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15.2.3整数指数幂

发布时间:2014-01-09 15:52:09  

复习回顾
我们知道,当n是正整数时,

a ? a ? a ? ?? a
n

n个

正整数指数幂还有以下运 算性质。

( 2)?a ?
m

(1)a ? a ? a
m n
m n

m?n

( m, n是正整数 )

? a ( m , n是正整数 )
mn

( 3)?ab? ? a b ( n是正整数 )
n n n

(4)a ? a ? a
n
n n

m?n

(a ? 0, m, n是正整数 m? n) ,

a ?a? (5)? ? ? n ( n是正整数 ) b ?b? 0 (6)a ? 1(a ? 0)

1 1纳米 ? 10 米,即 纳米 ? 9 米 1 10
?9

一般地,am中指数m可以是负整 数吗?如果可以,那么负整数指数幂am 表示什么? 正整数指数幂的运算性质(4)

a ?a ? a
m n

m?n

(a ? 0, m, n是正整数, m? n)
3 3

a ?a ?? 3 5 当m<n时, a ? a ? ?
当m=n时,

a a ?a ? 3 ?1 a
3 3

3

a ?a ? a
3 3

3?3

? a ?1
0
3

a a 1 a ?a ? 5 ? 3 2 ? 2 a a ?a a
3 5

3

a ?a ? a
3 5

3? 5

?a

?2

1 所以a ? 2 a
?2

归纳
一般地,当n是正整数时,
?n

a

1 ? n (a ? 0) a

这就是说,a-n(a≠0)是an的倒数。

am (m是正整数) am = 1 (m=0) 1 -m(m是负整数) a

练习
1、填空: 1 (1)32=___, 30=__, 3-2=____; 9 9 1

1 1 (2)(-3)2=___,(-3)0=__,(-3)-2=_____; 9 9 1 2 2=___, b0=__, b-2=____(b≠0). b2 1 (3)b b

2、计算: 0

3? ?3 ? ?? 3 ? ; 0 ; (1)2 ; (2)? ? (1)2 00;; (2) ??3 ?? ; ; ; (1)2 (2) ?? 2? ? (1)2 (2) ? 2?? ?2 ? ?? 2 ? ?3 ??3 ; 3 (3)0.01 3 (3)0.01 (3)0.01 ?;;; (3)0.01 2 ?3 3 2 2) ?3 ? a ? 0 0 (4)(3 ) (4)(3aa 2 ) ?3??a ? 0 ?? a a?? (4)(3 a ) a ? 0 (4)(3

?2 ?2 ?2 ?2

?

?

解: (1)20=1
? 3? ( 2)? ? ? 2?
?2

4 ? 2? ?? ? ? 9 ? 3?
?3

2

? 1 ? ( 3)0.01 ? ? ? ? 100 ?
?3

? 100 ? 1000000
3
3

(4)( 3a )

2 ?3

1 ? 1 ? ?? 2? ? 6 27a ? 3a ?

思考

引入负整数指数和0指数后,运算 性质am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,m >n)可以扩大到m,n是全体整数。 引入负整数指数和0指数后,运 算性质am·n=am+n(m,n是正整数)能否扩 a 大到m,n是任意整数的情形?

观察
a 1 ?2 3 ? ( ?5 ) a ?a ? 5 ? 2 ? a ? a a a 3 ?5 3? ( ?5 ) 即a ? a ? a 1 1 1 ?3 ?5 ?8 ? 3 ? ( ?5 ) a ?a ? 3 ? 5 ? 8 ? a ? a a a a ?3 ?5 ?3? ( ?5 ) 即a ? a ? a 1 1 0 ?5 ?5 0 ? ( ?5 ) a ? a ? 1? 5 ? 5 ? a ? a a a 0 ?5 0? ( ?5 ) 即a ? a ? a
3 ?5 3

am· n=am+n 这条性质对于m,n是 a 任意整数的情形仍然适用.
类似于上面的观察,可以进一步用负 整数指数幂或0指数幂,对于前面提到的其他 正整数指数幂的运算性质进行试验,看这些 性质在整数指数幂范围内是否还适用。 事实上,随着指数的取值范围由正整数 推广到全体整数,前面提到的运算性质也推 广到整数指数幂。

归纳

例题
计算:

(2) a-2b2 (a2b

-2)-3 6 b -1b2)3 =a-3b6 ? 3 解: (1) (a a 8 b -2b2 (a2b-2)-3 (2) a =a-8b8 ? 8 a
● ●

(1) (a-1b2)3

下列等式是否正确?为什么?

(1)am÷an=am·-n a

?a? n ?n ( 2)? ? ? a b ?b?

n

解:两个等式都正确。 (1)∵am÷an=am-n=am+(-n)=am·-n a

∴am÷an=am·-n a

1 ?a? a n n ?n ( 2) ? ? ? ? n ? a ? n ? a b b ?b? b n 注:负指数幂的引入 ?a? n ?n ?? ? ? a b 可以使除法转化为乘 法。 ?b?
n

n

科学记数法
我们已经知道,一些较大的数适 合用科学记数法表示。例如,光速约 为3×108米/秒,太阳半径约为 6.96×105千米。

有了负整数指数幂后,小于1的 正数也可以用科学记数法表示。例如, 0.001=10-3,0.000257=2.57×10-4.

即小于1的正数可以用科学记数法 表示为a×10-n的形式,其中a是整数数 位只要一位的正数,n是正整数。 这种形式更便于比较数的大小。

例如2.57×10-5显然大于2.57×10-8,
前者是后者的103倍。

动脑

对于一个小于1的正小数,如

果小数点后至第一个非0数字前有8个0,

用科学记数法表示这个数时,10的指
数是多少?如果有m个0呢?

9

m+1

例题
纳米是非常小的长度单位,1纳米=10-9米。 把1纳米的物体放在乒乓球上就如同把乒乓球放在 地球上。1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳 米的物体?

解: 1毫米=10-3米,1纳米=10-9米
(10 ) ? (10 ) ? 10 ? 10 ? 10
?3 3 ?9 3

?9

?27

?9 ? ( ?27 )

? 10

18

1立方毫米的空间可以放1018个1立 方纳米的物体。

练习
1、用科学记数法表示下列各数: 0.000 000 001 0.001 2 0.000 000 345

1×10-9
-0.000 03

1.2×10-3 3.45×10-7
0.000 000 010 8

-3×10-5

1.08×10-8

2、计算: ?6 2 ?4 3 ?6 3 (1)( 2 ? 10 ) ? (3.2 ? 10 ) ( 2)( 2 ? 10 ) ? (10 )


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