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最经典的初中圆复习课件[1]1

发布时间:2014-01-13 10:44:40  

与圆有关的概念

连接圆上任意两点的线段(如图AC) 叫做弦, 经过圆心的弦(如图中的AB)叫做直径.
B O

·
C

A


圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A、B ⌒ ,读作“圆弧AB”或“弧 为端点的弧记作 AB AB”.

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧, 每一条弧都叫做半圆.
B O

·
C

A

劣弧与优弧 小于半圆的弧叫做劣弧.
大于半圆的弧叫做优弧.

(如图中的AC)



⌒ (用三个字母表示,如图中的ACB)
B O

·
C

A

想一想

判断下列说法的正误:

(1)弦是直径; (2)半圆是弧; (3)过圆心的线段是直径; (4)过圆心的直线是直径; (5)半圆是最长的弧; (6)直径是最长的弦; (7)等弧就是拉直以后长度相等的弧

请将自己所画的圆与同伴所画的 圆进行比较, 它们是否能够完全重

合?并思考什么情况下两个圆能够完
全重合? 半径相等的两个圆叫做等圆。 r r O2

O1
判断题

圆心相同,半径相等的两个圆是同心圆;
半径相等的两个圆是等圆.

弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。 等圆:能够重合的两个圆叫做等圆,易知同圆或等圆的 半径相等。 同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同 心圆 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 等弧应同时满足两个条件:1)两弧的长度相等, 2)两弧的度数相等。

注意:

1、直径是弦,而弦不一定是直径; 2、半圆是弧,而弧不一定是半圆; 3、两条等弧的度数相等,长度也相等, 反之,度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。

C

即直径CD垂直于弦AB,平分弦AB, ⌒及ACB ⌒ 并且平分AB

·
E A B D

O

垂径定理:垂直于弦的直径平分 弦,并且平分弦所对的两条弧.

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦 所对的两条弧.

“知二推三”
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.

垂径定理的推论
?

如图,在下列五个条件中:

⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC,

⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ⑤AD=BD.
C

A

M└


B O
? ?

你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!

D

C

A
条件 ①② ①③ 结论

垂径定理及推论
命题

M└


B
O

③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧 .

①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤

②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧.
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条

弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.

③④
③⑤ ④⑤

①②⑤

平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.

一、判断是非: (1)平分弦的直径,平分这条弦所对的弧。 ?

(2)平分弦的直线,必定过圆心。
(3)一条直线平分弦(这条弦不是直径), 那么这 条直线垂直这条弦。
A C O D A C ?O B A C

?

?

?O B

(1) B

(2) D

(3) D

(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。

?

(5)平分弧的直线,平分这条弧所对的 弦。 ? (6)弦垂直于直径,这条直径就被弦平分。 ?

(7)平分弦的直径垂直于弦 ?
C B ?O A C B C ?O A D A ?O E D (6)

B

(4)

(5)

圆心角:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的 角,叫做圆周角. A
A O· B


O

B

C

弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所 对的弧相等,所对的弦也相等. 在同圆(或等圆)中,如果圆心角、 弧、弦有一组量相等,那么它们所 对应的其余两个量都分别相等。

?

? 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 :
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C



A O

A C


C B


O

O

B

B

圆周角定理: 同弧 (等弧) 所对的圆周角相等.
都等于这条弧所对的圆心角的一 半.

思考:

在同圆或等圆中

相等的圆周角所对的弧相等 吗?

在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等.
A B

如图, 若 AC = BD 则 ∠ D=∠A





C

D

∴AB∥CD

B
?

1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°, 求∠A的大小. 解: ∠A
1 = ∠BOC = 25°. 2
A

C


O

C A B

如图,AB是直径,则∠ACB=____ 90 度

O

半圆(或直径)所对的圆周角是直角,

90度的圆周角所对的弦是直径。

A

如图,设⊙O 的半径为r, C A点在圆内 OA<r B点在圆上 OB=r OC>r C点在圆外 OA<r OB=r OC>r

O

r

B

反过来,如果已知点到圆心的距离和圆的半径之 间的关系,可以判断点和圆的位置关系?

点A在⊙O内

点B在⊙O上
点C在⊙O外

点与圆的位置关系
读作“等价 于”,它表示 设⊙O 的半径为r,点 P到圆心的距离OP=d, 从符号左端可 以得到右端, 则有: p d 也可以从右端 点P在⊙O内 d得到左端。 <r r

点P在⊙O上 点P在⊙O外

d=r
d>r

r

d p

P d r

1、平面上有一点A,经过已知A点的圆有 几个?圆心在哪里?




O O





A


O



O

O

无数个,圆心为点A以外任意一点,半径为这 点与点A的距离

2、平面上有两点A、B,经过已知点A、B

的圆有几个?它们的圆心分布有什么特点?

●O O ●

无数个。它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上。 以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,以这点 到A或B的距离为半径作圆.



O

3、平面上有三点A、B、C,经过A、B、C 三点的圆有几个?圆心在哪里?
经过A,B两点的圆的圆心在线段 AB的垂直平分线上. 经过B,C两点的圆的圆心在线段 AB的垂直平分线上. ?经过A,B,C三点的圆的圆心应该这 两条垂直平分线的交点O的位置.


A



B





O


C

归纳结论:
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个. 经过三角形三个顶点的圆叫做三 角形的外接圆。 三角形外接圆的圆心叫做这个 三角形的外心。 B 这个三角形叫做这个圆的内 接三角形。
A



O
C

三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分 线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等。

一个三角形的外接圆有几个? 一个圆的内接三角形有几个?

分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三 角形,再画出它们的外接圆,观察并叙述各三角形 与它的外心的位置关系.
A A


A


O C B ┐

O C



O

B

B

C

锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.

直线与圆有三种位置关系 O O O 相切 相交 (1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交。 这时直线叫做圆的割线。 相离

l

(2)相切:直线与圆有唯一个公共点时,叫做直线和圆相切。
这时直线叫做圆的切线。

(3)相离:直线与圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。

探索与发现

直线与圆位置关系的数量特征

演示

O d1

r

O d2 相切

r

O d3

r

相离

相交 (1)直线 l 和 ⊙O 相交 (2)直线 l 和 ⊙O 相切 (3)直线 l 和 ⊙O 相离

d1 ? r d2 ? r

d3 ? r

符号“ ”读作“等价于”。它表示从左端可以推出右端 并且从右端也可以推出左端。

1、直线 与圆的位置关系表: 直线和圆的位置关系 相交

公共点个数
圆心到直线距离 d 与半径 r 关系 公共点名称 直线名称

2
d<r

相切 1 d=r

相离 0 d>r 无 无

交点
割线

切点
切线

2、本节课利用(1)类比点与圆的位置关系,从运动变化的观 点来研究直线和圆的位置关系; (2)利用了分类的思想把直线和圆的位置关系分为三类讨论; (3)用了数形结合的思想,通过 d 与 r 这两个数量之间的关系 来研究直线和圆的位置关系。

切线的判定定理
? 定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线. B
O D

如图 ?∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A 点,且CD⊥OA, ?∴ CD是⊙O的切线

.
?



老师提示: ? 切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根 据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.
?

C

A

切线的性质定理
? 定理

圆的切线垂直于过切点的半径.

B

? 如图∵CD是⊙O的切线,A是

切点,OA是⊙O的半径, ? ∴CD⊥OA.
?



O D

老师提示: ?切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作 过切点的半径是常用经验辅助线之一.

C

A

切线判定定理的应用
?

1.已知⊙O上有一点A,你能过点A点作出⊙O的切线吗?
O






O



P

A

?

2.已知⊙O外有一点P,你还能过点P点作出⊙O的切线吗?

?
?

老师提示:

根据“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线”只要连接OA,过点A作OA的垂线即可.

经过圆外一点的切线,这点和切点之 间的线段的长,叫做这个点到圆的切线长
A P O P

A B

切线长定理: 从圆一点外可以引圆的两条切线,它 们的切线长相等,这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。

三角形与圆的位置关系
?

从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都 A A 相切?
I
● ●

I ●


B
?



C

B



C

老师提示: ?假设符合条件的圆已作出,则它的圆心到三边的距离 相等.因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上,半径 为圆心到三边的距离.

三角形与圆的位置关系
? 这圆叫做三角形的内切圆.这个 A

三角形叫做圆的外切三角形.
? 内切圆的圆心是三角形三


I

条角平分线的交点,叫做三 角形的内心.

B

C

外离:两圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另
一个圆的外部时,叫做两圆外离.

切点

外切:两圆只有一个公共点,并且除了公共点外,
每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两圆外切.

这个公共的点叫做切点.

相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交. 切点

内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一
个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切. 这个公共点叫做切点.

特例

内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.

圆 圆 与 和 圆 圆 的 的 位 位 置 置 关 关 系 系

外离 内含 外切 内切 相交

没 有 公 共 点 一 个 公 共 点 两 个 公 共 点

相 离

相 切

相 交

两圆位置关系的性质与判定:
位置关系

0

两圆外离 两圆外切

性质
内 判定 切

R ―r

同 心 两圆内切 内 圆 两圆内含 含

两圆相交

位 d置 关 d =R+ r 1 系 R? r <d <R+ r 2 数 外 R? r =d 切 外1 字 相 离0 R? r >d 交 化
d 和R、 r关系 交 点 R+r d >R+ r 0

1

如图⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一点,OP=8cm。 若以P为圆心作⊙P与⊙O相切,求⊙P的半径? 解:设⊙P的半径为R (1)若⊙O与⊙P外切, 则 OP=5+R =8 R=3 cm (2)

若⊙O与⊙P内切, 则 OP=R-5=8, R=13 cm 所以⊙P的半径为3cm或13cm

O

. .

P

小结:
1)两圆的五种位置关系

2)用两圆的圆心距d与两圆的半径R,r的数量 关系来判别两圆的位置关系

知识精华:
1.中心:一个正多边形外 F 接圆的圆心叫做这个正多 边形的中心. 2.半径:正多边形外接圆的 半径叫做这个正多边形的 半径.

A
O

B C
D

E

G

3.中心角:正多边形每以边 所对的外接圆的圆心角叫 做这个正多边形的中心 角. 4.边心距:中心到正多边形 一边的距离叫做这个正多 边形的边心距.

一、知识要点概述
1、弧长公式和扇形面积公式 n°的圆心角所对的弧长l和含n°圆心角的扇形的面 积公式不要死记硬背,可依比例关系很快地随手推来:
l n S扇形 n ∵ = , = , 2 2πR 360 πR 360 nπR n ∴l = , S扇形 = πR 2 180 360

这样就不至于因死记硬背而出错.

将弧长公式代入扇形面积公式中,立即得到用弧长
和半径表示的扇形面积公式:S

1 扇形 = lR 2

这一公式与三角形面积公式酷似.为了便于记忆, 只要把扇形看成一个曲边三角形,把弧长l看成底、R看 成底边上的高即可.

2、弓形面积 弓形面积可以看作是扇形面积和三角形面积的分解
与组合,实际应用时,可根据图形直观选用下列公式: ①当弓形所含的弧是劣弧时,如图(甲),S弓形=S扇形OAB -S△AOB;

②当弓形所含的弧是优弧时,如图(乙),

1 ③当弓形所含的弧是半圆时,如图(丙), S弓形 = S圆 2

3、圆锥的基本特征 如图:

①圆锥的轴通过底面的圆心,并且垂直于底面; ②圆锥的母线长都相等; ③经过圆锥的轴的平面被圆锥截得的图形是等腰三 角形.

如图,△SAB就是一个经过圆锥的轴的截面,简称

为轴截面,它是一个等腰三角形,底边AB是底面圆的直
径,腰是圆锥的母线,高是圆锥的高,它的顶角叫做锥 角,锥角的大小反映了圆锥母线对于底面的倾斜程度.

4、圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是一个扇形,其半径等于圆锥的 母线长,弧长等于圆锥底面圆周长. 如图,若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则它的
?2πr = πrl , 即S侧=πrl,∴S全=S侧+S底=πrl 侧面积,S侧 = l ? 1 2

+πr2=πr(l+r).

注意:扇形的弧长就
是底面圆的周长,扇形

的半径就是母线长.

二、重难点知识归纳

弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面
积.

三、典型例题赏析
例1、如图,△ABC是正三角形.曲线CDEF…叫
? 、 ? 、 ? …的圆心依次按 做正三角形的渐开线,其中 CD DE EF

A、B、C循环,它们依次相连结.如果AB=1,那么曲线
CDEF的长是多少?


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