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二次根式的乘除(最新人教版)

发布时间:2014-01-10 16:56:44  

二次根式的乘除

复习回顾
1.什么叫二次根式? 形如:
表示a的算术平方根

a

根指数为2. 被开方数a≥0; 双重 a ≥0; 非负性

2.二次根式的两个基本性质:
先开方再平方:

? a ? =a
2

(a≥0)

a (a≥0)
先平方再开方:

a =∣a∣=
2

-a (a<0)

复习回顾
3.二次根式的乘法法则:

a ? b?
推广1:

ab

(a≥0,b≥0)

算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根。

a? b? c ?
推广2:

abc

(a≥0,b≥0,c≥0)

m a ? n b ? mn ab

(a≥0,b≥0)

注意:在本章中,如无特别说明,所有的字母都表示正数.

对应练习
计算:
(1) 3? 1 2   ab ? 3 b    a

( 2) ? 2

解: (1)原式 ? 3?12 ? 36 ? 6
b 2 (2)原式 ? (-2 ? 3) ab ? ? -6 b ? -6b a
注意:被开方数中不含能开得尽方的因数和因式。

复习回顾
4.二次根式的乘法法则的逆用:

ab ? a ? b
推广:

(a≥0,b≥0)

积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。

abc ?

a? b? c

(a≥0,b≥0,c≥0)

a1 ? a2 ? ...? an ? a1 ? a2 ? ...? an

(a1、a2、、an ? 0) ...

作用:“逆用”可以对二次根式进行化简。

想一想?

(?4) ? (?9) ? (?4) ? (?9)

成立吗?为什么?

ab ?
正解1:

a? b
正解2:

(a ? 0, b ? 0)

非负数

(?4) ? (?9) ? ?6 36

( ?4) ? (?9) ?

4?9

? 4? 9 ? 2?3 ?6

例题讲解
化简:
解:

(1) 12   ) 27?15 (2
(1) 12 ? 4 ? 3 ?

 ) 4a (3

3

22 ? 3 ? 22 ? 3 ? 2 3
2

(2) 27?15 ? 9 ? 3? 3? 5 ? 9 ? 5 ? 9 5
(3) 4a3 ? 22 ? a 2 ? a ? 2a a
小结: 化简二次根式,就是把被开方数中的平方数(或 平方式)从根号里开出来! 因此要先将被开方数因数分解(或因式分解), 凑出平方数(或平方式)。

例题讲解
化简:
解:

(1) 12   ) 27?15 (2
(1) 12 ? 4 ? 3 ?

 ) 4a (3

3

22 ? 3 ? 22 ? 3 ? 2 3
2

(2) 27?15 ? 9 ? 3? 3? 5 ? 9 ? 5 ? 9 5
(3) 4a3 ? 22 ? a 2 ? a ? 2a a

化简二次根式的步骤:
1.将被开方数尽可能地分解成几个平方数(式) 2.应用

ab ? a ? b

3.将平方项应用

a ?a
2

(a ? 0) 化简

对应练习
化简:

?1?   ?121 ? 82 ?112 ? 64
?2?   ? 152 ? 15 225

8 ?11 ? 88

?3?   y ? 4

22 ? y ? 2 y
4bc ac

?4?   ab2c3 ? 42 b2c2ac ? 16

温馨提示: 将被开方数因数(式)分解,凑出平方数(式)。
结果得是最简二次根式或整式。

对应练习
计算:

(1)5 12 ? 4 27  (2) 6 ? 15 ? 10
(1 解: )5 12 ? 4 27  ? (5 ? 4) 12? 27
? 20 4 ? 3 ? 3 ? 9 ?
? 20 ( 2 ? 3 ? 3) 2

(2) 6 ? 15 ? 10 ? 6 ?15?10
2 ? 3? 3? 5 ? 5 ? 2
( 2 ? 3 ? 5)
2
2

?

? 20 ?18 ? 360

? 30 ? 30

化简:

x ?x y
4 2

2

(X≥0)

解:当X≥0时

原式

? x ( x ? y )
2 2 2

? x ? x ?y
2 2

2

?x x ?y
2

2

对应练习
一个矩形的长和宽分别是 10cm 和 2 2cm ,求这 个矩形的面积。 解:

s ? 10 ? 2 2 ? 2 10? 2 ? 2 22 ?5 ? 4
答:这个矩形的面积为

5cm2

4 5cm2

小结

(1)乘法法则:

a ? b ? ab; ? 0, ? 0) (a b
(2)乘法法则的逆用:

ab ? a ? b; ? 0, ? 0) (a b
化简二次根式的步骤:
1.将被开方数尽可能地分解成几个平方数(式)
2.应用

ab ? a ? b

3.将平方项应用

a ?a
2

(a ? 0) 化简

4.结果得是最简二次根式或整式。

§21.2 二次根式的乘除
(2)

复习回顾
1.二次根式的乘法法则:

a ? b?
推广: m

ab

(a≥0,b≥0)

算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根。

a ? n b ? mn ab

(a≥0,b≥0)

2.二次根式的乘法法则的逆用:

ab ? a ? b

(a≥0,b≥0)

积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。

思考:二次根式的除法有没有类似的法则呢?

新知探究
2 ?1?. 3 16 ? 4 ?2?. ?? 49 ? 7
4 ? ?? 9 ? ?, ? ? ?, ? ? 4 ? ?? 9 ?

2 3

? ? ?

4 ? 9
16 ? 49

4 9
16 49

16 ? 4 ? ?? ? ? 7 ? 49

(提示:可利用乘法法则来证明)

猜想:
证明: ?

a ? b
b?

a b
a a ? b? ? b b
a

?

a ? b

a b

1.二次根式的除法法则:

新知探究

a a (a≥0,b>0) 分式写法: ? b b 算术平方根的商等于被开方数的商的算术平方根。
除式写法: 推广1:

a ? b ? a ?b
a? b? c ? a ?b ?c

(a≥0,b>0)
(a≥0,b>0,c>0)

推广2: m a ? n b ? ?m ? n ? ? a ? b (a≥0,b>0,n≠0) 或:

?

?? ?

m a m ? ? n n b

a b

(a≥0,b>0,n≠0)

对应练习
计算:
解:

?1?

24a 3 3a

2 ? 1 ? ? ?2? ? 8 ? ? 2 3 ? 18 ? ? ?

?1?

24a3 ? 3a

24a3 ? 8a2 ? 2 ? 22 ? a 2 ? 2 2a 3a

2 ? 1 ? 2 1 ?2 ? ? ?? 8 ? 2 ? ? ?2? ? 8 ? ? ? ? 3 ? 18 ? 3 18 2 ? ?4 ?18 3

? ?4 12

? ?4 22 ? 3 ? ?8 3

对应练习
2 5 计算:?3? ? 1 ? 3 54 ? a ? ? ?4? 6 4a b ? ? ? 2 ? 4b ? ? ?
3

解:

?3? ?

1

2 ? 3
3

5 5 54 ?? ? ? ? 18 ? ?3 2 54 3 5

? a ? 4b ?? 2 ? ? ?3 4a 3b ? ?4?6 4a b ? ? 4b ? a ? ?

? ?3 42 a 2b 2 ? ?12ab

1.二次根式的除法法则的逆用:
分式写法:

新知探究
(a≥0,b>0)

a ? b

a b

商的算术平方根等于被除式与除式的算术平方根的商。

除式写法:

a ?b ? a ? b
?1?
3 100

(a≥0,b>0)

化简: 解:

?2?
?2 ?

25x 9 y2
25x 9 y2 5 x ? 3y

?1?

3 ? 100

3 3 ? 100 10

25x ? 2 9y

练习一:
7 (1) 2 9

81 (2) x ? 0? 2 ? 25 x

0.09?169 (3) 0.64?196

解:

7 25 25 5 (1) 2 = = = 9 9 3 9

81 ( 2) 2 = 25x

81 25x 2

9 = 5x

0.09?169 0.0

9?169 0.3 ?13 39 (3) ? ? ? 0.64?196 0.64?196 0.8 ?14 112

在二次根式的运算中, 最后结果一般要求: 分母中不含有二次根式! 把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个 过程叫做分母有理化。

计算:

3 5

解法1..

15 3? 5 3 3 ? ? ? 5 5? 5 5 5

3 3? 5 15 解法2.. ? ? 5 5 5? 5

从中解法2中,能找到把分母有理化的一般方法: 2 根据二次根式的基本性质: a ? ? a 即 a ? a ? a ?a ? 0? ? 和分式的基本性质,可把分母有理化。 例如: b b a (其中a>0, b? a
a

?

a? a

?

a

b为任意代数式)

即:分子和分母同时乘以分母,可把分母有理化!

计算:

?1?

8 2a

3 2 ?2? 27

对应练习

解:

?1?

4 a 2 a 8 8 ? 2a ? ? ? 2a a 2a 2a ? 2a

3 54 3 9 ? 6 3 ? 3 6 6 3 2 3 2 ? 27 ? ? ? ? ?2?解法1: ? 27 27 27 3 27 27 ? 27

解法2:

3 2 3 2 2? 3 6 ? ? ? 3 27 3 3 3? 3

小结:1)分母有理化时,分子和分母要同时乘; 2)若分母可化简,则先化简,再有理化; 3)最后结果若含二次根式,则得是最简二次根式。

分母有理化的一般方法: 2 ? 根据二次根式的基本性质: a ? ? a 即 a ? a ? a ?a ? 0? 和分式的基本性质,可把分母有理化。

练习:把下列各式化简(分母有理化):
2 ( 1) 3 40
1 (2) 1 3

(3) 0.9

解: 2 2 2 ? 10 5 20 2 5 () 1 = = = = = 3 ? 2 10 6 10 ? 10 3 40 60 30 60 1 (2) 1 ? 4 ? 4 ? 3 ? 2 3 3 3 3 3? 3
(3) 0.9 ?
9 9 ?10 3 10 ? ? 10 10 ?10 10

把下列各式的分母有理化:

5a ( 1) 10a

5 2 (2) 2 5

-8 3 (3) 8

分母有理化的类型及方法: 1)当分母是形如 m a 的式子时,分子、分母同乘

a 即可;

练习:把下列各式化简(分母有理化):
2a (4) a+b 2a (5) a+ b 2a (6) 3 a ?2 b

解:(4) 2a ? 2a ? a+b ? 2a a+b a+b a+b a+b ? a+b
(5) 2a ? a+ b

?

2a a ? b 2a a ? b ? a ?b a+ b a ? b

?

2a 2a 3 a ? 2 b a ?2 b (6) ? ? 3 a ?2 b 3 a ?2 b 3 a ?2 b 9a ? 4b 分母有理化的类型及方法:

?

?? 2a ?3

?

?

?

? ?

??

?

?

?

1)当分母是形如 m a 的式子时,分子、分母同乘 a 即可; 2)当分母是形如 m a ? n b 的式子时, 分子、分母同乘 m a ? n b 即可.

怎样的形式才是最简二次根式: 1)被开方数不含分母 2)被开方数不含开得尽方的因数或因式。
注意:分母中含有根式的二次根式也不是最简二次根式,

1 2

不是最简二次根式,它还需进行分母有理化。

练习:下列各式中哪些是最简二次根式,哪些不是? 若不是,请说明理由。
() 1 b a

×
×

3 (2) xy 5

×

1 (3) 1 3

×

(4) 0.9

×

(5) 40xy

×

2 (6) 5 3

5 (7

) 7x



x (8) 16



x 2 ? 4 x ? 4× (9) 3

练习二:

1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立。

( 1) 8 ?( 2 )= 4
(2) 5 ? 5 )= 10 2 (
3 2 (4) = 6

(3) a- ? ( a- )= a-1 1 1

?

3

?

计算:

3 ? 1 ? ( ) 20 ? ? 15 ? ? ? 1 48 ? 2 ? 3 ?

?

?

1 1 2 1 (2) 18 ? 8 ? 4 4 36 3 2 3a b 1 (3) ?( ?2 ) 2b 2a 3b

课本P6:3

拓广与探索

用代数式表示: (1)面积为S圆的半径; 解:设半径为r,则? r 2

?S S 2 ?r ? ?

?S ? ?r? ? ?
S

(2)面积为S且两条邻边的比为2:3的矩形的边长。 解:设两条边长为:2x和3x,则 2x·3x=S

S ?x ? 6
2

6S S ? ? x? 6 6

课本P6:7

拓广与探索

( )18 ? n 是整数,求自然数n的值; 1

(2) 24n 是整数,求正整数n的最小值。

-3 m>5 成立的条件是 __________ __ 。 -5
解:依题意得 即 m-3≥0 m-5>0 m≥3 m>5 m>5

m-3 4. 1、等式 = 成立的条件 m-5 m-5

m-3



课堂小结:
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。 2. 二次根式的除法有两种常用方法: (1)利用公式: a
b = a (a ≥0,b > 0) b

(2)把除法先写成分式的形式,再进行分母有理 化运算。 3. 在进行分母有理化之前,可以先观察把能化简的 二次根式先化简,再考虑如何化去分母中的根号。

练习:把下列各式化简(分母有理化):
(4) 2a a+b (5) 2a a+ b 2a (6) 3 a ?2 b

解:(4) 2a ? 2a ? a+b ? 2a a+b a+b a+b a+b ? a+b
2a (5) ? a+ b

?

2a a ? b 2a a ? b ? a ?b a+ b a ? b

?

2a 2a 3 a ? 2 b a ?2 b (6) ? ? 3 a ?2 b 3 a ?2 b 3 a ?2 b 9a ? 4b 分母有理化的类型及方法:

?

?? 2a ?3

?

?

?

? ?

??

?

?

?

1)当分母是形如 m a 的式子时,分子、分母同乘 2)当分母是形如 m a ? n b 的式子时, 分子、分母同乘 m a ? n b 即可.

a

即可;


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