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二次根式的加减(最新人教版)

发布时间:2014-01-10 16:56:50  

二次根式的加减

复习回顾
怎样的形式才是最简二次根式: 1)被开方数不含分母 2)被开方数不含开得尽方的因数或因式。

下列根式中,哪些是最简二次根式?

12a , 18 , x ? 9 , 5 x y , 27 abc,
2 3

×

×



×

×

ab 3 xy 2 2 2 x ? y, , , 5(a ? b ) 2 5
2



× √



复习回顾

a ? b ? ab
a b ? a b

ab ? a ? b(a≥0,b≥0)
a ? b a b
(a≥0,b>0)

新知探究
下列3组根式各有什么特征?

2 (1) 2, 2, 2 2, 2, 2 ? 3 ? 15 3 2 (2) 3,?5 3,6 3,17 3, 3? 13

(3) 2 , 8 ,?5 18 , 32 ,

1 ? 2

几个二次根式化成最简二次根式以后, 如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做 同类二次根式.
判断同类二次根式的关键是什么? 1)化简:化为最简二次根式; 2)观察:只需看被开方数是否相同。 注意:几个二次根式是否同类二次根式, 与根号前面的系数无关!

例1: 下列各式中,哪些是同类二次根式?
(1) 12

( 2) 48

(3) 18
3 2
(7) 45

2 3
(5) 1 2

4 3

( 4) 50 5 2
1 (8) 1 3

2 3 2 3 2 方法: 解:(1)(2)(8)是同类二次根式;
(3)(4)(5)(6)是同类二次根式; 1)化简:化为最简二次根式; (7)找不到它的同类二次根式。 2)观察:只需看被开方数是否相同。

(6) 32 4 2

3 5

例2.如果最简二次根式:

m ?n ? 2

2



m?n



同类二次根式,求m、n 的值.
解:依题意得

化简得

解得

m?n?2 ? 2 m?n ? 2 m?n ? 4 m?n ? 2 m?3 n ?1

3、下面的式子,你会算吗?

(1) 5 ? 3 5 ?     )3 5 ? 5 ? 2 5 4 5 (2 (3) 18 ? 8 ? 5 2 (4) 8 ? 18 ? ? 2    
3 2

2 2

2 2

3 2

(5) 2 ? 3 ?    ) 5 ? 3 ? (6
发现:(化简后)同类二次根式才可以合并!

梳理
二次根式加减法法则: 二次根式加减时,先将二次根式化为最简 二次根式,再把被开方数相同的二次根式(即 同类二次根式)进行合并。

即:先化简,后合并。

例1计算: (1)12 ? 75 (2) 80 ? 45 (3) 9a ? 25a
解:

二次根式的加减实质是 合并同类二次根式.

整式的加减的实质是合 并同类项.

注意:先化简,后合并

?2?
?3?

?1?

12 ? 75 ? 2 3 ? 5 3 ? (2 ? 5) 3 ? 7 3
80 ? 45 ? 4 5 ? 3 5 ? (4 ? 3) 5 ? 5
9a ? 25a ? 3 a ? 5 a ? (3 ? 5) a ? 8 a

计算:

8 ? 18 ? 4 2 ?2 2?3 2?4 2 ? ?2 ? 3 ? 4 ? 2
? 2

与合并同类项类似,把同类二次根式的系 数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部 都不变,

2.计算:
(1)2 7 ? 6 7

(2) 80 ? 20 ? 5

解:原式 ? ?4

7 解:原式 ? 4 5 ? 2 5 ? 5
?3 5

2.计算: (3) 18 ? ( 98 ? 27 )
解:原式

? 3 2 ? (7 2 ? 3 3 )

? 3 2 ?7 2 ?3 3 ? 10 2 ? 3 3
( 4)( 24 ? 1 0 .5 ) ? ( ? 8 6)

解:原式

? (2 6 ?

2 2 )?( ? 6

) 2 4

2 2 ?2 6? ? ? 6 2 4

2 2 2 ?2 6? 6? ? ?3 6? 2 4 4

练习

1.判断:下列计算是否正确?为什么?

?1?

8 ? 3 ? 8 ? 3;

×

?2?
?3?3

4 ? 9 ? 4 ? 9;
2 ? 2 ?2 2

×


课本P6:3

拓广与探索

用代数式表示: (1)面积为S圆的半径; 解:设半径为r,则? r 2

?S S 2 ?r ?

?

?S ?r? ? ? ?
S

(2)面积为S且两条邻边的比为2:3的矩形的边长。 解:设两条边长为:2x和3x,则 2x·3x=S

S ?x ? 6
2

? x?

6S S ? 6 6

课本P12

解:) S ? ab ? 8 ? 12 ? 4 ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 6 (cm 2 ) (1
(2)S ? ab ? 2 50 ? 3 32 ? 6 25 ? 2 ?16 ? 2 ? 6 ? 5 ? 2 ? 4 ? 240 (cm2 )

课本P12

解: a 2 ? S ? ?a ? S

(1)a ? (2)a ?

50 ?

25 ? 2 ? 5 2 (cm)

242 ? 121? 2 ? 11 2 (cm)

课本P16

解: ?r 2 ? S ? ?r ? S

?
4 ? 2(cm)

?r ? 1

S1

?

?

12.56 ? 3.14

? r2 ?

S2

?

?

25.12 ? 8 ? 2 2 ? 2 ?1.414 ? 2.828 ? 2.83(cm) 3.14

? d ? r2 ? r1 ? 2.83 ? 2 ? 0.83(cm)

答:圆环的宽度d大约为0.83cm.

在实数范围内因式分解

( )x ? 3 1
2

解: ? 3 ? x ? x
2 2

? 3 ? ? ?x ? 3 ??x ? 3 ?
2

(2)x ? 4
4

(3)x ? 6 x ? 9
4 2

二次根式的大小比较

( ) 2与3 11 17
(平方比较法)
2
2

解: 7 2 ? 49 ? 2 ? 98 ?

? ? ?3 11 ? ? 9 ?11 ? 99
98 ? 99

(系数内移法)
解: 7 2 ? 7 2 ? 2 ? 98 ?

3 11 ? 32 ? 11 ? 99

98 ? 99
? 7 2 ? 3 11

? 7 2 ? 3 11

(2) 2 11与 ? 3 5 ?

课本P12

1 解: ? 2

1? 2 2 1.414 ? ? ? 0.707 2? 2 2 2

8?

4 ? 2 ? 2 2 ? 2 ?1.414 ? 2.828

课本P6:7

拓广与探索
是整数,求自然数n的值;

( 18 ? n 1)

(2) 24 n 是整数,求正整数n的最小值。

-3 m>5 __ 成立的条件是 __________ 。 -5
解:依题意得 即 m-3≥0 m-5>0 m≥3 m>5 m>5

m-3 14. 、等式 = 成立的条件是 m-5 m-5

m-3



练习:计算
(1)3 2 ? 3 ? 2 2 ? 3 3

解:原式 ? 3 2 ? 2 2) 3 ? 3 3) ( ? (
? 2 ?2 3
(2) 8 ? 18 ? 12

强调: 先化简,

解:原式 ? 4 ? 2 ? 9 ? 2 ? 4 ? 3 ? 2 2 ?3 2 ?2 3 ?5 2 ?2 3

再合并

例2计算: 1 (1)2 12 ? 6 ? 3 48 3 (2)( 12 ? 20) ? ( 3 ? 5) 2 x 1 (3) 9x ? 6 ? 2x 3 4 x
1 2 12 ? 6 20x ? 3 3 ? ? 4 ?32? 2 ?3 ? 12 33 ? 145 3 1 3 5 ?1??..2 12x?? 6 ? 2 x48 ?52 x ? 3 x2? 2 ?x ?? x 2?. 9 3 ?3 3 3 4 x
解:

?

? ?

?

?3 3? 5

问题:
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板,能否采用 如图的方式,在这块木板上截出两个分别是 8dm2和18dm2的正方形木板?
8 ? 18
7.5dm

? 2 2 ? 3 2 (化成最简二次根式)
? (2 ? 3) 2 (分配律)
?5 2
5dm

18dm
8dm

? 18 ? 3 2 ? 5

8 ? 18 dm 8 ? 18 ? 5 2 ? 7.5 ∴在这块

木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板.

?

?

思考:二次根式的加减的一般步骤.

小结
1.同类二次根式是相对于一组二次根式而言的.判 断几个二次根式是否为同类二次根式,首先要把这几 个二次根式化为最简二次根式,然后再看它们的被开 方数,如果被开方数相同,那么原来的几个二次根式 就是同类二次根式. 2.同类二次根式不一定是最简二次根式.如: 2 8 50 等.

3.几个二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二 次根式,再把同类二次根式分别合并.

同类二次根式合并: 把根号外系数或字母相加减,根指 数和被开方数不变
注意:不是同类二次根式的二次根式

(如

2与 3 )不能合并


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