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一元二次方程知识点总结

发布时间:2014-01-13 12:56:30  

知识点一、一元二次方程的有关概念

1.一元二次方程的概念:

通过化简后,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式:

3.一元二次方程的解:

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.

知识点二、一元二次方程的解法

1.直接开方法;

2.配方法;

用配方法解一元二次方程的一般步骤:

① 把原方程化为的形式;

② 将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为1;

③ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方;

④ 再把方程左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;

⑤ 若方程右边是非负数,则两边直接开平方;求出方程的解;如果右边是一个负数,则判定此方程无 实数解.

3.公式法;

(1)一元二次方程求根公式:

一元二次方程,当时,

(2)一元二次方程根的判别式.

①当时,原方程有两个不等的实数根

②当时,原方程有两个相等的实数根; ③当时,原方程没有实数根.

(3)用公式法解关于x的一元二次方程的步骤: ①把一元二次方程化为一般形式;

②确定a、b、c的值;

③求出的值;

④若,则利用公式求出原方程的解; 若,则原方程无实根.

4.因式分解法;

(1)用因式分解法解一元二次方程的步骤:

①将方程右边化为0;

②将方程左边分解为两个一次式的积;

③令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程;

④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.

(2)常用因式分解法:

提取公因式法,平方差公式、完全平方公式.

知识点三、列一元二次方程解应用题

1.列方程解实际问题的三个重要环节:

一是整体地、系统地审题;

二是把握问题中的等量关系; . ;

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.

解决应用题的一般步骤:

审(审题目,分清已知量、未知量、等量关系等);

设(设未知数,有时会用未知数表示相关的量);

列(根据题目中的等量关系,或将一个量表示两遍,由此得到方程);

解(解方程,注意分式方程需检验,将所求量表示清晰);

答(切忌答非所问).

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题.

知识点四、一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根是x1, x2,那么

注意它的使用条件为a≠0, Δ≥0.

知识点一:一元二次方程的定义及解法 .

只含有一个未知数,且未知数的最高次数是________,这样的整式方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的常见解法

(1)__________;(2)__________;(3) ;(4) .

例1:(2009·新疆建设兵团)解方程:(x?3)?4x(x?3)?0.

【解析】可以用因式分解法或公式法解一元二次方程.

解法一:(x?3)?4x(x?3)?0 22

(x?3)(x?3?4x)?0

(x?3)(5x?3)?0

x?3?0或5x?3?0

x1?3,x2?3 5

解法二:x2?6x?9?4x2?12x?0

25x?18x?

9?0x??18?12 10

3 5x1?3,x2?

同步测试:

1. (2009·浙江省台州市)用配方法解一元二次方程x2?4x?5的过程中,配方正确的是( )

A.(x?2)2?1 B.(x?2)2?1 C.(x?2)2?9 D.(x?2)2?9

2. (2009·四川省南充市)方程(x?3)(x?1)?x?3的解是( )

A.x?0

知识点二:一元二次方程的解的应用

例2. (2009·山东省日照市).若n(n?0)是关于x的方程x2?mx?2n?0的根,则m+n的值为 ( D )

(A)1 (B)2

同步测试:

1.(2009·湖南省长沙市).已知关于x的方程x2?kx?6?0的一个根为x?3,则实数k的值为( )

A.1 B.?1 C.2 D.?2

2 B.x?3 C.x?3或x??1 D.x?3或x?0 (C)-1 (D)-2 2. (2009·山东省威海市)若关于x的一元二次方程x?(k?3)x?k?0的一个根是?2,则另一个根是

______.

知识点三:一元二次方程根的判别式:

一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根的判别式___________.

(1)??0?_________________;

(2)??0?________________;

(3)??0?_________________.

例3:(2009·成都市)若关于x的一元二次方程kx2?2x?1?0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( ) 2

A.k>-1 B. k>-1且k≠0 C.k<1 D. k<1且k≠0

【解析】因为一元二次方程有两个不相等的实数根,所以必须满足两个条件,?

故选B.

【答案】B

同步测试:

1.(2009 芜湖)当m满足 时,关于x的方程x2?4x?m?

2???0,解之得,k>-1且k≠0,?k?01?0有两个不相等的实数根. 222.(2009·山东省泰安市)关于x的一元二次方程?x?(2k?1)x?2?k?0有实数根,则k的取值范围

是 。

知识点四:一元二次方程的应用:

步骤是:设 列 解 验 答

例4:(2009·辽宁省本溪市)由于甲型H1N1流感(起初叫猪流感)的影响,在一个月内猪肉价格两次大幅下降.由原来每斤16元下调到每斤9元,求平均每次下调的百分率是多少?设平均每次下调的百分率为x,则根据题意可列方程为 .

【解析】第二下降表示为16(1?x),然后再列方程.

【答案】16(1?x)?9

同步测试:

1.(2009 安徽)某市2008年国内生产总值(GDP)比2007年增长了12%,由于受到国际金融危机的影响,预计今年比2008年增长7%,若这两年GDP年平均增长率为x%,则x%满足的关系式是( )

A.12%?7%?x% B.?1?12%??1?7%??2?1?x%?

C.12%?7%?2·x% D.?1?12%??1?7%???1?x%?

2.(2009·浙江省宁波市)2009年4月7日,国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案(2009~2011年》,某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务,比2008年增加了1250万元.投入资金的服务对象包括“需方”(患者等)和“供方”(医疗卫生机构等),预计2009年投入“需方”的资金将比2008年提高30%,投入“供方”的资金将比2008年提高20%.

(1)该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元? 222

(2)该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元?

(3)该市政府预计2011年将有7260万元投入改善医疗卫生服务,若从2009~2011年每年的资金投入按相同的增长率递增,求2009~2011年的年增长率.

类型一、一元二次方程及根的定义

1.已知关于的方程 的一个根为2,求另一个根及的值.

思路点拨:从一元二次方程的解的概念入手,将根代入原方程解

个根即可.

解:将 即

解方程,得

解方程,得 .

或-1. 代入原方程,得 时,原方程都可化为 的值,再代回原方程,解方程求出另一 所以方程的另一个根为4,

总结升华:以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题,解这类问题关键是要抓住“根”的概念,并以此为突破口.

举一反三:

【变式1】已知一元二次方程的一个根是,求代数式的值. 思路点拨:抓住为方程的一个根这一关键,运用根的概念解题.

解:因为是方程

的一个根,

所以

, , ,

所以

.

.

总结升华:“方程”即是一个“等式”,在“等式”中,根据题目的需要,合理地变形,是一种对代数运算综合要求较高的能力,在这一方面注意丰富自己的经验.

类型二、一元二次方程的解法

2.用直接开平方法解下列方程:

(1)3-27x2=0; (2)4(1-x)2-9=0.

解:(1)27x2=3

(2)4(1-x)2=9

.

3.用配方法解下列方程:

(1); (2). 解:(1)由,

得,

所以,

故.

(2)由,

得,

所以

4.用公式法解下列方程:

(1); (2); 解:(1)这里

并且 所以, 所以,.

(2)将原方程变形为, (3).

所以,

所以

(3)将原方程展开并整理得

这里

并且, . , ,

所以.

所以.

总结升华:公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点,要求熟练掌握,它对我们的运算能力有较高要求,也是提高我们运算能力训练的好素材.

(1)

解:(1)将原方程变形为

提取公因式,得

因为 所以 故或

,(即 ,所以, , 5.用因式分解法解下列方程: ; (3), . ; (2) (2)直接提取公因式,得 所以或

故.

(3)直接用平方差公式因式分解得

所以 故或.

举一反三:

【变式1】用适当方法解下列方程.

(1)2(x+3)2=x(x+3); (2)x2-2

x+2=0; (3)x2-8x=0; (4)x2+12x+32=0. 解:(1)2(x+3)2=x(x+3) 2(x+3)2-x(x+3)=0 (x+3)[2(x+3)-x]=0 (x+3)(x+6)=0 x1=-3,x2=-6.

x+2=0

,c=2 (2)x2-2 这里a=1,b=-2

b2-4ac=(-2)2-4×1×2=12>0 x= x1=

+,x2==- (3)x(x-8)=0 x1=0,x2=8. (4)配方,得 x2+12x+32+4=0+4 (x+6)2=4 x+6=2或x+6=-2 x2=-4,x2=-8.

点评:要根据方程的特点灵活选用方法解方程.

6.若,求的值.

思路点拨:观察,把握关键:换元,即把

解:由

所以

故 所以或. , , (舍去), , , , 看成一个“整体”.

总结升华:把某一“式子”看成一个“整体”,用换元的思想转化为方程求解,这种转化与化归的意识要建立起来.

类型三、一元二次方程根的判别式的应用

7.(武汉)一元二次方程4x2+3x-2=0的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根; B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根; D.没有实数根 解析:因为△=32-4×4×(-2)>0,所以该方程有两个不相等的实数根. 答案:B.

8.(重庆)若关于x的一元二次方程x2+x-3m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )

A.m> B.m< C.m>- D.m<-

. 思路点拨:因为该方程有两个不相等的实数根,所以应满足

解:由题意,得△=12-4×1×(-3m)>0,

解得 m>-

答案:C.

.

举一反三:

【变式1】当m为什么值时,关于x的方程有实根.

和 思路点拨:题设中的方程未指明是一元二次方程,还是一元一次方程,所以应分两种情形讨论.

解:当 当即即时,,方程为一元一次方程,总有实根; 时,方程有根的条件是:

,解得

∴当

且时,方程有实根.

综上所述:当时,方程有实根.

【变式2】若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3>0的解集(用含a的式子表示). 思路点拨:要求ax+3>0的解集,就是求ax>-3的解集,那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根,即(-2a)2-4(a-2)(a+1)<0就可求出a的取值范围.

解:∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根.

∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8<0

∴满足

∵ax+3>0即ax>-3

∴所求不等式的解集为

.

类型四、根据与系数的关系,求与方程的根有关的代数式的值

9.(河北)若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根,则x12+x22的值是( )

A.

B.

C. D.7

思路点拨:本题解法不唯一,可先解方程求出两根,然后代入x12+x22,求得其值.但一般不解方程,只要将所求代数式转化成含有x1+x2和x1x2的代数式,再整体代入.

解:由根与系数关系可得x1+x2=,x1·x2=,x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=()2-2×=.

答案:A.

总结升华:公式之间的恒等变换要熟练掌握.

类型五、一元二次方程的应用

考点讲解: 1.构建一元二次方程数学模型:一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型,通过审题弄清具体 问题中的数量关系,是构建数学模型,解决实际问题的关键. 2.注重解法的选择与验根:在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特别要 对方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性.

10.(陕西)在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是( )

A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0

C.x2-130x-1400=0 D.x2-64x-1350=0

解析:在矩形挂图的四周镶一条宽为xcm的金边,那么挂图的长为(80+2x)cm,?宽为(50+2x)cm,由题意,可得(80+2x)(50+2x)=5400,整理得x2+65x-350=0.

答案:B.

11.(海口)某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天

可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,

日销售量将减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?

解:设每千克水果应涨价x元,依题意,得(500-20x)(10+x)=6000.

整理,得x2-15x+50=0.解这个方程,x1=5,x2=10.

要使顾客得到实惠,应取x=5.

答:每千克应涨价5元.

总结升华:应抓住“要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况.

12.(深圳南山区)课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地,开辟一个面积为130平方米的花圃(如图),打算一面利用长为15米的仓库墙面,三面利用长为33米的旧围栏,求花圃的长和宽.

解:设与墙垂直的两边长都为米,则另一边长为米,依题意得

又∵ 当时,

当时,

∴不合题意,舍去.∴.

答:花圃的长为13米,宽为10米.

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