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2009-2013年北京市中考试题之代几综合题集锦

发布时间:2014-01-13 10:44:43  

2009-2013年北京市中考试题之代几综合题集锦

例1.(2013年北京市25.)对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在两

个点A,B,使得∠APB=60°,则称P为⊙C 的关联点。已知点D(

0)

(1)当⊙O的半径为1时,

①在点D,E,F中,⊙O的关联点是__________;

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线l上的点P(m,n)是⊙O的关联点,求m的取值范围;

(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围。

11,),E(0,-2),F(23,22

【考点】二次函数综合题。

【难度】中等。

【点评】前两问都比较简单,第三问有一定难度,考察学生对于函数图象平移的理解,以及对于直线与抛物线位置关系的运用。此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标,带入直线解析式即可得到n的取值范围该题目在初三强化提高班 讲座1 专题讲座 第八章 总复习 讲座2 综合复习 部分做了专题讲解,中考原题与讲义中给出的题目十分相似,考查的知识点及解题方法完全相同。 解:(1)①在D,E,F中,⊙O的关联点是D,E.??????????????2分

②当OP=2时,

过点P向⊙O作两条切线PA,PB(A,B为切点),则∠APB=60°

∴ 点P为⊙O的关联点

事实上,当0≤OP≤2时,点P是⊙O的关联点;当OP>2时,点P

不是⊙O的关联点

() ∵

F,且∠GFO=30°,

∴∠OGF=60°,OF=OG=2

如图,以O为圆心,OG为半径作圆,设该圆

与l的另一个交点为M

当点P在线段GM上时,OP≤2,点P是⊙O

的关联点;

当点P在线段GM的延长线或反向延长线上时,OP>2,点P不是⊙O的 关联点

连结OM,可知△GOM为等边三角形???????????????3分 过点M作MN⊥x轴与点N,可得∠MON=30°,ON

∴ 0≤m

5分

(2)设该圆的圆心为C.

根据②可得,若点P是⊙C的关联点,则0≤PC≤2r.

由题意,点E,F都是⊙C的关联点,

∴ EC≤2r,FC≤2r.???????????????????????6分 ∴ EC+FC≤4r.

又∵ EC+FC≥EF(当点C在线段EF上时,等号成立),

∴ 4r≥EF.???????????????????????????7分

() ∵ E(0,-2),

F,

∴ EF=4.

∴ r≥1.

事实上,当点C是EF中点时,对所有r≥1的⊙C,线段EF上的所有点 都是⊙C的关联点.

综上所述,r≥1.?????????????????????????8分 例2.(2012年北京市25.)

在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,给出如下定义:

若|x1?x2|≥|y1?y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1?x2|;

若|x1?x2|?|y1?y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1?y2|.

例如:点P2),点P2(3,5),因为|1?3|?|2?5|,所以点P1与点P2的1(1,

离”为|2?5|?3,也就是图1中线段PQ与线段P2Q长度的较大值(点Q1“非常距为垂直于

与垂直于x轴的直线P2Q的交点)。 y轴的直线PQ1

1 (1)已知点A(?,0),B为y轴上的一个动点, 2

①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标; ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;

3 (2)已知C是直线y?x?3上的一个动点, 4

①如图2,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐

标;

②如图3,E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”

的最小值及相应的点E和点C的坐标。

【解析】⑴ ①?0,?2?或?0,2? ②1 2

33??⑵ ①设C坐标?x0x0?3? ∴当?x0?x0?2 44??

88?815?此时x0?? ∴距离为 此时C???. 77?77?

3348?34?②E??? ??x0?x0?3? ∴x0?? ∴5455?55?

?89?C??? ?55?

最小值1。

【点评】此题是第一次在代数题目中用到了定义新运算,题目很新颖。知识点跨度较大。需要考生们有较

强的阅读理解能力和图形操作与分析能力。计算并不复杂,关键在于对几何图形最值问题的探讨。对“水平距、铅垂高”的对比分析应用。

本题考点:平面直角坐标系、一次函数图像与坐标轴的交点、相似形

难度系数:(1)问:0.6;(2)问:0.35

例3.(2011年北京市25.)

如图,在平面直角坐标系xOy中,我把由两条射线AE,BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注:不含AB线段).已知A(﹣1,0),B(1,0),AE∥BF,且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上.

(1)求两条射线AE,BF所在直线的距离;

(2)当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时,写出b的取值范围;

当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时,写出b的取值范围;

(3)已知?AMPQ(四个顶点A,M,P,Q按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上,且不都在两条射线上,求点M的横坐标x的取值范围.

考点:一次函数综合题;勾股定理;平行四边形的性质;圆周角定理。

专题:综合题;分类讨论。

分析:(1)利用直径所对的圆周角是直角,从而判定三角形ADB为等腰直角三角形,其直角边的长等于

两直线间的距离;

(2)利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围即可;

(3)根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上,可能会出现四种情况,分类讨论即可. 解答:解:(1)分别连接AD、DB,则点D在直线AE上,

如图1,

∵点D在以AB为直径的半圆上,

∴∠ADB=90°,

∴BD⊥AD,

在Rt△DOB中,由勾股定理得,BD=

∵AE∥BF,

∴两条射线AE、BF所在直线的距离为. ,

(2)当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时,b的取值范围是b=或﹣1<b<1; 当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时,b的取值范围是1<b<

(3)假设存在满足题意的平行四边形AMPQ,根据点M的位置,分以下四种情况讨论:

①当点M在射线AE上时,如图2.

∵AMPQ四点按顺时针方向排列,

∴直线PQ必在直线AM的上方,

∴PQ两点都在弧AD上,且不与点A、D重合,

∴0<PQ<.

∵AM∥PQ且AM=PQ,

∴0<AM<

∴﹣2<x<﹣1,

②当点M不在弧AD上时,如图3,

∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列,

∴直线PQ必在直线AM的下方,

此时,不存在满足题意的平行四边形.

③当点M在弧BD上时,

设弧DB的中点为R,则OR∥BF,

当点M在弧DR上时,如图4,

过点M作OR的垂线交弧DB于点Q,垂足为点S,可得S是MQ的中点.

∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形, ∴0≤x<.

当点M在弧RB上时,如图5,

直线PQ必在直线AM的下方,

此时不存在满足题意的平行四边形.

④当点M在射线BF上时,如图6,

直线PQ必在直线AM的下方,

此时,不存在满足题意的平行四边形.

综上,点M的横坐标x的取值范围是

﹣2<x<﹣1或0≤x<.

点评:本题是一道一次函数的综合题,题目中还涉及到了勾股定理、平行四边形的性质及圆周角定理的相关知识,题目中还渗透了分类讨论思想.

例4.(2010年北京市25.)

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x+2x+m﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,2

n)在这条抛物线上.

(1)求点B的坐标;

(2)点P在线段OA上,从O点出发向点运动,过P点作x轴的垂线,与直线OB交于点E.延长PE到点

D.使得ED=PE.以PD为斜边,在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时,C点、D点也随之运动)j当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;k若P点从O点出发向A点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动,P点也同时停止运动).过Q点作x轴的垂线,与直线AB交于点F.延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时,M点,N点也随之运动).若P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.

考点:二次函数综合题。

专题:综合题。

分析:(1)由抛物线y=﹣x+2x+m﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O,令x=0,y=0,解得m的值,2

点B(2,n)在这条抛物线上,把该点代入抛物线方程,解得n.

(2)设直线OB的解析式为y=k1x,求得直线OB的解析式为y=2x,由A点是抛物线与x轴的一个交点,可求得A点的坐标,设P点的坐标为(a,0),根据题意作等腰直角三角形PCD,如图1.可求得点C的坐标,进而求出OP的值,依题意作等腰直角三角形QMN,设直线AB的解析式为y=k2x+b,求出直线AB的解析式,当P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况,解出各种情况下的时间t.

解答:解:(1)∵抛物线y=﹣

∴m﹣3m+2=0,

解得m1=1,m2=2,

由题意知m≠1,

∴m=2,

∴抛物线的解析式为y=﹣x+x,

∵点B(2,n)在抛物线y=﹣x+x上,

∴n=4,

∴B点的坐标为(2,4).

(2)设直线OB的解析式为y=k1x,

求得直线OB的解析式为y=2x,

∵A点是抛物线与x轴的一个交点,可求得A点的坐标为(10,0),

设P点的坐标为(a,0),

则E点的坐标为(a,2a),

根据题意作等腰直角三角形PCD,

如图1,可求得点C的坐标为(3a,2a),

由C点在抛物线上,

得:2a=﹣′(3a)+′3a, 即a﹣

解得a1=22222x+2x+m﹣3m+2经过原点, 2a=0, ,a2=0(舍去),

∴OP=.

依题意作等腰直角三角形QMN,设直线AB的解析式为y=k2x+b,

由点A(10,0),点B(2,4),求得直线AB的解析式为y=﹣x+5,

当P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况: 第一种情况:CD与NQ在同一条直线上.

如图2所示.可证△DPQ为等腰直角三角形.此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位. ∴PQ=DP=4t,

∴t+4t+2t=10, ∴t=.

第二种情况:PC与MN在同一条直线上.如图3所示.可证△PQM为等腰直角三

角形.此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位.

∴OQ=10﹣2t,

∵F点在直线AB上,

∴FQ=t,

∴MQ=2t,

∴PQ=MQ=CQ=2t,

∴t+2t+2t=10,

∴t=2.

第三种情况:点P、Q重合时,PD、QM在同一条直线上,如图4所示.此时OP、

AQ的长可依次表示为t、2t个单位.

∴t+2t=10, ∴t=.

,2,

综上,符合题意的t值分别为

点评:本题是二次函数的综合题,要会求抛物线的解析式,讨论分类情况,此题比较繁琐,做题多加用心.

例5.(2009年北京市25.)

如图,在平面直角坐标系xOy中,?ABC三个机战的坐标分别为A??6,0?,B

?6,0?,C0,,延长AC到点D,使CD=?1AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E. 2

(1)求D点的坐标;

(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线y?kx?b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;

(3)设G为y轴上一点,点P从直线y?kx?b与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。(要求:简述确定G点位置的方法,但不要求证明)

解:(1)∵A(?6,

0),C(0∴OA?6,OC?

设DE与y轴交于点M.

由DE∥AB可得△DMC∽△AOC.

1AC, 2

MDCMCD1∴???.

OACOCA2又CD?

∴CM?MD?3.

同理可得EM?3.

∴OM?

. ∴D

点的坐标为(3. (2)由(1)可得点M

的坐标为(0由DE∥AB,EM?MD,

可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线.

∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上. ∴ED与CF互相垂直平分.

∴CD?DF?FE?EC. ∴四边形CDFE为菱形,且点M为其对称中心. 作直线BM.

设BM与CD、EF分别交于点S、点T.可证△FTM≌△CSM.

∴FT?CS.

∵FE?CD,

∴TE?SD.

∵EC?DF,

∴TE?EC?CS?ST?SD?DF?FT?TS.

∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形. 在直线y?kx?b上, 由点B(6,

0),点M(0可得直线BM

的解析式为y??

(3)确定G点位置的方法:过A点作AH⊥BM于点H.则AH与y轴的交点为所求的G点.

由OB?6,OM?

可得?OBM?60°,

∴?BAH?30°.

在Rt△

OAG中,OG?AO?tan?BAH?.

.(或G点的位置为线段OC的中点) ∴G

点的坐标为(0【解析】借助△DMC∽△AOC,根据相似三角形的性质得点D的坐标;(2)先说明四边形CDFE是菱形,且其对称中心为对角线的交点M,则点B与这一点的连线即为所求的直线,再结合全等三角形性质说明即可,由点B、M的坐标求得直线B M的解析式。(3)过点A作MB的垂线,该垂线与y轴的交点即为所求的点G。

再结合由OB、OM的长设法求出∠BAH。借助三角函数求出点G的坐标。本题第三问是难点,学生主要不会确定点G的位置。

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