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矩形的定义和性质

发布时间:2014-01-11 09:43:30  

§19.2 .1矩形的定义、性质

矩形

平行四边形有哪些性质?
边 角 对角线 对称性 中心对 称图形

平行四 对边平行 对角相等 对角线互 边形 且相等 邻角互补 相平分

细心观察平行四边形内角的变化

学习新知
定义:有一个角是直角的平行 四边形叫做矩形.

1、是平行四边形 2、有一个角为直角
选择题:下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、 矩形的关系
四边形 矩形 平行四边形 四边形 平行四边形 矩形

A
四边形 平行四边形 矩形

B
四边形 矩形 平行四边形

C

D

在操作过程中,请你思考下列问题: 1、平行四边形变成矩形时,图形的内角 有何特征? 2、平行四边形变成矩形时,两条对角线 的长度有什么关系?

A

D

求证:矩形的对角线相等
O
B 已知:矩形ABCD中, 对角线AC和BD相交于点O, 求证:AC=BD

C 证明一:∵四边形ABCD是矩形 矩形的性质: ∴AB=CD,∠ABC=∠DCB ∴△ABC≌△ DCB 1、矩形的四个角均为直角 ∴AC=BD 证明二:∵四边形ABCD是矩形 2、矩形的对角线相等 ∴ ∠ABC=∠DCB=90°, AB=CD 2 2 2 2 2 2 AC ? AB ? BC , BD ? CD ? BC ∴ 注:矩形还含有平行四边形的所有性质 ∴AC=BD



角 对角相等 邻角互补 四个角 为直角

对角线 对角线互 相平分

对称性 中心对 称图形

平行四 边形
矩形

对边平行 且相等 = 对边平行 且相等

对角线互相 中心对称图形 平分且相等 轴对称图形

O

这是矩形所 特有的性质

1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性 质是( A ). A、对角线相等 B、对边相等 C、对角相等 D、对角线互相平分 2、 矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm, 则它的对角线长是 5 cm.

学有所得
A O B D

直角三角形的性质: 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半.
C

即兴练一练: 已知一直角三角形两直角边分别为6和8,则其 5 斜边上的中线长为________.

已知: 如图,矩形ABCD的 A 两条对角线交于点O, AB= 4cm ,∠AOB=60°。 求矩形对角线的长。 B
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC与BD相等且互相平分.

D O C

图中我们常见的特殊 ∴OA=OD, 又∵∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形 ∴OA=AB=4(cm) ∴矩形的对角线AC=BD=2OA=8 ( cm ) .

三角形有哪些?

1、如图,矩形ABCD的对角线的长为2, ∠BDC=300,则矩形ABCD的面积为______. 3 2、矩形两条对角线所夹的锐角为60°,较短 7.2 cm. 的边长为3.6cm,则对角线的长为_____
A B A O D
第1题

D

C

B

第2题

C

3、矩形ABCD中,AC、BD相交于点O, 16 AB=6,BC=8,则△ABO的周长为_____
A
O B C

D

1、如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于点E, ED=5cm,EC=3cm,求矩形的周长。 A D 解:∵四边形ABCD是矩形 ∴∠C=∠B=∠BAD=90°,AB=DC ∵DE=5,EC=3 ∴DC2=DE2-EC2=52-32,即:DC=4 B C ∵AE平分∠BAD E

∴∠BAE=45° 注:解决矩形的有关问 题时,常根据性质转化 ∴AB=BE=4
为直角三角形的有关 问题进行解答.

∴BC=7

∴矩形ABCD的周长为22cm

说说:
今天的收获……

你还有什么不明白的地方……

1、矩形定义:

有一个角是直角的平行四边形叫矩形 矩形的对边平行且相等 2、矩形 矩形的四个角均为直角 矩形的对角线互相平分且相等
3、直角三角形的一个重要性质:斜边上的中线 等于斜边的一半; 4、在矩形中进行有关计算或证明,常根据矩形的性 质将问题转化到直角三角形或等腰三角形中,利用 直角三角形或等腰三角形的有关性质 进行解题。

四边形 19


P96练习题 习题19.2 复习题19



1、2 4、9、

3、

学海

无涯

1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(A ) A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.下面性质中,矩形不一定具有的是( D ) A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直

试一试
已知矩形ABCD,请找出所有的直角三角形和 等腰三角形. Rt△ADC、 Rt△DCB、 C D Rt△DAB、 Rt△ABC、
O

A

B

△ADO、 △DOC、 △COB、 △AOB、

矩形的问题可以 转化到直角三角形或 等腰三角形来解决.

如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O, AB=4cm,∠AOB=60°,求矩形对角线的长。 D 解:∵四边形ABCD是矩形, A
∴AC与BD相等且互相平分。 ∴ OA = OB。 又 ∠AOB=60°, B ∴ ΔOAB是等边三角形 ∴OA=AB=4(cm) ∴ AC=BD = 2OA=2×4=8(cm)
600 1200

O

C

变式:若BD=8cm,∠AOD=120°,求边AB的长。

问题: 体育节中有一投圈游戏,四个同学分别站
在一个矩形的四个顶点处,目标物放在对角线的 交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么? A D

O

B

C

公平,因为OB=OD = OA=OC

A

在 Rt?ABC 中,∠ABC=900 , BO是斜边AC上的中线 O

D

B

1 1 1 OB=OD OB = OA=OC = AC= BD = AC 2 2 2

C

推论:直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半。

练一练
1. 已知△ABC是Rt△,∠ABC=900,BD是斜边 AC上的中线. 6 (1)若BD=3㎝,则AC=______ ㎝; 10 ㎝, (2)若∠C=30°,AB=5㎝,则AC=_____ 5 ㎝. BD=_____
A D


B

C

学海

无涯

2.在 Rt?ABC 中,斜边AC上的中线 和高分别是6cm和5cm,则 Rt?ABC 的 面积S=( 30cm2 )。
A

A

D E

B

C

3.在Rt⊿ABC中, ∠C=90°,
AB=2AC. 求∠ A 、 ∠B 的度数.
A

思路分析
作斜边AB边的中线

则 AD=CD=

1 2

AB
1 2

又∵AB=2AC ∴AC=AD=CD= AB

D

C

B

∴⊿ACD是等边三角形 ∴∠A=60° ∴∠B=30 °

4.矩形ABCD 中,AB=2BC,AE=AB,求∠EBC 的度数 E
D

C

A

B

5.设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分 别为S1、S2,? 则二者的大小关系是: S1________S2.

6.已知如图,O是矩形ABCD对角 线的交点,AE平分∠BAD, ∠AOD=1200,求∠EAO的度数和 ∠OEA的

度数 。

7.已知:如图,在四边形ABCD中,

∠ABC=∠ADC=900,M是AC的中点,N是 BD的中点。
(1)试判断MD与MB的大小关系。 (2)试判断MN与BD的位置关系。

D M N B C

A

2、如图,矩形AEFG和矩形ADCB的大小、形状完全相同, 把它们拼成如图所示的L型图案,已知∠FAE=30°,分别 求∠1、∠2的度数。
F 1 E H D 2 C

解:依题意可知: ∠FAE=∠DCA=30 °,AF=AC ∴∠DAC=60 °, ∴∠FAC=90 °,

G

A

∴∠1=45 °, B ∴∠2=∠ACF-∠ACD=15 °

如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°,现将补成 矩形,使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点, 第三个顶点落在矩形这一边的对边上,那么符合要求 的矩形可以画出两个,矩形ACBD和矩形AEFB D A 1)矩形ACBD和矩形AEFB的 面积有何数量关系? B 2)如果△ABC是钝角三角形, E 按短文中的要求把它补成矩形那么 C 符合要求的矩形可以画出几个? F 试试看。 3)如果△ABC是锐角三角形呢?


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