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结识抛物线(1)y=ax2的图象和性质[1]

发布时间:2014-01-10 13:47:17  

y ? x2

二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴. 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.

y?x

2

当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 减小.

当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而 增大.

当x=-2时,y=4 当x=-1时,y=1

抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.

当x=1时,y=1 当x=2时,y=4

做一做P40 4

在学中做—在做中学
?(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状? ?(2)先想一想,然后作出它的图象. ?(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系?
x
y=-x2




-3
-9

-2
-4

-1
-1

0
0

1
-1

2
-4

3
-9




你能根据表格中的数据作出猜想 吗



做一做P40 5

描点,连线
-4 -3 -2 -1

y 2 0

-1 -2
-4 -6

1

2

3

4

x

?

-8 -10

y=-x2

做一做P40 6

观察图象,回答问题串
y 2 0

描点,连线
-4 -3 -2 -1

(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.

1 2 3 4 x -1 (2)图象 与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么? -2

(3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化?当x>0呢? -4 (4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何 -6 知道的?
-8

(5)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请 -10 你找出几对对称点,并与同伴交流.

y=-x2

y

二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.

y ? ?x2

对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.

y

y ? ?x

当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.

2

当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.

当x= -2时,y= -4 当x= -1时,y= -1

抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.

当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4

做一做P40 7

看图说话

y y ?函数y=ax2(a≠0)的图象和性质: 0

y=x2

x

?

它们之 间有何 关系?

y=-x2
0 x

二次函数y=ax2的性质
1.顶点坐标与对称轴

y ? x2

2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线 y=x2 (0,0) y= -x2 (0,0) y轴 在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

y ? ?x2

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向

y轴 在x轴的上方(除顶点外)
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

增减性 最值

当x=0时,最小值为0.

当x=0时,最大值为0.

做一做P40

8

看图说话y=x2

y

函数y=ax2(a≠0)的图象和性质: 在同一坐标系中作出函

数y=x2和y=-x2的图象
0
y=x2和y=-x2是 y=ax2当a=±1时的 特殊例子.a的符号 确定着抛物线 的……

x

y=-x2

y ? x2

二次函数y=ax2的性质
y ? ?x2

1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称 轴是y轴.

2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开 口向上,并且向上无限伸展; 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开 口向下,并且向下无限伸展.

3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴 右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴 的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.

9 例题欣赏P40

我思,我进步
?1.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8). (1)求此抛物线的函数解析式; (2)判断点B(-1,- 4)是否在此抛物线上. (3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
?解(1)把(-2,-8)代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, ?解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2. (2)因为 ? 4 ? ?2(?1) 2 ,所以点B(-1 ,-4)

?

不在此抛物线上. (3)由-6=-2x2 ,得x2=3, x?? 3 所以纵坐标为-6的点有两个,它们分别是

( 3 ,?6)与(? 3 ,?6)

例题欣赏P408

知道就做别客气
?2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 (0,0) ,对称轴是 y轴 , 在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的左 侧,y随 着x的增大而减小,当x= 0 时,函数y的值最小,最小值是 0 , 抛物线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外). ?(2)抛物线 y ? ? 2 x 2 在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴的
3

左侧,y随着x的 增大而增大 ;在对称轴的右侧,y随着x的 增大而减小,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 0 ,

当x

?

0时,y<0.

小结
?

拓展

回味无穷

由二次函数y=x2和y=-x2知:

? 1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴. ? 2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口 向上,并且向上无限伸展; 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向 下,并且向下无限伸展. ? 3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增 大而减小; 在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0 时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而 增大; 在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0 时,函数y的值最大.
y ? x2

y ? ?x2

独立 作业

知识的升华

P41 习题2.2 1,2题.

P41 习题2.2 1,2题

独立 作业

1.说说自己生活中遇到的哪些动物和植物身体的部分轮 廓线呈抛物线形 状. 2.设正方形的边长为,面积为,试作出S随a的变化而变化 的图象.

下课了!

结束寄语
?

只有不断的思考,才会 有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.


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