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第三十四章二次函数复习

发布时间:2014-01-10 14:59:50  

二次函数的定义
形如y=ax2+bx+c (a、b、c是常数, a≠0)的函数叫做x的二次函数 。
自变量x的取值范围是什么? 任何实数 它的图像是什么? 抛物线

说出下列二次函数的各项系数: y=-x2 y=2(x-4)2+3 y=100-5x2 y=-3(x-4)(x+5)

做一做:
下列函数中,哪些是二次函数?

(1) y ? x 2 1 (2) y ? ? 2 x (3) y ? 2 x 2 ? x ? 1 (4) y ? x(1 ? x)

是 不是 是 是

(5) y ? (2 x ? 1) 2 ? (2 x ? 1)(2 x ? 1) 不是

知识点:
二次函数y=ax2、y=a(x+m)2
y=a(x+m)2+k的平移规律
m决定左右平移,k 决定上下平移 Y=-2(x-4)2+5是由哪条抛物线经怎样 平移得到的? Y=3x2-12x-4是由哪条抛物线经怎样 平移得到的?

二次函数的解析式有几种类型?
一般式:Y=ax2+bx+c 顶点式:y=a(x+m)2+k

练习:求二次函数的解析式:

3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标为2,
-8,与y轴交于(0,4)

的图象是___,顶点坐标 是___,对称轴是___,当a﹥0时,抛物 线的开口向__,顶点是抛物线的最__, 当x__时,y随x的增大而减小,当x___ 时,y随x的增大而增大;当x=__时, y最小值=____. 当a﹤0时,开口向__,顶点是___,是抛 物线的最__.当x<__时,y随x的增大而 ___,当x>__时,y随x的增大而___,当 X=__时,y最大值=____.

y=a(x+m)2+k

知识点:
抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的 b2-4ac 交点由_______决定.
判断下列抛物线与x轴的交点情况. 练习:

1、y=2x2-4x+1 2、y=-3x2-4x-2

3、y=5x2+20x+20

抛物线y=ax2+bx+c的a的符号由开口方向 决 对称轴直线 定,b的符号由——————决定,c的符 Y轴交点 号由————决定。
练习:判断下列两条抛物线的a、b、c的符号。
y C y

o

x

o C

x

知识点:
顶点(b 4 ac ? b 2 , 4a ) 2a

与y轴交点(0,c),其关于抛 物线对称轴是
X=- b ,与x轴的两交点为 (x1,0),(x2,0)
a

练习 2+4x+3它的开 1.已知抛物线y=x 上 口向 ,对称轴是直 线 x=-2 ,顶点坐标为 (-2,-1) , 图象与x轴的交点为 (-3,0) ,与y 轴的交点为 (-1,0) 。 2+4的顶点 2.二次函数y=3(x+1) 坐标为 (-1,4) .

例:已知抛物线y=x2-2x-8, (1)求证:该抛物线与x轴一定有两个交点; (2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B, 且它的顶点为P,求△ABP的面积。
(1) 证明:∵△=22-4×(-8)=36>0

∴该抛物线与x轴一定有两个交点
y

(2)解:∵抛物线与x轴相交时

x2-2x-8=0
A P B
x

解方程得:x1=4, x2=-2 ∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1,-9)

∴S△ABC=27

试一试:
2、已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3, 如果它的图像的顶点在x轴上,求m的 值和顶点坐标.

1. 已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部
分,如图所示,如果这个男同学的出手处A点的坐标(0, 2),铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5) (1)求这个二次函

数的解析式; (2)该男同学把铅球推出去多远?(精确到0.01米 ) .

y
6 4 2 B(6,5)

A(0,2)
2 4 6 8 10 12

o

x

y
6
4 B(6,5) C A(0,2) 2 4 12

2

2 解:(1)设函数解析式为:y=a(x-6) ? 5 1 又由A(0, 2), 得a ? ? , 12 1 1 2 ?y ? ? ( x ? 6) 2 ? 5; y ? ? x ? x?2 12 12 1 2 (2)当 ? x ? x ? 2 ? 0时, 12 x ? 6 ? 2 15.(负值舍去).

o

6

8

10

x

? x ? 6 ? 2 15 ? 13.75

2.某商店经营一批进价为2元的小商品,在市场营销的过程中发现: 如果该商品按最低价3元销售,日销售量为18件,如果单价每提高 1元,日销售量就减少2件.设销售单价为x(元), 日销售量为y(件). (1)写出日销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式; (2)设日销售的毛利润(毛利润=销售总额-总进价)为P(元), 写出毛利润P(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式; (3)在图13所示的坐标系中画出P关于x的函数图象的草图, 并标出顶点的坐标; (4)观察图象,说出当销售单价为多少时, 日销售的毛利润最高?是多少?
P/元 60

50

解:(1) y ? 18 ? 2( x ? 3) ? ?2 x ? 24 (2)
P ? ( x ? 2)(?2 x ? 24) ? ?2 x 2 ? 28x ? 48

40 30 20 10

即 P ? ?2 x 2 ? 28 x ? 48

O

1

2

3

4

5

6 图13

7

8

9 10

111 121

x/元

解:(1)

y ? 18 ? 2( x ? 3) ? ?2 x ? 24
P ? ( x ? 2)(?2 x ? 24) ? ?2 x 2 ? 28x ? 48 (2)

即 P ? ?2 x 2 ? 28 x ? 48 (3)图象如图5所示; (4)观察图象可知,当销售单价为7元时, 日销售的毛利润最高,是50元.
P/元 60 50 40 30 20 10 O Q(7,50)



1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 111 121

x/元

图5

如图12,已知:一抛物线形拱门,其地面宽度AB =18m,小明站在门内,在离门脚B点1m远的点D处, 垂直地面立起一根1.7m长的木杆,其顶端恰好顶在抛 物线形门上C处.建立如图10所示的坐标系. (1)求出拱门所在抛物线的解析式; (2)求出该大门的高度OP. 图象与信息
y P

C A O
图12

DB x

如图12,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=12cm, 若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动,点Q从A点出 发以1cm/秒的速度向C点运动,设P、Q分别从B、A同时出发, 运动时间为t秒。解答下列问题:
用含t的代数式表示线段AP,AQ的长; 1.当t为何值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形? 2.当t为何值时PQ∥BC?
C

Q
B

2t

P 图12

t 60°A

如图,规格为60 cm×60 cm的正方形地砖在运输过程中受损, 断去一角,量得AF=30cm,CE=45 cm。现准备从五边形地砖 ABCEF上截出一个面积为S的矩形地砖PMBN。 (1)设BN=x,BM=y,请用含x的代数式表示y, 并写出x的取值范围; (2)请用含x的代数式表示S, (3)当x取何值时,S有最大值?最大值是多少?

B

y

M

A 30

x

N C 45 P E

F G D

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=10cm,BC=15cm, 点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动;点Q从C 出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动. 点P、Q分别从起点同时出发,移动到某一位置时所需时间为t秒 (1)当t = 4时,求线段PQ的长度 解:当t = 4时,PC=10-t=6cm CQ=2t=8cm 在Rt△PQC中,根据勾股定理, 得: PQ= 2 2

PC ? CQ ? 10cm

B

Q

A

P

C

B

(2) 当t为何值时,△PCQ的面积等于16cm2? 解:因为PC=10-t,CQ=2t

1 (10 ? t) ? 2t ? 16 2 解方程,得: t1 ? 2


Q

C P t 2 ? 8 时,CQ=2t=16cm>15cm,超出BC的长度 应舍去, 所以当 t?2
秒时, △PCQ的面积等于16cm2

t2 ? 8

A

(3) 点O为AB的中点,连结OC,能否使得PQ⊥OC?若能, 求出t的值;若不能,请说 明理由. 解: ∵ 点O是斜边AB的中点 1 ∴ OC= 2 AB ? AO ∴ ∠A=∠ACO 当PQ⊥OC时,∠QPC+∠ACO=90° 又 ∠A+∠B=90° ∴ ∠B=∠QPC, 同理∠A=∠PQC ∴ △ABC∽△QPC 有 PC ? CQ
BC AC 10 - t 2t ? 即 15 10

B

O Q A
P

解,得:

t ? 2 .5

C

所以当 t ? 2.5秒时,能使得PQ⊥OC。


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