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20.3菱形的判定课件

发布时间:2014-01-09 17:01:50  

20.3菱形的判定

复习:菱形的特殊性
? ? ?

边: 四边相等 角: 对角线平分一组对角 对角线: 对角线互相垂直平分

菱形的性质有: 1.两条对角线互相平分 2.四条边都相等 3.每条对角线平分一组对角

判定定理1:有一组邻边相等 的平行四边形是菱形 D B O ∵ ABCD AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 C 判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ ABCD AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 判定定理3:四条边都相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=CD=AD ∴四边形ABCD是菱形
判定定理4:每条对角线平分一组对角的四边形是菱形 ∵AC平分∠BAD和 ∠ BCD,BD平分∠ABC和∠ADC ∴四边形ABCD是菱形

A

问:如何证明判定定理2和判定定理3呢?

判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形 已知 ABCD中,对角线AC、BD互相 垂直, 求证:四边形ABCD是菱形.

证明:在 ABCD 中,OA=OC ( ① ). 又∵AC⊥BD, ∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线, ∴ AB=BC, ∴ 四边形ABCD是菱形 ( ② ).

例 已知:矩形ABCD的对角线AC的垂直平 分线与边AD、BC分别交于点E、F, 求证:四边形AFCE是菱形 证明 ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ AE∥FC( ① ) ∴ ∠1=∠2.( ② ) ∵ EF平分AC, ∴ AO=OC. 又∵ ∠AOE=∠COF=90°, ∴ △AOE≌△COF( ③ ), ∴ EO=FO, ∴ 四边形AFCE是平行四边形( ④ 又∵EF⊥AC, ∴ 四边形AFCE是菱形( ⑤ )



判定定理3:四条边都相等的四边形是菱形

A
B C

D

已知:AB=BC=CD=DA 求证:四边形ABCD是菱形 ∵AB=CD,BC=AD ∴四边形ABCD是平行四 边形 ∵AB=CD ∴四边形ABCD是菱形 (有一组邻边相等的平行 四边形是菱形)

拓展 由菱形的性质:“每条对角线平分一组对角”,我们 还可以得到判定菱形的方法:

每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
对此感兴趣的同学,可以试着用逻辑推理的方法进行 证明.

小结:
?

菱形的证明方法

判定定理1:有一组邻边相等的平行四边形是菱形 判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形

判定定理3:四条边都相等的四边形是菱形
判定定理4:每条对角线平分一组对角的四边形是菱形

P116练习 见前面 1. 证明: 四条边都相等的四边形是菱形. 2. 将一张矩形的纸对折再对折,然后沿着图中的虚 线剪下,打开,你发现这是一个什么样的图形呢? 说说你的理由.

解:是菱形,因 为这个四边形的 对角线相互垂直 平分行。

1、下列说法正确的是( D )
A、邻角相等的四边形是菱形 B、有一组邻边相等的四边形是菱形 C、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形

2、如图,在四边形ABCD是平行四边形,对角线 AC、BD相交于点O

,且AO=3,BO=4,AB=5。 求证:四边形ABCD是菱形。 A 证明:∵ AO=3,BO=4,AB=5 ∴AB2=AO2+BO2 ∴△OAB是直角三角形 ∴AC⊥BD 又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行 四边形是菱形) B O C D

A B D
( ( ( ( ( ) ) ) ) )

3.判断对错: C (1)对角线互相垂直的四边形是菱形。 (2)对角线垂直且平分的四边形是菱形。 (3)对角线垂直的矩形是菱形。 (4)对角线垂直且相等的四边形是菱形。 (5)有一条对角线平分一组对角的四边形 是菱形。

P116习题20.3 1. 如图,AD是△ABC的一条角平分线, DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.求证四边形 AEDF是菱形. 证明:∵ DE∥AC交AB于点E,

DF∥AB交AC于点F
∴四边形AEDF是平行四边形且 ∠EDA=∠DAF

∵ AD是△ABC的一条角平分线
∴∠EAD=∠DAF
(第 1 题)

∴∠EDA=∠EAD
∴EA=ED(等角对等边)

∴四边形AEDF是菱形.(有一组邻边 相等的平行四边形是菱形)

2. 如图,△ABC中,AB= AC,点D是BC的中点, DE⊥AC于E,DG⊥AB于 G,EK⊥AB于K, GH⊥AC于H,EK和GH相 交于点F.求证: 四边形 DEFG是菱形.
证明:∵ DE⊥AC于E, GH⊥AC于H ∵ DG⊥AB于G, EK⊥AB于K

(第 2 题)

∴DE∥GH

∴DG∥EK

∴四边形DEFG是平行四边形
∵ AB=AC∴∠B=∠C ∵点D是BC的中点∴BD=CD

∵ DG⊥AB于G, DE⊥AC于E∴∠BGD=∠CED=90度 在⊿BGD和⊿CED中,∵ ∠BGD=∠CED, ∠B=∠C,BD=CD ∴ ⊿BGD≌⊿CED(AAS) ∴DG=DE

∴四边形DEFG是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)

3. 如图,菱形ABCD的周长为2p,对角线AC、 BD交于O,AC+BD=q,求菱形ABCD的面积. (提示: 利用两数和的平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2与勾股定理)

(第 3 题)


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