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2012锐角三角函数和解直角三角形中考总复习第一轮

发布时间:2013-09-17 21:33:44  

锐角三角函数及 解直角三角形

计算下列各式: (1)sin60° -3tan30° +2cos45° ; 2 (2)cos60° 2 sin45° + +tan30°cos30° · ; (3)sin60°cos60° · +sin45°cos45° · -sin30°cos30° · ;
解:(1)原式= 2- 3 . 2 2 + 2 2 × 2 3 × 3 2 - 2 3 1 1 1 3 = + + = . 2 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 × = + - = . 2 2 4 2 4 2 3 3 2 3 -3× +2× = - 3+ 2= 2 3 2 2

1 2 (2)原式= + × 2 2 3 1 (3)原式= × + 2 2

考点一 锐角三角函数定义 a 在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,则 sinA= ,cosA c ∠A的对边 ∠A的邻边 ∠A的对边 b a b = , tanA= , cotA= , 或者根据 sinA= , cosA= , tanA= , c b a 斜边 斜边 ∠A的邻边 ∠A的邻边 cotA= . ∠A的对边

考点二特殊角的三角函数值

考点三 1.解直角三角形的定义 由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直 .. 角三角形.(直角三角形中,除直角外,一共有 5 个元素即 3 条边和 2 个锐角) 2.直角三角形的边角关系 在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c. (1)三边之间的关系:a2+b2=c2; (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90° ; (3)边角之间的关系: a b a b b a b sinA=c,cosA=c,tanA=b,cotA=a,sinB= c,cosB=c,tanB=a , a cotB=b. (4)因为锐角之间的关系:∠A+∠B=90° ; 所以有 sinA=cos(90o - B) sin2A+cos2B=1 sin2A+sin2(90-B)=1

解直角三

(1)(2010· 哈尔滨)在 Rt△ABC 中, ∠C=90° ∠B=35° AB=7, BC 的长为( , , 则 7 A.7sin35° B. C.7cos35° D.7tan35° cos35° 4 (2)(2010· 黄冈)在△ABC 中,∠C=90° ,sinA= ,则 tanB=________.( ) 5 4 3 3 4 A. B. C. D. 3 4 5 5

)

(3)(2010· 江西)计算:sin30°cos30° · -tan30° =________(结果保留根号).
【点拨】本组题主要考查锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值. BC 【解答】(1)在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,cosB= , AB ∴BC=AB· cosB=7 cos35° ,故选 C. 4 BC 4 (2)∵sinA= ,∴ = ,于是设 BC=4a,AB=5a.在 Rt△ABC 中,由勾股定理,可得 5 AB 5 AC=3a. AC 3a 3 ∴tanB= = = .故选 B. BC 4a 4 1 3 3 3 (3)原式= × - =- . 2 2 3 12

(4)(2009· 株州)如图,在△ABC 中,∠C=90° ,点 D、E 分别在 AC、AB 上, 3 BD 平分∠ABC,DE⊥AB,AE=6,cosA=5. 求①DE、CD 的长;②tan∠DBC 的值.
【点拨】解直角三角形的关键在于灵活地选择正确的关系式,选择的标准是关系式中既 包括已知量又包括未知量.

50课P77

【解答】

AE 6 (2)解:①∵DE⊥A, ∴∠DEA=90° Rt△AED 中,cosA=AD,即AD= .在 3 ,∴AD=10.根据勾股定理得 DE= AD2-AE2= 102-62=8.又∵DE⊥AB, 5 DC⊥BC,BD 平分∠ABC,∴DC=DE=8. AC 18 3 ②∵AC=AD+DC=10+8=1

8,在 Rt△ABC 中,cosA=AB,即AB=5, ∴AB=30.根据勾股定理得 BC= AB2-AC2= 302-182=24. DC 8 1 ∴在 Rt△BCD 中,tan∠DBC= BC =24=3.

考点一 解直角三角形的应用中的相关概念 1.仰角、俯角:如图①,在测量时,视线与水平线所成的角中,视线在水平 线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角.

2.坡度(坡比)、坡角:如图②,坡面的高度 h 和水平距离 l 的比叫坡度(或坡 h 比),即 i=tanα= l ,坡面与水平面的夹角 α 叫坡角.

3.方向角:指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于 90° 的水平角,叫 做方向角.如图③,表示北偏东 60° 方向的一个角. 注意:东北方向指北偏东 45° 方向,东南方向指南偏东 45° 方向,西北方向指 北偏西 45° 方向,西南方向指南偏西 45° 方向.我们一般画图的方位为上北下南, 左西右东.

考点二 直角三角形的边角关系的应用 日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题,因此,直 角三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用,在应用时要注 意以下几个环节: (1)审题,认真分析题意,将已知量和未知量弄清楚,找清已知条 件中各量之间的关系,根据题目中的已知条件,画出它的平面图或截 面示意图. (2)明确题目中的一些名词、术语的含义,如仰角、俯角、跨度、 坡角、坡度、方位角等. (3)是直角三角形的, 根据边角关系进行计算; 若不是直角三角形, 应大胆尝试添加辅助线,把它们分割成一些直角三角形和矩形,把实 际问题转化为直角三角形进行解决. (4)确定合适的边角关系,细心推理计算. (5)在解题过程中,既要注意解有关的直角三角形,也应注意到有 关线段的增减情况.

(1)(2010· 温州)如图,已知一

商场自动扶梯的长 l 为 10 米,该自动扶梯到达的高度 h 为 6 米,自动扶梯与 地面所成的角为 θ,则 tanθ 的值等于( ) 3 4 3 4 A.4 B.3 C.5 D.5

(2)(2010· 湖州)河堤横断面如图所示,堤高 BC=5 米,迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3(坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比),则 AC 的长是( A.5 3米 B.10 米 C.15 米 D.10 3米 )

(3)(2010· 深圳)如图,一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向,距离灯塔 40 2海里 的 A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 30° 方向上的 B 处,则海轮行驶的路程 AB 为________海里(结果保留根号).
【点拨】本组题重点考查解直角三角形的应用及有关概念.准确掌握直角三角形的两锐 角间的关系、三边之间的关系、边角关系是解题的关键.

【解答】(1)由勾股定理得,∠θ 的邻边= l2-h2= 102-62=8. ∠θ的对边 6 3 由三角函数的定义得 tanθ= = =

,故选 A. ∠θ的邻边 8 4 (2)∵坡比是坡面铅直高度 BC 和水平宽度 AC 的比值, ∴BC∶AC =1∶ 3.而 BC=5 米,∴AC=BC· 3=5 3米,故选 A. (3)在 Rt△APC 中,AP=40 2,∠A=45° ,则 AC=PC=PA· sinA 2 PC =40 2× 2 =40.在 Rt△PBC 中, PC=40, ∠B=30° 则 BC=tanB= , 40 =40 3.所以海轮行驶的路程 AB=AC+BC=40+40 3(海里). 3 3

(2010· 长沙)为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状, 交警队 在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图).已知立杆 AB 高度是 3 m,从侧面 D 点测得显示牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角分别是 60° 45° 和 .求路况显示牌 BC 的高度.
【点拨】把实际问题转化为数学问题,注意两个转化:一是把实际问题的图形转化为数 学图形,画出正确的平面或截面示意图;二是将已知条件转化为示意图中的边角关系.如果 所转化的示意图不是直角三角形,可添加辅助线构造直角三角形.

【解答】在 Rt△ADB 中,∠BDA=45° ,AB=3,∴AD=3. CA 在 Rt△ADC 中,∠CDA=60° ,∴tan60° = . AD ∴CA=3 3,∴BC=CA-BA=3 3-3(米). 答:路况显示牌 BC 的高度是(3 3-3)米.


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