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14.3.1 等腰三角形

发布时间:2014-01-13 10:44:38  

八年级

(上 册)

义务教育课程标准实验教科书

八年级数学

第十四章

轴对称

等腰三角形

从数学的观点去思考,你观察到了什么图形?

魁星阁

金字塔

侗寨吊脚楼

等腰三角形
一.基本概念 1.定义: 两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图AB=AC,?ABC就是等腰三角形

2.等腰三角形的基本要素:

顶角 A

相等的两边叫做腰
另一边叫做 底边 两腰的夹角叫做顶角 腰和底边的夹角叫做底角
B





C

底角

底边

底角

B

A

C

B
AC=BC 腰: AC,BC A 腰: AB=CB AB,CB B A, C

C

底边: AB

底边: AC 顶角: 底角:

顶角:
底角:

C A, B

二.等腰三角形性质的探索
做一做1: (1)把你们准备的顶角分别为锐角、直角和钝角的等腰三 角形拿出来;
(2)把三角形的顶角顶点记为A,底角顶点记为B,C。

(3)把三角形对折,让两腰AB,AC重叠在一起,折痕为 AD。
A
A

观察后你发现了什么现象?

B

D

C

B

D

C

1、等腰三角形是轴对称图形 2、∠ B =∠ C 3、BD = CD ,AD 为底边上的中线 4、∠ADB = ∠ADC = 90°,AD为底边上的高 5、∠BAD = ∠CAD ,AD为顶角平分线 A

问题1、结论(2)用文字如何表述?
等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”)

B

D

C

问题2、结论(3)、(4)、(5)用一句话可以归纳为什么?

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合,简称“三线合一”
A
(1)“等腰三角形”是三线合一的大前 提 A

(2)要注意是哪三线? C

B

D

G E F B

做一做2:画出手中等腰三角形的某一底 角平分线、对边(腰)上的中线和高,看 是否重合?

C

如图:BF为AC边上的高,BE为 ABC的平分线, BG为AC边上的中线

如何证明:等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”)

已知:如图△ABC中AB=AC 求证:∠B=∠C 证明:过A作AD⊥BC于D 在Rt△ABD和Rt△ACD中
AB=AC(已知) AD=AD(公共边) ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)B

A

D

∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等) 思考1:还有其他的证明方法吗? 思考2:你有办法证明等腰三角形的“三线合一”吗?



C

等腰三角形的性质
1、等腰三角形的两个底角相等
(简称“等边对等角”) 2、等腰三角形的 顶角平分线、底边上的高和底边上的中线

互相重合(简称“三线合一”)
要注意是指顶角 的平分线、底边 上的高、底边上 的中线这三线重 合。

一般的三角 形有这种性 质吗?

等腰三角形的性质
①在ΔABC中,∵AB=AC, ∴ ∠B=∠C( 等边对等角)

A

②在△ABC中, AB=AC时, (1)∵AD⊥BC,
∴∠BAD ____ = ∠CAD ____,___= BD ___ CD
B D C

(2)∵AD是中线,
∴___⊥___ AD BC ,∠____ BAD =∠____ CAD (3)∵AD是角平分线,

等腰三角形底边上 的中线和高线、顶 角的平分线互相重 合。

∴___ AD ⊥___ BC ,___ BD =___ CD

例1、已知:在△ABC中,AB = AC,∠B = 80°, A 求∠C 和 ∠A的度数。

解:
因为
所以 又

AB =AC
∠B = ∠C = 80° ∠A + ∠ B + ∠C = 180°

B

C

所以 ∠A = 180°- 80° - 80°= 20°

例2:

A

(2)当?A ? 140 ?时,求?BCD的度数;

D C

(3)当?A ? ?时,求?BCD的度数;

B

例3、如图,在△ABC中,AB = AC,D是BC边上的中点, ∠B = 30°,求 ∠1 和 ∠ADC的度数。

解:
1 因为等腰三角形的“三线合一” 所以AD是△ABC的顶角平分线、 底边上的高,即 B

A 2

D

C

∠1 = ∠ 2 ∠ADC = 90°
因为 所以 ∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°

?BAC ?1 ? ? 600 2

巩固练习: 1.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为

70°,40°或55°,55° ___________________ 35°,35° ________
2.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为

3等腰三角形有两边长为6和8,则该等腰三角形的周长为

20或22

4.等腰三角形有两边长为4和8,则该等腰三角形的 周长为 20

例5、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900, ∠CAB的平分线AD交BC于D,AB边上的高线CE 交AB于E,交AD于F,求证:CD=CF B

分析: CD=CF ∠1=∠2
∠1=∠B+∠BAD ∠2=∠3+∠DAC D
1 2

E F A

∠3=∠B ∠ACB =90°,CE是AC边上高

C

3

挑战:已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分

成2:1两部分,已知三角形底边长为5,求腰长?

解:如图,令CD=x,则AD=x,AB=2x


∵底边BC=5 x


∴BC+CD=5+x

2x

AB+AD=3x
x ∴(5+x):3x=2:1




5

或3x:(5+x)=2:1

例6.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD=BC, AD=DE=EB,求∠A的度数. A 解:设∠A=x ,∠EBD=y,∠C=z ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C=z x ∵BD=BC ∴∠C=∠BDC=z D ∵BE=DE ∴∠EBD=∠EDB=90° x y z E ∵AD=DE ∴∠A=∠AED=x 又∵∠BDC=∠A+∠ABD, y z ∠AED=∠EBD+∠EDB B (三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∠A+∠ABC+∠ACB=180°(三角形内角和为 180°) x ? 2y ? ∴解得x=45° ? 即:∠A=45° ? z ? x? y

C

? x ? z ? z ? 180 ?

挑战7:如图,已知CE、CF分别平分 ∠ACB和它的外角,EF∥BC,EF交AC 于D,你能说明DE=DF的理由吗?
A E D F

B

C

G

达标练习二(B水平)
1、若等腰三角形的一个内角为 40°,则它的另外两 70°,70°或40°,100 ° 个内角为__________________ 2、 若等腰三角形的一个内角为120°,则它的另外两 30°,30° 个内角为______
结论:在等腰三角形中,已知一个角,就可以求出另外两个角。 ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°-2×底角 ③ 底角=(180°-顶角)÷2 ④当已知任意一个内角时,则要分情况讨论

1、等腰三角形的性质: 等边对等角 2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边

上的高互相重合(三线合一) 3、“三线合一”性质在实际应用中,只要推出

其中一个 结论成立,其它两个结论一下成立,
所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。



见!


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