,∵BE=6,DE=3

,∴BD?

【考点】等边三角形的性质,平移的性质,三角形内角和定理,平行的判定和性质,勾股定理。

【分析】(1)由平移的性质可知△DCE≌△ABC。故可得出BD⊥DE,由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE,故可得出结论。

(2)在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长。

例9.(2012广西北海12分)如图,在平面直角坐标系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A(-2,0)、 B(0,1)、C(d,2)。

(1)求d的值;

(2)将△ABC沿x轴的正方向平移,在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图 像上。请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式;

51

(3)在(2)的条件下,直线B′C′交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P, 使得四边形PGMC′是平行四边形。如果存在,请求出点M和点P的坐标;如果不存在,请说明理由。

【答案】解:(1)作CN⊥x轴于点N。

在Rt△CNA和Rt△AOB中,

∵NC=OA=2,AC=AB

∴Rt△CNA≌Rt△AOB(HL)。

∴AN=BO=1,NO=NA+AO=3,

又∵点C在第二象限,∴d=-3。

(2)设反比例函数为y? k,点C′和B′在该比例函数图像上, x

设C′(c,2),则B′(c+3,1)。

k,得k=2 c;k=c+3。 x

6∴2 c=c+3,c=3,则k=6。∴反比例函数解析式为y?。 x把点C′和B′的坐标分别代入y?

得点C′(3,2);B′(6,1)。

1??3a?b?2?a??设直线C′B′的解析式为y=ax+b,把C′、B′两点坐标代入得?,解得? 3。6a?b?1???b?3

∴直线C′B′的解析式为y??x?3。

(3)设Q是G C′的中点,由G(0,3),C′(3,2),得点Q的横坐标为

2+133,点Q的纵坐标为 23?2535。 =。∴Q(,)2222

过点Q作直线l与x轴交于M′点,与y?6的 x

3,点P′的2图象交于P′点,若四边形P′G M′ C′是平行四边形,则有P′Q=Q M′,易知点M′的横坐标大于

52

横坐标小于3。 2

作P′H⊥x轴于点H,QK⊥y轴于点K,P′H与QK交于点E,作QF⊥x轴于点F,

则△P′EQ≌△QFM′ 。

设EQ=FM′=t,则点P′的横坐标x为36612, ?t,点P′的纵坐标y为??32x?t3?2t

2

点M′的坐标是(3。 ?t,0)2

125∴P′E=?。 3?2t2

5??12?5????t2????t2, 由P′Q=QM′,得P′E+EQ=QF+FM′,∴??3?2t2??2?222222

123。 ?5,解得t?(经检验,它是分式方程的解)3?2t10

333633391212∴?t???,??5,?t???。 221053?2t3?2?322105

10

69∴P′(,5),M′(,0),则点P′为所求的点P,点M′为所求的点M。

55整理得:

【考点】反比例函数综合题,全等三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,平行四边形的和性质,勾股定理,解分式方程和二元一次方程组。

【分析】(1)作CN⊥x轴于点N,由Rt△CNA≌Rt△AOB即可求得d的值。

(2)根据平移的性质,用待定系数法求出反比例函数和直线B′C′的解析式。

(3)根据平行四边形对角线互相平分的性质,取G C′的中点Q,过点Q作直线l与x轴交于M′点,与y?6的图象交于P′点,求出P′Q=Q M′的点M′和P′的坐标即可。 x

例10.(2012甘肃兰州12分)如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴 53

上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=

在直线x=22x+bx+c经过点B,且顶点35上. 2

(1)求抛物线对应的函数关系式;

(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;

(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;

(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】解:(1)∵抛物线y=22x+bx+c经过点B(0,4),∴c=4。 3

510b5∵顶点在直线x=上,∴?=,解得b=?。 22232?3

210∴所求函数关系式为y=x2?x+4。 33

(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4

,∴AB5。

∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5。

∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),

210当x=5时,y=?52??5+4=4; 33

210当x=2时,y=?22??2+4=0。 33

∴点C和点D都在所求抛物线上。

(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,

设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,

54

?4k=??5k+b=448?3则?,解得,?。∴直线CD对应的函数关系式为y=x?。 33?2k+b=0?b=?8

?3?

当x=5458252时,y=??=。∴P( )。 2323323

(4)∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD。 ∴tONtOMON,即?,得ON?。 ?422OBOD

11?2?555??PF?OM??OF=??+t??=t+。 22?3?246设对称轴交x于点F,则S梯形PFOM?

∵S?MON?1111?OM?ON=?t?t=t2, 2224

S?PME?11?51?215?NF?PF=???t??=?t+ , 22?22?366

S=S梯形PFOM?S?MON?S?PME

551117?15??t+?t2???t+???t2+t (0<t<4)。 464412?66?

1171?17?289117∵S=?t2+t=??t??+,?<0,0<<4, 4124?6?14446

∴当t=21728917时,S取最大值是。此时,点M的坐标为(0,)。 61446

【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,菱形的性质,相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)根据抛物线y=225x+bx+c经过点B(0,4),以及顶点在直线x=上,得出b,c即可。 32

(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出x=5或2时,y的值即可。

5时,求出y即可。 2

tOMON(4)利用MN∥BD,得出△OMN∽△OBD,进而得出,得到ON?,从而表示出△PMN?2OBOD(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式,当x=

的面积,利用二次函数最值求出即可。

练习题:

1. (2012福建莆田4分)如图,△A’B’C’是由?ABC沿射线AC方向平移2 cm得到,若AC=3cm,则

55

A’C=.

2.(2012山东聊城3分)如图,在方格纸中,△ABC经过变换得到△DEF,正确的变换是【 】

A.把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°,再向下平移2格

B.把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°,再向下平移5格

C.把△ABC向下平移4格,再绕点C逆时针方向旋转180°

D.把△ABC向下平移5格,再绕点C顺时针方向旋转180°

3.(2012宁夏区3分)如图,将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1.若BC=3,

S?PB1C?,则BB1= ▲ .

4.(2012湖北宜昌3分)如图,在10×6的网格中,每个小方格的边长都是1个单位,将△ABC平移到△DEF的位置,下面正确的平移步骤是【 】

A.先把△ABC向左平移5个单位,再向下平移2个单位

B.先把△ABC向右平移5个单位,再向下平移2个单位

C.先把△ABC向左平移5个单位,再向上平移2个单位

56

D.先把△ABC向右平移5个单位,再向上平移2个单位

5.(2012辽宁铁岭3分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC经过平移后点A的对应点为点A′,则平移 后点B的对应点B′的坐标为 ▲

.

6. (2012山东济南3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,将△ABC沿CB向右平移得到△DEF,若平移距离为2,则四边形ABED的面积等于 ▲ .

7. (2011山西省9分)如图(1),Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F

(1)求证:CE=CF.

(2)将图(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置,使点E′落在BC边上,其它条件不变,如图(2)所示.试猜想:BE′与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.

8.(2011广东珠海7分)如图,Rt△OAB中,∠OAB=90°,O为坐标

原点,边OA在x轴上,OA=AB=1个单位长度.把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B.

(1)求以A为顶点,且经过点B1的抛物线的解析式;

(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C,与 y轴交于点D,

求点D、C的坐标.

57

六、四边形的平移:

典型例题:例1. (2012山东青岛3分)如图,将四边形ABCD先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,那么点 A的对应点A1的坐标是【 】

A.(6,1) B.(0,1) C.(0,-3) D.(6,-3)

【答案】B。

【考点】坐标与图形的平移变化。

【分析】∵四边形ABCD先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,

∴点A也先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,

∴由A(3,-1)可知,A′坐标为(0,1)。故选B。

例2.(2012江西省8分)如图,等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中,已知A(-2,0)、B(6,0)、D(0,3),反比例函数的图象经过点C.

(1)求点C坐标和反比例函数的解析式;

(2)将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后,使点B恰好落在双曲线上,求m的值

58

【答案】解:(1)过点C作CE⊥AB于点E,

∵四边形ABCD是等腰梯形,

∴AD=BC,DO=CE。

∴△AOD≌△BEC(HL)。∴AO=BE=2。

∵BO=6,∴DC=OE=4,∴C(4,3)。 k(k≠0), x

k∵反比例函数的图象经过点C,∴3=,解得k=12; 4设反比例函数的解析式为y=

∴反比例函数的解析式为y=12。x

(2)将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后得到梯形A′B′C′D′,

∴点B′(6,m),

∵点B′(6,m)恰好落在双曲线y=

∴当x=6时,m=

即m=2。

【考点】反比例函数综合题,等腰梯形的性质,全等三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质。

12上, x12=2。 6

59

【分析】(1)C点的纵坐标与D的纵坐标相同,过点C作CE⊥AB于点E,则△AOD≌△BEC,即可求得BE的长度,则OE的长度即可求得,即可求得C的横坐标,然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。

(2)得出B′的坐标是(6,m),代入反比例函数的解析式,即可求出答案。

例3.(2012重庆市12分)已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E为BC边上一点,以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.

(1)当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时,求BE的长;

(2)将(1)问中的正方形BEFG沿BC向右平移,记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG,当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形B′EFG的边EF与AC交于点M,连接B′D,B′M,DM,是否存在这样的t,使△B′DM是直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;

(3)在(2)问的平移过程中,设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.

【答案】解:(1)如图①,设正方形BEFG的边长为x,

则BE=FG=BG=x。

∵AB=3,BC=6,∴AG=AB﹣BG=3﹣x。

∵GF∥BE,∴△AGF∽△ABC。 ∴AGGF3?xx,即==。 ABBC36

解得:x=2,即BE=2。

(2)存在满足条件的t,理由如下:

如图②,过点D作DH⊥BC于H,

则BH=AD=2,DH=AB=3,

由题意得:BB′=HE=t,HB′=|t﹣2|,EC=4﹣t,

∵EF∥AB,∴△MEC∽△ABC。 ∴1MEECME4?t,即。∴ME=2﹣t。

==2ABBC36

60

在Rt△B′ME中,B′M=ME+B′E=2+(2﹣

222222221212t)=t﹣2t+8。 2422在Rt△DHB′中,B′D=DH+B′H=3+(t﹣2)=t﹣4t+13。

过点M作MN⊥DH于N,则MN=HE=t,NH=ME=2﹣

∴DN=DH﹣NH=3﹣(2﹣1t, 211t)=t+1。 22

12222 252在Rt△DMN中,DM=DN+MN=(t+1)+ t=t+t+1。 24

(Ⅰ)若∠DB′M=90°,则DM=B′M+B′D, 即2225212202t+t+1=(t﹣2t+8)+(t﹣4t+13),解得:t=。 447

222(Ⅱ)若∠B′MD=90°,则B′D=B′M+DM,

即t﹣4t+13=(21252t﹣2t+8)+(t+t+1),解得:t1=﹣

t2=﹣3

。 44

∴t=﹣

(Ⅲ)若∠B′DM=90°,则B′M=B′D+DM, 222

12522t﹣2t+8=(t﹣4t+13)+(t+t+1),此方程无解。 44

20综上所述,当t=或﹣

B′DM是直角三角形; 7即

?12?4?t0?t???4?3????122?4??t?t???<t?2?3?3?8?(3)S??。

??3t2?2t?5?2<t?10????83?3????1t?5?10<t?4????2?3??2

【考点】相似三角形的判定和性质,勾股定理和逆定理,正方形的性质,直角梯形的性质,平移的性质。

【分析】(1)首先设正方形BEFG的边长为x,易得△AGF∽△ABC,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得BE的长。

(2)首先由△MEC∽△ABC与勾股定理,求得B′M,DM与B′D的平方,然后分别从若∠DB′M、 ∠DB′M和∠B′DM分别是直角,列方程求解即可。

(3)分别从0?t?441010,<t?2,2<t? 和<t?4时去分析求解即可求得答案: 3333

61

①如图③,当F在CD上时,EF:DH=CE:CH,

8即2:3=CE:4,∴CE=。 3

84∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=。 33

11∵ME=2﹣t,∴FM=t, 22

11124∴当0?t?时,S=S△FMN=×t×t=t。 2243

②如图④,当G在AC上时,t=2,

∵EK=EC?tan∠DCB= EC?DH33??4?t?=3?t, CH44

3∴FK=2﹣EK=t﹣1。 4

424∵NL=AD=,∴FL=t﹣, 333

12144∴当<t?2时,S=S△FMN﹣S△FKL=t﹣(t﹣)4233

312(t﹣1)=?t2?t?。 483

③如图⑤,当G在CD上时,B′C:CH=B′G:DH,

8即B′C:4=2:3,解得:B′C=, 3

210∴EC=4﹣t=B′C﹣2=。∴t=。 33

111∵B′N=B′C=(6﹣t)=3﹣t, 222

1∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1。 2

11114310∴当2<t?时,S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×(t﹣1+t)﹣(t﹣)(t﹣1) 2222343

35=?t2?2t?。 83

10④如图⑥,当<t?4时, 3

3333∵B′L=B′C=(6﹣t),EK=EC=(4﹣t), 4444

1111B′N=B′C=(6﹣t)EM=EC=(4﹣t), 2222

15∴S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=?t?。

22

62

?12?4?t0?t???4?3????122?4??t?t?<t?2???3?3?8?综上所述:S??。 3510??t2?2t??2<t?????83?3????1t?5?10<t?4????2?3??2

例4.(2012江苏宿迁12分)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知直线l1:y=

交于点M,直线l2与x轴相较于点N.

(1) 求M,N的坐标;

(2) 在矩形ABCD中,已知AB=1,BC=2,边AB在x轴上,矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个 单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t(从点B与点O重合时开始计时,到点A与点N重合时计时结束)。直接写出S与自变量t之间的函数关系式(不需要给出解答过程);

(3) 在(2)的条件下,当t为何值时,S的值最大?并求出最大值

. 1x与直线l2:y=-x+6相2

?1?x=4?y=x【答案】解:(1)解?2得?。∴M的坐标为(4,2)。 y?2???y??x?6

在y=-x+6中令y=0得x=6,∴N的坐标为(6,0)。

(2)S与自变量t之间的函数关系式为:

63

?12?4t?0?t?1?

??1t?1?1<t?4??24?1349?3 S=??t2+t??4<t?5? 24?4

13??t+?5<t?6??2??1t2?7t+496<t?7???22?

①当0≤t≤1时,矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积(不含t=0),三角

64

1111形的底为t,高为t,∴S=?t?t=t2。 2224

②当1<t≤4时,矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积,梯形的上底为

111?1111。 t?1+t?1=t????t?1?,下底为t,高为1。∴S=??2?222422??

③当4<t≤5时,矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为两梯形面积的和,第一个梯形的上底为1?t?1?,下底为2,高为4??t?1?=5?t;第二个梯形的上底为-t +6,下底为2,高为t?4。 2

1?1131349?∴S=??t?1?+2???5?t?+??t +6+2???t?4?=?t2+t?。 2?22424?

④当5<t≤6时,矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积,梯形的上底为

6-t ,下底为7-t,高为1。∴S=113?6?t+7?t??1=?t+。 22

⑤当6<t≤7时,矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积(不含t=7),三角

1149形的底为7-t,高为7-t,∴S=??7?t???7?t?=t2?7t+。 222

(3)分别讨论各分段函数的最大值而得所求。

例5.(2012四川达州12分)如图1,在直角坐标系中,已知点A(0,2)、点B(-2,0),过点B和线 段OA的中点C作直线BC,以线段BC为边向上作正方形BCDE.

(1)填空:点D的坐标为( ),点E的坐标为( ).

(2)若抛物线y?ax2?bx?c(a?0)经过A、D、E三点,求该抛物线的解析式.

(3)若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移,直至正方形的顶点E 落在y轴上时,正方形和抛物线均停止运动.

①在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为s,求s关于平移时间t(秒)的函数关系式, 并写出相应自变量t的取值范围.

②运动停止时,求抛物线的顶点坐标.

65

【答案】解:(1)D(-1,3),E(-3,2)。

 (2)抛物线经过(0,2)、(-1,3)、(-3,2),则

1?a???2c?2??1231???a?b?c?3,解得 ?b??。∴抛物线的解析式为y??x?x?2 322?9a?3b?c?2???c?2?? (3)①求出端点的时间:

当点D运动到y轴上时,如图1,DD1=111DC=,t=。 22

2

?1。 当点B运动到y轴上时,如图2,BB1

当点E运动到y轴上时,如图2,EE1=ED+DE1

3?t=。

2

 当0<t≤1时,如图4,正方形落在y轴右侧部分的面积为2

△CC′F的面积,设D′C′交y轴于点F。

OB=2,∠BCO=∠FCC′, OC

FC'∴tan∠FCC′=2, 即=2。 CC'∵tan∠BCO=

,∴

∴S△CC′F=

当1t×2。 2

1<t≤1时,如图5,正方形落在y轴右侧部分的面积为直2

角梯形CC′D′G的面积,设D′E′交y轴于点G,过G作GH⊥B′C′于H。  ∵

CH=

1。

2

66

CC′=,∴

∴S梯形CC?D?G?

 当1<t≤?1?5?? ??2?24????3时,如图6,正方形落在y轴右侧部分的面积为2

五边形B′C′D′MN的面积,设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N。

 ∵

CC′=,

CB′=

B′N=2CB′=

E′N=B′E′-

B′N=

11E′N=

(

。 22

1145

∴S?MNE???=5t2?15t+。

224∴E′M=?

???

∴S五边形B?C?D?MN?S正方形B?C?D?E??S?MNE?=

综上所述,S与x的函数关系式为: 245?25?。 ??5t2?15t+?=?5t2+15t?4?4?

?2?1?5t0?t????2????5?1?。 s=?5t??<t?1?4?2???225?3???5t+15t??1<t??4?2??

②当点E运动到点E′时,运动停止,如图7所示。

 ∵∠CB′E′=∠BOC=90°,∠BCO=∠B′CE′,

∴△BOC∽△E′B′C。∴OBBC。 ?B?E?E?C

?。 ∵OB=2,

∴CE′=5。 2

577。 ?。∴E′(0,)222

7 由点E(-3,2)运动到点E′(0,),可知整条抛物线向右平移了3

个单位,向上平移2∴OE′=OC+CE′=1+

67

了3个单位。 2

325131325 ∵y??x2?x?2??(x?)2?,∴原抛物线顶点坐标为(? ) 2822228

337∴运动停止时,抛物线的顶点坐标为(。

)28

例6.(2012江西南昌6分)如图,等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中,已知A(﹣2,0)、B(6,0)、D(0,3),反比例函数的图象经过点C.

(1)求点C的坐标和反比例函数的解析式;

(2)将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后,问点B是否落在双曲线上?

【答案】解:(1)过点C作CE⊥AB于点E,

68

∵四边形ABCD是等腰梯形,

∴AD=BC,DO=CE。

∴△AOD≌△BEC(HL)。∴AO=BE=2。

∵BO=6,∴DC=OE=4,∴C(4,3)。 设反比例函数的解析式为y=k(k≠0), x

∵反比例函数的图象经过点C, ∴3=k,解得k=12; 4

12。 x∴反比例函数的解析式为y=

(2)将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后得到梯形A′B′C′D′,则点B′(6,2)。

∵当x=6时,y=12?2,∴即点B′恰好落在双曲线上。 6

【考点】反比例函数综合题,等腰梯形的性质,全等三角形的判定和性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质。

【分析】(1)C点的纵坐标与D的纵坐标相同,过点C作CE⊥AB于点E,则△AOD≌△BEC,即可求得BE的长度,则OE的长度即可求得,即可求得C的横坐标,然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。

(2)将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后,点B向上平移2个单位长度得到的点的坐标即可得到,代入函数解析式判断即可。

例7.(2012江苏苏州9分)如图,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD 以1cm/s的速度沿FG方向移动,移动开始前点A与点F重合.在移动过程中,边AD始终与边FG重合, 连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm,矩形EFGH 的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x(s),线段GP的长为y(cm),其中 0≤x≤2.5.

⑴试求出y关于x的函数关系式,并求出y =3时相应x的值;

⑵记△DGP的面积为S1,△CDG的面积为S2.试说明S1-S2是常数;

⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长

.

69

【答案】解:(1)∵CG∥AP,∴∠CGD=∠PAG,则tan?CGD=tan?PAG。∴

∵GF=4,CD=DA=1,AF=x,∴GD=3-x,AG=4-x。 CDPG。 =GDAG

4?x4?x1y,即y=。∴y关于x的函数关系式为y=。 =3?x3?x3?x4?x

4?x当y =3时,3=,解得:x=2.5。 3?x∴

114?x11113 (2)∵S1=?GP?GD=???3?x???x+2,S2=?GD?CD=??3?x??1??x+,223?x22222

1??13?1∴S1?S2=???x+2????x+??为常数。

?2??22?2

(3)延长PD交AC于点Q.

∵正方形ABCD中,AC为对角线,∴∠CAD=45°。

∵PQ⊥AC,∴∠ADQ=45°。

∴∠GDP=∠ADQ=45°。

∴△DGP是等腰直角三角形,则GD=GP。 4?x,化简得:x2?5x+5=0,

解得:。 3?x

∵0≤x≤2.5

,∴ ∴3?x=

在Rt△DGP

中,PD=3?x3。

?0cos45?GD

【考点】正方形的性质,一元二次方程的应用,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。

【分析】(1)根据题意表示出AG、GD的长度,再由tan?CGD=tan?PAG可解出x的值。

(2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S2,然后作差即可。

(3)延长PD交AC于点Q,然后判断△DGP是等腰直角三角形,从而结合x的范围得出x的值,在Rt△DGP中,解直角三角形可得出PD的长度。

70

练习题:

1. (2011江苏徐州2分)

的正方形ABCD沿对角线AC平移,使点A移至线段AC的中点A′处,得新正方形A′B′C′D′,新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是【 】

11 C.1 D. 24

2.(2011辽宁葫芦岛3分)两个全等的梯形纸片如图(1)摆放,将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移 A

B.

1得到图(2).已知AD=4,BC=8,若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的,则图(2)中平移距离A′A3

= ▲ .

3.(2012辽宁本溪14分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B(-1,0)、C(3,0),交y轴于点A,将线段OB绕点O顺时针旋转90°,点B的对应点为点M,过点A的直线与x轴交于点D(4,0).直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合,∠FEH=90°,EF∥HG,EF=EH=1。直角梯形EFGH从点D开始,沿射线DA方向匀速运动,运动的速度为1个长度单位/秒,在运动过程中腰FG与直线AD始终重合,设运动时间为t秒。

(1)求此抛物线的解析式;

(2)当t为何值时,以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形;

(3)作点A关于抛物线对称轴的对称点A′,直线HG与对称轴交于点K,当t为何值时,以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形。请直接写出符合条件的t值。

71

4.(2012辽宁丹东14分)已知抛物线y?ax2?2ax?c与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,点A的坐标是(-1,0),O是坐标原点,且OC?3OA.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)直接写出直线BC的函数表达式;

(3)如图1,D为y轴的负半轴上的一点,且OD=2,以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF 以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动,在运动过程中,设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s,运动的时间为t秒(0<t≤2).

求:①s与t之间的函数关系式;

②在运动过程中,s是否存在最大值?如果存在,直接写出这个最大值;如果不存在,请 说明理由.

(4)如图2,点P(1,k)在直线BC上,点M在x轴上,点N在抛物线上,是否存在以A、M、 N、P为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由

.

5.(2012贵州安顺14分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax+bx+c经过点A、B,且18a+c=0.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.

①移动开始后第t秒时,设△PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围. ②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由. 2

72

6.(2011广东台山10分)如图,正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为22和2,对角线BD、FH都在直线L上,O1、O2分别是正方形的中心,线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距。当中心O2在直线L上平移时,正方形EFGH也随平移,在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变。

(1)计算:O1O2

(2)当中心O2在直线L上平移到两个正方

形只有一个公共点时,中心距O1O2

(3)随着中心O2在直线L上的平移,两个正方形的公共

点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取 值范围(不必写出计算过程)。

五、圆的平移:

典型例题:πr例1. (2012福建厦门4分)如图,已知∠ABC=90°,AB=πr,BC=r的⊙O从点A出发,2

沿A→B→C方向滚动到点C时停止.请你根据题意,在图上画出圆心..O运动路径的示意图;圆心O运动的路程是 ▲ .

73

【答案】2πr。

【考点】作图题,弧长的计算。

【分析】根据题意画出图形,将运动路径分为三部分:OO1,O1O2 ,O2O3,分别计算出各部分的长再相加即可:

圆心O运动路径如图:

190?r1??r;O2O3=BC=?r , 21802

11∴圆心O运动的路程是πr+?r+?r =2πr。 22∵OO1=AB=πr;O1O2 =

【注:本题实质是圆心的平移,圆是滚动】

例2.(2012黑龙江大庆8分) 已知半径为1cm的圆,在下面三个图中AC=10cm,AB=6cm,BC=8cm,在图2中∠ABC=90°.

(1)如图1,若将圆心由点A沿A?C方向运动到点C,求圆扫过的区域面积;

74

(2)如图2,若将圆心由点A沿A?B?C方向运动到点C,求圆扫过的区域面积;

(3)如图3,若将圆心由点A沿A?B?C?A方向运动回到点A.

则I)阴影部分面积为___;Ⅱ)圆扫过的区域面积为__.

【答案】解:(1)由题意得,圆扫过的面积=DE×AC+πr=(20+π)cm。

(2)圆扫过的区域面积=AB的面积+BC的面积-一个圆的面积。

结合(1)的求解方法,可得所求面积

=(2r×AB+πr)+(2r×BC+πr)﹣πr=2r(AB+BC)+πr=(28+π)cm。

(3)I)22222225526322 cm;Ⅱ)(+π)cm。

126

例3.(2011四川攀枝花12分)如图(Ⅰ),在平面直角坐标系中,⊙O′是以点O′(2,﹣2)为圆心,半径为2的圆,⊙O″是以点O″(0,4)为圆心,半径为2的圆.

75

(1)将⊙O′竖直向上平移2个单位,得到⊙O1,将⊙O″水平向左平移1个单位,得到⊙O2如图(Ⅱ),分别求出⊙O1和⊙O2的圆心坐标.

(2)两圆平移后,⊙O2与y轴交于A、B两点,过A、B两点分别作⊙O2的切线,交x轴与C、D两点,求△O2AC和△O2BD的面积.

【答案】解:(1)∵﹣2+2=0,∴点O1的坐标为:(2,0)。

∵0﹣1=﹣1,∴点O2的坐标为:(﹣1,4)。

(2)如图,连接O2A,O2B,

∵⊙O2的半径为2,圆心O2到y轴的距离是1,

∴∠O2AB=∠O2BA=30°。

∴AB=2×2cos30°

∴点A、B的坐标分别为A(0,4

),B(0,

)。

∵AC,BD都是⊙O2的切线,∴∠OAC=180°﹣90°﹣30°=60°,∠OBD=90°﹣30°=60°。∴AC=(4

)÷cos60°=8﹣

BD=(

)÷cos60°

∴S1

△O2AC=2×AC×O2A=1

2×(8﹣

)×2=8﹣

S1

2×BD×O2B=1

△O2BD=2×(

8+2)×

2=8+2

【考点】切线的性质,坐标与图形的平移变化,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。 76 。

【分析】(1)根据“左减右加,下减上加”的规律对点O′,O″的坐标进行平移即可得到点O1,O2的坐标。

(2)先求出点A、B的坐标,然后连接O2A,O2B,根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半得出∠O2AB=∠O2BA=30°,又AC与BD是圆的切线,然后求出∠OAC=∠OBD=60°,利用特殊角的三角函数与点A,B的坐标即可求出AC、BD的长,最后代入三角形的面积公式进行计算即可。

练习题:

1.(2011广西河池3分)如图,已知点A(1,0)、B(7,0),⊙A、⊙B的半径分别为1和2,将⊙A沿 x轴向右平移3个单位,则此时该圆与⊙B的位置关系是【 】

A.外切 B.相交 C.内含 D.外离

2.(2011广东省6分)如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-4,0),⊙P的半径为2,将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1.

(1)画出⊙P1,并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系;

(2)设⊙P1与x轴正半轴,y轴正半轴的交点分别为A,B,求劣弧AB与弦AB围成的图形的面积(结果保留π).

77

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