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二次函数培优2

发布时间:2014-01-11 17:00:53  

二次函数(2)

编讲人:施爱蕾

3与x轴正半轴交于点A(3,0).以OA为边2

在x轴上方作正方形OABC,延长CB交抛物线于点D,再以BD为边向上作正方形BDEF.

(1)求a的值.(2分)

(2)求点F的坐标.(5分) 例1:如图,抛物线y?ax2?x?

例2.已知二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1.

(1)随着m的变化,该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上?如果是,请求出该抛物线的函数表达式;如果不是,请说明理由.

(2)如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1图象的顶点P,求此时m的值.

例3.已知抛物线y?ax2?bx?c(a?0)顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线

5作垂线,垂足为M,连FM(如图). 4

(1)求字母a,b,c的值;

3(2)在直线x=1上有一点F(1,),求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点4

的坐标,并证明此时△PFM为正三角形;

(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,

若存在请求出t值,若不存在请说明理由

. 上一点P(x,y)向直线y?

例4.(2012山西)综合与实践:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

(1)求直线AC的解析式及B.D两点的坐标;

(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q,试探究:随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A.P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标.

练习:1.如图,抛物线y=ax2+c(a<0)交x轴于点G,F,交y轴于点D,在x轴上方的抛物线上有两点B,E,它们关于y轴对称,点G,B在y轴左侧,BA⊥OG于点A,BC⊥OD于点C,四边形OABC与四边形ODEF的面积分别

为6

和10,则△ABG与△BCD的面积之和为 4

2.如图①,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知:A(-2,-6),C(1,-3)

(1)求证:E点在y轴上;

(2)如果有一抛物线经过A,E,C三点,求此抛物线方程.

(3)如果AB位置不变,再将DC水平向右移动k(k>0)个单位,此时AD与BC相交于E′点,如图②,求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.

答案二:

31例1(1)把A(3,0)代入y=ax2-x-中,得a=.(2分)(2)∵A(3,0),22

13?3,∴OA=3.∵四边形OABC是正方形,∴OC=OA=3.当y=3x2?x?22

即x2-2x-9=0.解得x1=1+,x2=1-<0(舍去). ∴CD=1+.在正方形OABC中,AB=CB.同理BD=BF.

∴AF=CD=1+,∴点F的坐标为(3,1+).

例2 (培优39页例三) 例3 (培优p39例四)

例4解:(1)∴C点的坐标为(0,3)直线AC的解析式为y=3x+3.

∵y=﹣x+2x+3=﹣(x﹣1)+4,

∴顶点D的坐标为(1,4).

(2)抛物线上有三个这样的点Q,

22

①当点Q在Q1位置时,Q1的坐标为(2,3);

②当点Q在点Q2位置时,Q2坐标为(1+,﹣3);

③当点Q在Q3位置时,Q3的坐标为(1﹣,﹣3);

综上可得满足题意的点Q有三个,分别为:Q1(2,3),Q2(1+,﹣3),Q3(1﹣,﹣3).

(3)点B作BB′⊥AC于点F,使B′F=BF,则B′为点B关于直线AC 的对称点.连接B′D交直线AC与点M,则点M为所求,

过点B′作B′E⊥x轴于点E.

∴Rt△AOC~Rt△AFB,∴,

由A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)得OA=1,OB=3,OC=3,

∴AC=,AB=4. ∴,∴

BF=,∴

BB′=2BF=,

由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB,

∴,∴,即.

∴B′E=,BE=,∴OE=BE﹣OB=

x+﹣3=.∴B′点的坐标为(﹣,).

,). ∴直线B'D的解析式为:y=,∴M点的坐标为(

练习1.4

2.(1)证明:由D(1,0),A(-2,-6),得DA直线方程:y=2x-2① 再由B(-2,0),C(1,-3),得BC直线方程:y=-x-2②结合①② ∴E点坐标(0,-2),即E点在y轴上.

(2)解:设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A(-2,-6),C(1,-3), E(0,-2)三点,解得a=-1,b=0,c=-2,∴抛物线方程y=-x2-2.

(3)S=3+k为所求函数解析式

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