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23.1.2.2圆的轴对称性与垂径定理

发布时间:2014-01-10 14:59:51  

垂径定理:
①直线MN过圆心O ② MN⊥AB

③AC=BC ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN

如果交换垂径定理 的题设和结论的部分语 句,会有一些什么样的 结论呢?
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M

O

A

C
B N

探索一:

结论:

①直线MN过圆心 ③ AC=BC

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②MN⊥AB ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN

推论1. (1)平分弦(不是直径) 的直径垂直于弦,并且平分 弦所对的两条弧。

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推论1. (1)平分弦(不是直径) 的直径垂直于弦,并且平分 弦所对的两条弧。 A

M

一个圆的任意两 C 条直径总是互相平分, 但是它们不一定互相 垂直。因此这里的弦 如果是直径,结论就 不一定成立。

O

D

B

N

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M

O

C
A B N

探索二:

② MN⊥AB ③ AC=BC

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①直线MN过圆心O ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN

推论1:
(2)弦的垂直平分线 经过圆心,并且平分弦 所对的两条弧;

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M

O

C
A B N

探索三:

①直线MN过圆心O ⑤弧AN=弧BN
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② MN⊥AB ③ AC=BC ④弧AM=弧BM

推论1:
(3)平分弦所对的 一条弧的直径,垂直平 分弦,并且平分弦所对 的另一条弧。
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推论1:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于 弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平 分弦所对的两条弧;. (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直 平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
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推论2.
圆的两条平行弦所夹 的弧相等。

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推论2. 圆的两条平行弦所夹的弧相等。
M C
A O D B 于是 弧AM=弧BM, 弧CM=弧DM 作直径MN垂直于弦AB ∵AB∥CD ∴直径MN也垂直于弦CD

∴弧AM-弧CM =弧BM-弧DM 即 弧AC=弧BD N
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C

例:平分已知弧

AB 已知:弧AB
求作:弧AB的中点 E

A
作法: ⒈ 连结AB.

B

⒉作AB的垂直平分线 CD,交弧AB于点E. D
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点E就是所求弧AB的中点。

变式一: 求弧AB的四等分点。
C m n

F
A

E

G

B

D
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错在哪里?
●作AB的垂直平分线CD。
●作AT.BT的垂直
N E M

C G

平分线EF.GH
A

P

T

B

等分弧时一 定要作弧所夹弦 的垂直平分线。
F
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H

D

C m E A n

B

变式二:你能确定

弧AB的圆心吗?
O
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D

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你能破镜重

圆吗?
n m C B

A

·
O

作弦AB.AC及它们的垂直平

分线m.n,交于O点;以O为圆 心,OA为半径作圆。
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破镜重圆
A

m

n
C

B

·
O

作图依据:
弦的垂直平分线经过圆心,并且

平分弦所对的两条弧。
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已知:AB、CD是⊙O的两条平行弦,

MN是AB的垂直平分线。
求证:MN垂直平分CD。
M C
A O D

圆内平行弦 的垂直平分线是 B 互相重合的。

N

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已知:AB、CD是⊙O的两条平行弦,

MN是AB的垂直平分线。
求证:MN垂直平分CD。
M C
A O

分析: 由AB∥CD, MN⊥AB
D

则有: 则有:

MN⊥CD

B MN是AB的垂直平分线

MN过圆心O是直径
由垂径定理,得

N

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MN平分CD 所以:MN垂直平分CD

M C A O

证明: D ∵AB∥CD,MN⊥AB
B ∴MN⊥CD

∵ MN是AB的垂直平分线

∴ MN过圆心是直径 ∴ MN平分CD
N

∴MN垂直平分CD

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课堂小结:

本节课探索发现了垂径定理的推论1和推 论2,并且运用推论1等分弧。 ●要分清推论1的题设和结论,即已知什么条 件,可推出什么结论. 这是正确理解应用推论1 的关键; ●例3是基本几何作图,会通过作弧所夹弦 的垂直平分线来等分弧.能够体会转化思想 在这里的运用.
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回味引伸
垂径定理及其推论1的实质是把(1)直线MN过圆心;

(2)直线MN垂直AB;

(3)直线MN平分AB;

(4)直线MN平分弧AMB; (5)直线MN平分弧ANB 中的两个条件进行了四种组合,分别推出了其余的三个 结论.这样的组合还有六种,由于时间有限,课堂上未作 进一步的推导,同学们课下不妨试一试.

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M C D

证明:
B

A
O

由AB∥CD可得: 弧AC=弧BD MN是AB的垂直平分线 则有: MN过圆心O是直径 弧AM=弧BM

N

∴ 弧AM-弧AC =弧BM-弧BD 即 弧CM=弧DM

∴MN垂直平分CD
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布置作业:
习题P52 3-5.

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谢谢!

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