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九年级数学上《证明二》复习课件

发布时间:2014-01-10 13:47:08  

梳理知识: 1、全等三角形 (1)定义:能够完全 重合 的三角形是 全等三角形。

(2)性质:全等三角形的 对应边相等 、
对应角 相等。 、 AAS 、 SSS 、 HL 。

(3)判定:
SAS 、 ASA

2、等腰三角形

(1)定义:有两条 边 的三角形是等腰
三角形。

性质:①等腰三角形的 两个底角相等。 (“等边对等角 ”)
底边上的高 ②等腰三角形的顶角平分线、 、 底边上的中线互相重合。(“ 三线合一 ”) ③等腰三角形是

轴对称 图形。

(3)判定:①定义 ②“等角对等边 ”

等腰三角形有关知识要点(补充): 结论1:等腰三角形两底角的 平分线 相等 结论2:等腰三角形两腰上的 中线 相等

结论3:等腰三角形两腰上的 高 相等
结论4: 等腰三角形腰上的高线与底边的 夹角等于 顶角的一半 . 结论5:等腰三角形底边上的任意一点到两 腰的距离之和等于 一腰上的高 。

4、等边三角形

三边都相等 的三 定义:

角形是等边三角形。 性质:①三角都等于

60?

;②具有等

腰三角形的一切性质。

判定:①定义
②有一个角 是 60?的等腰三角形 是等

边三角形。
③ 三个角 都相等的三角形是等边三角形

3、直角三角形

(1)定义:有一个角是 90? 的三角形是 直角三角形。 (2)①“勾股定理”:
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边 的平方. “勾股逆定理”: 如果三角形两边的平方和等于第三边的平 方,那么这个三角形是直角三角形

②直角三角形两锐角 互余 。 两锐角 互余 的三角形是直角三角形 ③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ④在直角三角形中,30°角所对直角边等 于 等于斜边的一半 。

在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的 一半,那么这条直角边所对的锐角等于 30° 。

4、线段的垂直平分线 (1)定义: 垂直平分一条线段的 直线 叫 线段的垂直平分线。 (2)性质:①线段垂直平分线上一点 到线段的两个端点的距离 相等。 ②三角形三边的垂直平分线交于一点,且到 三个顶点的距离 相等。
(这一点叫做三角形的外心,三角形外接圆的圆心)

(3)判定:到一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上。 (4)线段的垂直平分线的作法:

5.角平分线
定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB D A
P

∴PD=PE

逆定理:

O

1 2

C E

在一个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB , PD=PE

B

∴ ∠1=∠2(OP是角平分线或P在∠AOB的平分线上)

6、命题:判断一件事的句子叫命题。命题 有 题设 与 结论 两部分。 互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的 题设 是

另一个命题的 结论 ,那么这 两个命题成为互逆命题,其中一个命题称为 另一个命题的 逆命题 。 7、逆定理:如果一个定理的逆命题是真命 题,那么这个逆命题就叫原定理的逆定理.

1、 在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3, CD⊥AB于点D,若BC=a,则AD的长为 。

2、等腰三角形的一个底 角是80°,那么顶角是



20°

80° 80°

3、如图,CD平分∠ACD,AE//DC交BC的 延长线于点E, 若∠ACE=80°,则 ∠CAE= 50° 度。
3 1 2

4、如图,点F、C在线段BE上,且∠1=∠2, BC=EF,若要使△ABC≌△DEF,则还需补充 的一个条件是 AC=DF .

/ ∠B= ∠E / ∠A= ∠D

5、等腰三角形的两条边长为5和10,那 么这个三角形的周长为 25 。

6、如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=80°, MN是AB的垂直平分线,那么∠NBC= 。 AB=AC,∠C=80° ∠ABC= ∠C= 80°, ∠A=20° MN是AB的垂直平分线 AN=BN ∠ABN=∠A= 20° ∠CBN=60 °

6、在△ABC中,I是三条角平分线的交点, ∠BIC=130°,则∠A的度数是 ( ) A.40° B.50° C.65° D.80°
?BIC ? 180? ? (?IBC ? ?ICB ) 1 ? 180? ? (?ACB ? ?ABC ) 2 1 ? 180? ? (180? ? ?A) B 2 1 ? 180? ? 90? ? ?A 2 1 ? 90? ? ?A 2

A I C

7、 如图,△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC 于E,AD交BE于F,若BF=AC,那么∠ABC的 大小是 ( ) A.40° B.45° C.50° D.60°

已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点, DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E、F,且 DE=DF.求证:△ABC是等腰三角形

想 一 想

学无止境

已知如图,D为等腰三角形△ABC的底边BC上任意 一点, AB=AC, DE⊥AC, DF⊥AB, CH⊥AB,探索 DE、DF、 CH的关系?
A

H F E B D C

DE+DF=CH

等腰三角形底边上的点到两腰的距离和等于一腰上的高

想 一 想

学无止境
A

DE+DF=CH

方法1:在HC上取一点
H
F

G,使FD=HG
G


E

B

C
D

小试

牛刀

学海无涯

已知:如图,△ABC是等边三角形,D.E分别是 BC,AC上的点,且AE=CD,BE和AD相交于P,BQ⊥AD, 垂足是Q, (1)求∠BPD的度数 60° (2)求证:BP=2PQ
A
P

E

Q B
D

C

提高证明能力的源泉
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直

平分线交AC于点E,△BCE的周长为8,
AC-BC=2. 求:AB与BC的长.
D
E A

B

C

提高证明能力的源泉
如图1,CD是斜边AB上的高,将BCD沿CD折叠, B点恰好落在AB的中点E处,则∠A等于( )度 A、25 B、30 C、45 D、60

C

A

E 图1

D

B

第三章《证明(三)》复习

一、认识四边形与特殊四边形的关系
矩形
平行四边形

正方形 菱形

四边形
等腰梯形

梯形

二、几种特殊四边形的性质 边
平行 四边形 矩 形 对边平行 且相等 对边平行 且相等


对角相等 四个角 都是直角

对 角 线
两条对角线互相平分 两条对角线互相平分且相等

对称性
中心对称 轴对称 中心对称

菱 形

对边

平行,四 条边都相等

对角相等

两条对角线互相垂直平分, 轴对称 每条对角线平分一组对角 中心对称
两条对角线互相垂直平分 且相等,每条对角线平分 一组对角 两条对角线相等

正方形

对边平行, 四条边 都相等

四个角 都是直角

轴对称 中心对称 轴对称

等腰梯形

两底平行, 同一底上的 两腰相等 两个角相等

三、几种特殊四边形的判定方法
(2)两组对边分别相等; (3)两组对角 平行 (1)两组对边分别平行; 四边形 分别相等; (5)一组对边平行且相等。 (4)两条对角线互相平分; ( (1)有三个角是直角; 2)是平行四边形,并且有一个角是直角; 矩 形 (3)是平行四边形,并且两条对角线相等。

菱 形

(1)四条边都相等; 2)是平行四边形,并且有一组邻边相等; (
(3)是平行四边形,并且两条对角线互相垂直。 (1)是矩形,并且有一组邻边相等;

正方形

(2)是菱形,并且有一个角是直角。
等 腰 梯 形 (1)是梯形,并且同一底上的两个角相等; (2)是梯形,并且两条对角线相等。

四、对角线与几种特殊四边形的关系
1.对角线互相平分的四边形是平行四边形
A D DD DD DDD

D

B

C

2.对角线相等的平行四边形是矩形 AAA A AAA A A DDDDDD DDD

B B

C C C

3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 A DDD DDD DD DDD

B

CCC CCC CC CCC

4.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 AAAAAA A AAAA D D D D DDDDDD D

B

C CC CCC C C CCC

三角形中位线的性质 定理: 三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.

提示
∵DE是△ABC的中位线,
D

A

E

1 ∴DE∥BC, DE ? BC . 2

B

C

这个定理提供了证明线段平 行.和线段成倍分关系的根据.

三角形中位线的性质 模型: 连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形.
A E B H F D C

G

要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线 的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关 系(对角线相等.对角线垂直,对角线相等且垂直)决定 了各中点所成四边形的形状.

2.连接梯形两腰中点的线段,叫做梯形的中位线.求证, 梯形中位线平行于两底,且等于两底和的一半.
A E D F

B

C

M

3.求证,连接梯形两条对角线中点的线段平行于两底, 且等于两底差的一半.
A G H D

B

N

C

提示:连接AG并延长与BC交于点N;

4.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,且 AB=AC,BD=BC,AC与BD相交于点E. 求证:CE=CD.
A E D

B

F

MC

提示:作辅助线,分别过点A,D作AF⊥BC,DM⊥BC,垂 1 1
足分别是F,M; 则有DM ? AF ? BC ? BD. 由此可得∠DBC=300.
2 2

五、巩固练习
(一)判断题: 1.平行四边形的对角线相等; ( 2.矩形的四个角都相等; ( ) ) ) ) )

3.菱形的对

角线互相垂直平分; ( 5.一组对边平行的四边形是梯形; (

4.有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形; (

6.有两个角相等的梯形是等腰梯形; (




7.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; ( 8.对角线相等的四边形是矩形; ( )

9.在梯形中上面的底叫做上底,下面的底叫做下底;(



(二)选择题: 1.下面判定四边形是平行四边形的方法中,错误的是( D )。

(A)一组对边平行,另一组对边也平行;(B)一组对角相等,另一组对角也相等; (C )一组对边平行,一组对角相等; (D)一组对边平行,另一组对边相等 B )。

2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( (A)对角线互相平分。

(B)对角线相等。

(C)对角线平分一组对角。 (D)对角线互相垂直。

3.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形一定是(
(A)矩形。 (B)正方形。(C ) 菱形。(D)平行四边形 4.内角和等于外角和的多边形是( B )

)D

(A) 三角形。(B)四边形。(C )五边形。(D)六边形。
5.下列性质中,平行四边形不一定具备的是( C )

(A)对角相等。(B)邻角互补。(C )对角互补。(D)内角和是360°。

6.能够判定一个四边形是平行四边形的条件是( (A)一组对角相等。 (C )两条对角线互相垂直。

)B

(B)两条对角线互相平分。 (D)一对邻角的和为180°。 )C

7.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

(A)等边三角形。(B)平行四边形。(C )菱形。(D)等腰梯形。
8.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )D

(A) (B)

(C ) D )

(D)

9.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是( (A) AB =CD, AD =BC。(B) BC // AD。

(C ) AB//DC, AD//BC。 (D) AB =CD,AD//BC。

(三)填空题: 1.两条对角线 2.两条对角线 3.两条对角线 4.两条对角线 5.两条对角线 6.两条对角线 7.两条对角线 8.两条对角线 的平行四边形是矩形。 互相平分且相等 的四边形是矩形。 互 相 垂 直 的平行四边形是菱形。 互相垂直平分 互相垂直 相 等 的四边形是菱形。 的矩形是正方形。 的菱形是正方形。 的平行四边形是正方形。 的四边形是正方形。 相 等。 相 等

互相垂直并相等

互相垂直平分并相等

9.等腰梯形在同一底上的两个角

相 等 ,对角线

10.如图(1), A 2

ABCD中,∠1 = ∠B =50°,则∠2 = D A O C B (2) C

80° 。 D

B (1)

1

11.如图(2),菱形有一个内角是120°,有一条对角线长是8㎝, 8 8㎝ 或 3√3 ㎝ 。 那么菱形边长是 12.已知:正方形的边长是4㎝,则它的对角线的长是 面积是 16 ㎝ 2 。 13.已知,正方形的对角线的长是6 ㎝,则它的边长是 面积是 。 18 ㎝ 2
2 14.已知:正方形的面积是12 ㎝ ,则它的边长是 对角线

的长是 2√6 ㎝ 。

4√2

㎝ ,

3√2 ㎝,

2√3 ㎝,

二、填空题(每小题6分,共24分) 6.(2010·镇江中考)如图,在平行四边 形ABCD中,CD=10,F是AB边上一点,DF 交AC于点E,且

【解析】由△AEF∽△CED可知,
AF=4,则BF=6. 答案:

13.(12分)问题背景

(1)如图1,△ABC中,DE∥BC分别交AB,AC于D,E两点,
过点E作EF∥AB交BC于点F.请按图示数据填空: 四边形DBFE的面积S=_____, △EFC的面积S1=____, △ADE的面积S2=_____.


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