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§27.2二次函数的图像与性质(1)

发布时间:2014-01-10 12:50:27  

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27.2二次函数的图象与性质(1)

[本课知识要点]

会用描点法画出二次函数y?ax的图象,概括出图象的特点及函数的性质.

[MM及创新思维]

我们已经知道,一次函数y?2x?1,反比例函数y?

y?x的图象是什么呢?

(1)描点法画函数y?x的图象前,想一想,列表时如何合理选值?以什么数为中心?当x取互为相反数的值时,y的值如何?

(2)观察函数y?x的图象,你能得出什么结论?

[实践与探索]

例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有

何共同点?有何不同点?

(1)y?2x

解 列表

222223的图象分别是、 x(2)y??2x 2分别描点、连线,画出这两个函数的图象,这两个函数的图象都是

抛物线,如图26.2.1.

共同点:都以y轴为对称轴,顶点都在坐标原点.

不同点:y?2x的图象开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对

称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线

自左向右上升.

2y??2x2的图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,在对

称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降.

回顾与反思 在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛物线,因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接.

例2.已知y?(k?2)xk2?k?4是二次函数,且当x?0时,y随x的增大而增大.

(1)求k的值;

(2)求顶点坐标和对称轴.

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?k2?k?4?2解 (1)由题意,得?, 解得k=2.

?k?2?0

(2)二次函数为y?4x,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.

例3.已知正方形周长为Ccm,面积为S cm2.

(1)求S和C之间的函数关系式,并画出图象;

(2)根据图象,求出S=1 cm2时,正方形的周长;

(3)根据图象,求出C取何值时,S≥4 cm2.

分析 此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C的取值应在取值范围内.

解 (1)由题意,得S?

列表:

212C(C?0). 16(2)根据图象得S=1 cm2时,正方形的周长是4cm.

(3)根据图象得,当C≥8cm时,S≥4 cm2.

回顾与反思

(1)此图象原点处为空心点.

(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成x、y.

(3)在自变量取值范围内,图象为抛物线的一部分.

[当堂课内练习] 1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

(1)y?3x (2)y??3x (3)y?

2.(1)函数y?2212x 322x的开口,对称轴是,顶点坐标是; 3

12(2)函数y??x的开口,对称轴是,顶点坐标是 4

3.已知等边三角形的边长为2x,请将此三角形的面积S表示成x的函数,并画出图象的草图.

[本课课外作业]

A组

1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.

(1)y??

4x (2)y?

2.填空:

(1)抛物线y??5x,当y有最值,是

(2)当m= 时,抛物线y?(m?1)xm2?m212x 42开口向下.

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(3)已知函数y?(k?k)x

随x的增大而增大.

3.已知抛物线y?kxk2?k?102k2?2k?1是二次函数,它的图象开口y中,当x?0时,y随x的增大而增大.

(1)求k的值; (2)作出函数的图象(草图).

4.已知抛物线y?ax经过点(1,3),求当y=9时,x的值.

B组

5.底面是边长为x的正方形,高为0.5cm的长方体的体积为ycm3.(1)求y与x之间的

3函数关系式;(2)画出函数的图象;(3)根据图象,求出y=8 cm时底面边长x的值;(4)

根据图象,求出x取何值时,y≥4.5 cm3.

6.二次函数y?ax与直线y?2x?3交于点P(1,b).

(1)求a、b的值;

(2)写出二次函数的关系式,并指出x取何值时,该函数的y随x的增大而减小.

1. 一个函数的图象是以原点为顶点,y轴为对称轴的抛物线,且过M(-2,2).

(1)求出这个函数的关系式并画出函数图象;

(2)写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标,并求出⊿MON的面积.

22

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