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中考二次函数考点3、4

发布时间:2014-01-09 14:52:35  

考点3:二次函数解析式求法

一、考点讲解:

二、经典考题剖析:

【考题1】如图1-2-16所示,要在底边BC=160cm,高AD=120cm的△ABC铁皮余料上,截取一个矩形EFGH,使点H在AB上,点G在AC上,点E、F在BC上,AD交HG于点M,此时

(1)设矩形EFGH的长HG=y,宽HE=x,确定y与x的函数关系式;

(2)当x为何值时,矩形EFGH的面积S最大?

(3)以面积最大的矩形EFGH为侧面,围成一个圆柱形的铁桶,怎样围时,才能使铁桶的体

积较大?请说明理由(注:围铁桶侧面时,接缝无重叠,底面另用材料配备)。

【考题2】在直角坐标系中,△AOB的顶点坐标分别为A(0,2),O(0,0),B(4,0),把△AOB绕O点按逆时针方向旋转90到△COD。

(1)求C,D两点的坐标;

(2)求经过C,D,B三点的抛物线解析式。

【考题3】如图,抛物线的对称轴是直线x=1,它与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点。点A,C的坐标分别是(-1,0),(0,0AMHG= 。 ADBC3)。 2

(1)求此抛物线对应的函数解析式;

(2)若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点,求△ABP的面积的最大值。

【考题4】目前,国内最大跨江的钢管混凝土拱桥——永和大桥,是南宁市又一标志性建筑,其拱形图形为抛物线的一部分(如图 1-2-18),在正常情况下,位于水面上的桥拱跨度为350米,拱高为8.5米。

⑴在所给的直角坐标系中(如图1-2-19),假设抛物线的表达式为y?ax2?b,请你根据上述数据求

出a、b的值,并写出抛物线的表达式(不要求写

自变量的取值范围,a、b的值保留两个有效数字)。

1

于水面上的桥拱跨度有多大?(结果保留整数)

【考题5】已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n-1 (n为常数). 2 ⑵七月份汛期将要来临,当邕江水位上涨后,位于水面上的桥拱跨度将会减小,当水位上涨4m时,位

(1)当该抛物线经过坐标原点,并且顶点在第四象限时,求出它所对应的函数关系式;

(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点,过A作x轴的平行线,交抛物线于另一点D,再作AB⊥x轴于B,DC⊥x轴于C.

三、针对性训练:

1.二次函数的图象经过点(-3,2),(2,7),(0,-1),求其解析式.

2.已知抛物线的对称轴为直线x=-2,且经过点 (-l,-1),(-4,0)两点.求抛物线的解析式.

3.已知抛物线与 x轴交于点(1,0)和(2,0)且过点 (3,4),求抛物线的解析式.

24.已知二次函数y?ax?bx?c的图象经过点A(0,1)B(2,-1)两点.(1)求b和c的值;(2)试判

断点P(-1,2)是否在此抛物线上?

5.已知一个二次函数

出这个二次函数的表达

6.已知抛物线y?ax2?bx?c的图象如图1-2-25所示,请你求式,并求出顶点坐标和对称轴方程. y?ax2?bx?c过三点(-1,-1)、(0,-2)、(1,

次函数的表达式; l). (1)求抛物线所对应的二

(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标;

(3)这个函数有最大值还是最小值? 这个值是多少?

27.当 x=4时,函数y?ax?bx?c的最小值为-8,抛物线过点(6,0).求:

(1)顶点坐标和对称轴;(2)函数的表达式;

(3)x取什么值时,y随x的增大而增大;x取什么值时,y随x增大而减小.

8.在ΔABC中,∠ABC=90 ,点C在x轴正半轴上,点A在x轴负半轴上,点B在y轴正半轴上(图1

-2-26所示),若 tan∠

9.已知:如图1-2-27所示,

y轴分别交于点B、C,抛

轴的另一个交点.

(1)求抛物线的解析式; 1BAC= ,求经过 A、B、C点的抛物线的解析式. 2直线y=-x+3与x 轴、 物线y=-x2+bx+c经过点B、C,点A是抛物线与x○

2

1(2)若点P在直线BC上,且SΔPAC= SΔPAB,求点P的坐标.

2

10 四边形DEFH为△ABC

的内接矩形(图1-2-28),AM为BC边上的高,DE长为x,矩形的面积为y,请写出y与x之间的函数关系式,并判断它是不是关于x的二次函数.

考点4:根据二次函数图象解一元二次

方程的近似解

一、考点讲解:

1.二次函数与一元二次方程的关系:

2 (1)一元二次方程ax2?bx?c?0就是二次函数y?ax?bx?c当函数y的值为0时的情况.

2 (2)二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点;

2当二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元

二次方程ax2+bx+c=0的根.

22 (3)当二次函数y?ax?bx?c的图象与 x轴有两个交点时,则一元二次方程y?ax?bx?c有两个

2不相等的实数根;当二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴有一个交点时,则一元二次方程ax2+bx+c

=0有两个相等的实数根;当二次函数y=ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时,则一元二次方程y?ax2?bx?c没有实数根.

解题小诀窍:抛物线与x轴的两个交点间的距离可以用| x1-x2|来表示。

二、经典考题剖析:

2【考题1】关于二次函数 y?ax?bx?c的图象有下列命题:①当c=0时,函数的图象经过原点;②当

c>0且函数的图象开口向下时,ax’+bx+c=0必有两个不等实根;③函数图象最高点的纵坐标是4ac?b2

;④当b=0时,函数的图象关于y轴对称.其中正确的个数是( ) 4a

A.1 B.2 C.3 D.4

【考题2】

已知二次函数y=x2-6x+8,求:

(1)抛物线与x轴y轴相交的

(2)抛物线的顶点坐标;

(3)画出此抛物线图象,利用

图象回答下列问题:

①方程x2 -6x+8=0的解是什

么?

②x取什么值时,函数值大于0?

③x取什么值时,函数值小于0?

【考题3】(2009、天津)已知抛物线y=x2-2x-8,

(1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交点;

(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B,

且它的顶点为P,求△ABP的面积.

交点坐标;

3

三、针对性训练:

1.已知函数y=kx2-7x—7的图象和x轴有交点,则k的取值范围是( ) 77 B.k??且k?0 44

77C.k?? D.k??且k?044A.k??

2.直线y=3x-3与抛物线y=x2 -x+1的交点的个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.不能确定

23.函数y?ax?bx?c的图象如图l-2-30,那么关于x的方程ax2?bx?c?0的根的情况是( )

A.有两个不等的实数根B.有两个异号实数根

C.有两个相等实数根 D.无实数根

4.二次函数y?ax2 ?bx?c的图象如图l-2-31所示,则下列结论成立的是(

A.a>0,bc>0,△<0

B.a<0,bc>0,△<0

C.a>0,bc<0,△<0

D.a<0,bc<0,△>0

5.函数y?ax2?bx?c的图象如图 l-2-32所示,则下列结论错误的是( )

A.a>0 B.b2-4ac>0

C、ax2?bx?c?0的两根之和为负

D、ax2?bx?c?0的两根之积为正

6.不论m为何实数,抛物线y=x2-mx+m-2( )

A.在x轴上方 B.与x轴只有一个交点

C.与x轴有两个交点 D.在x轴下方

7.画出函数y =x2-2x-3的图象,利用图象回答:

(1)方程x2-2x-3=0的解是什么?

(2)b取什么值时,函数值大于0?

(3)b取什么值时,函数值小于0?

8.已知二次函数y =x2-x-6·

(1)求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标;

(2)画出函数图象;

(3)观察图象,指出方程x2-x—6=0的解;

(4)求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积

4 )

考点5:用二次函数解决实际问题

一、考点讲解:

1.二次函数的应用:

(1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值;

(2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系;运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.

注意:二次函数实际问题主要分为两个方面的问题,几何图形面积问题和经济问题。解几何图形面积问题时要把面积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示出来,如三角形S=1hl,我们要用x分别把2

h,l表示出来。经济问题:总利润=总销售额-

总成本;总利润=单件利润×销售数量。解最值

问题时,一定要注意自变量的取值范围。分为

三类:①对称轴在取值范围内;②取值范围在

对称轴左边;③取值范围在对称轴右边。

2.解决实际问题时的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量;(3)用函数表达式表示出它们之间的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解;(5)检验结果的合理性,对问题加以拓展等.

二、经典考题剖析:

【考题1】(2009、贵阳,12分)某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:

若日销售量y是销售价x的一次函数;

(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;

(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元? 解:(1)设此一次函数解析式为y?kx?b.

则?15k?b?25,解得:k=?1,b=40, ??20k?b?20

即:一次函数解析式为y??x?40

(2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元,w =(x?10)(40?x)??x2?50x?400

2=?(x?25)?225。产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元

点拨:求(1)(2)中解析式时,可选取表格中的任意两组值即可.

【考题2】(2009、鹿泉)图1-2-33是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料,得到下表中的数据:

(1)请你以上表中的各对数据(x,y)作为点的坐标,尝试在图1-2-34所示的坐标系中画出y关于

5

x的函数图像;

(2)①填写下表:

②根据所填表中数据呈现的规律,猜想出用x表示y 的二次函数关系式:___________________.

(3)当水面宽度为36m时,一般吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8m的货船能否在这个河段安全通过?为什么?

解:(1)图象如图1-2-35所示;

(2)①如下表所示;②y=

(3)当水面宽度为36m时,相应的x=18,则y=12 ×18 =1.62,此时该河段的最大水深为1.62m.因2001x2; 200

为货船吃水深度为1.8米,而1.62 <1.8,所以当水面宽度为36m时,该货船不能通过这个河段.

【考题3】我区某镇地理环境偏僻,严重制约经济发展,丰富的花木产品只能在本地销售,我区政府对该

1花木产品每投资x万元,所获利润为P=-(x-30)2+10万元。为了响应我国西部大开发的宏伟决50

策,我区政府在制定经济发展的10年规划时,拟开发此花木产品,而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元。若开发该产品,在前5年中,必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路,且5年修通。公路修通后,花木产品除在本地销售外,还可运往外地销售,运往外地销售的花木产品,每投资x万元可获利润Q=-49194

(50-x)2+(50-x)+308万元。 505

⑴若不进行开发,求10年所获利润的最大值是多少?

⑵若按此规划进行开发,求10年所获利润的最大值是多少?

⑶根据⑴、⑵计算的结果,请你用一句话谈谈你的想法。

解:(1)若不修路,由P=-1(x-30)2+10知,只需从50万元专款中拿出30万元投资,每年即可50

获得最大利润10万元,则10年的最大利润M1 =10 ×10=100万元;

1 (2)若对产品开发,在前5年中,当x=25时,每年最大利润是P=-(25-30)2+10=9.5,则前550

6

年的最大利润M2 =9.5×5=47.5万元;

设5年中x万元是用于本地销售的投资P=-

地的投资Q=-1(25-30)2+10,则将余下的(50-x)万元全部用于外50491942 [50-(50-x)]+[50-(50-x)]+308,才有可能获得最大利润,则505

492194?1?2?(?x?x?308)?5??5?(x?20)2?3500.故当x=20后5年的利润是M3 =?-(x?30)?10??5505?50?

时,M3取得最大值为 3500万元.所以,10年的最大利润为M=M2 +M3 =47.5+3500=3547.5万元;

(3)因为3547.5>100,故有极大的开发价值.

【考题4】学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA.O恰好在水面中心,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.且在过OA的任意平面上的抛物线如图l-2-36所示,建立平面直角坐标系(如图l-2-37),水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y??x2?5x?3,请回答下列问题:

22

(1)花形柱子OA的高度;

(2)若不计其它因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水不至于落在池外?

⑴把x

⑵把

∴x1?0代入抛物线y??x2?2x?2,得y?3?1.5 ∴OA=1.5米 . 253y?0代入y??x2??3,x2??53x?,得?x2?5x?3?0, ∴2x22222?5x?3?0。 1 又∵x>0,∴x?3。 2

∴OB=3 , ∴半径至少是3米.

点拨:以学校要建圆形喷水池为背景材料,将学生送到了一个“设计师”的角度,运用二次函数解题时,应注意实际情况中的取值.

【考题5】(2009、青岛)某工厂现有 80台机器,每台机器平均每天生产384件产品,现准备增加一批同类机器以提高生产总量,在试生产中发现,由于其他生产条件没变,因此每增加一台机

器,每台机器平均每天将少生产4件产品.

(1)如果增加x台机器,每天的生产总量为y件,请你写出y与x之间的关系式;。

(2)增加多少台机器,可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?

解:(1)根据题意,得y=(80+x)(384-4x).

整理,得y=4x2+64x+30720;

(2)因为y=4x2+64x+30720=-4(x-8)2+30976,所以,当x =8时,y最大值=3072030976.即:增加8台机器,可以使每天的生产总量最大,最大生产总量是 30976件.

三、针对性训练:( 60分钟) (答案:270 )

1.小王家在农村,他家想利用房屋侧面的一面墙,围成一个矩形猪圈(以墙为长人现在已备足可以砌10

米长的墙的材料.他想使猪圈的面积最大,你能帮他计算一下矩形的长和宽应当分别是多少米吗?此时猪圈的面积有多大?

7

2.数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现,一种纯牛奶进价为每箱40元,厂家要求售价在40~70元之

间,若以每箱50元销售平均每天销售90箱,价格每降低1元平均每天可多销售3箱.老师要求根据以上资料,解答下列问题,你能做到吗?

⑴ 写出平均每天销售量y(箱)与每箱售价社元)之间的函数关系;

⑵ 写出平均每天销售利润W(元)与每箱售价x(元)之间的函数关系;

⑶ 求出⑵中M次函数的顶点坐标及当x=40、70时的W的值.

3.某商人开始时,将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售,每天可售出100件.他想采用提高售

价的办法来增加利润,经试验,发现这种商品每件每提价l元,每天的销售量就会减少10件. ⑴ 写出售价x(元/件)与每天所得的利润y(元)之间的函数关系式;

⑵ 每件售价定为多少元,才能使一天的利润最大?

4.图1-2-38所示是一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图,点A和A1,点B和B1分

别关于y轴对称,隧道拱部分BCB1为一段抛物线,最高点C离路面AA1的距离为8米,点B离路面AA1的距离为6米,隧道的宽AA1为16米.

⑴ 求隧道

⑵ 现有一

备的顶拱抛物线BC B1的函数解析式; 大型运货汽车,装载某大型设备后,其宽为4米,车载大型设部与路面的距离为7米,它能否安全通过这个隧道?说明理由.

5.启明公司生产某种产品,每件产品成本是8元,售价是4元,年销售量为10万件.为了获得更好的效

益,公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验,每年投人的广告费是x(万元)时,产品的年销售量将

2x是原销售量的y倍,且y=??7x?7,如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费:

101010

(1)试写出年利润S(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利润最大,最大年利润是多少万元?

(2)把(1)中的最大利润留出3万元做广告,其余的资金投资 新项目,现有6个项目可供选择,各项目每股投资金额和预计年收益如下表:

如果每个项目只能投一股,且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元,问:有几种符合要求的

投资方式?写出每种投资方式所选的项目.

6.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日生产出的产品全部售出,已知生产X

只玩具熊猫的成本为R((元),售价每只为P(元)且R,P与X的关系式为 R=500+3.5x,P=170 - 2x. ⑴ 当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元;

⑵ 当日产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少?

8

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