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完全平方公式与因式分解

发布时间:2014-01-13 14:22:30  

14.3因式分解
14.3.2公式法 第二课时 完全平方公式

一、是人是妖
? ? ? ? 什么是因式分解? 我们已学过哪些分解因式的方法? 分解因式:xy3 ? x 3 y 你能用上述办法分解下面式子吗?

a ? 2ab ? b ? (a ? b) 2
2 2

? 像这样能用完全平方公式分解因式的式 有一个自己的名字---------?

二、探个究竟
1.什么样的式子完全平方式 完全平方式:两数的平方和加上(或减去)这两数 积的2倍,像这样的式子叫做完全平方式。 完全平方式可以利用完全平方公式进行因式分解 数学符号表示为:

a ? 2ab ? b ? (a ? b) a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2
2 2

2

其中

a, b 可以为数或式子

2.试试眼光 例1 下列哪些式子是完全平方式?哪些不是?

(1) 1 ? 4a
2
解:

2

(2) a ? 4a ? 4
2

(3) a ? ab ?b (4) 4b ? 4b ? 1
2

2

(1)不是,它只有2项;
2 2 a ? 2 ? a ? 2 ? 2 (2)不是,原式可写成 ,但有一平方项符号为

负。 (3)不是,没有积的2倍项。

(4)是,原式可写成 (2b) 2 ? 2 ? 2b ?1 ?12 ,有平方项,符号都为 正,有积的2倍项,所以是完全平方式。
你是如何辨认完全平方式了的? 谈经验:(1)共3项;(2)先看是否有两数的平方项,且符号是否都为正; (3)再看剩下的项是否是两数积的2倍.

变式练习: (m ? n) 2 ? 4m(m ? n) ? 4m 2是否为完全平 方式? 分析:原式可变形为

(m ? n) 2 ? 2 ? 2m(m ? n) ? (2m) 2
平方项

积的2倍

平方项

符号为正

3.交交手
用完全平方公式把完全平方式分解因式。

例2

分解下列多项式

(1) 16 x ? 24 x ? 9
2

解:原式

? (4 x) ? 2 ? 4 x ? 3 ? 3
2

2

? (4 x ? 3)

2

问题:没有现成的平方项,积的2倍,如 何去找,能否识破玄机?

(2) ( x ? y) ? 2( x ? y ) ? ( x ? y)
2 2 2
解:原式

2
2

? ( x ? y ) ? 2( x ? y )( x ? y ) ? ( x ? y )
2

? [( x ? y ) ? ( x ? y )] ? (2 y ) 2 ? 4y
2

2

问题:(1)有平方项,没有积的2倍,它是完全平方式吗? (2)如果有积的2倍,应该是什么样?它和 2( x 有什么联系吗?
2

? y2 )

(3) (2 x ? y) ? 2( y ? 2 x) ? 1
2
解:原式

? ( y ? 2 x ) ? 2 ? ( y ? 2 x ) ?1 ? 1
2

2

? ( y ? 2 x ? 1)

2

这题能用完全平方公式分解因式吗?难在何 处?如何处理?
(平方项和积的2倍对不上号,但又有联系)

(4) ? a ? 1 ? 2a
2
解:原式

? ?( a ? 1 ? 2 a )
2 2

? ?( a ? 2 ? a ? 1 ? 1 )
2

? ?(a ? 1)

2

这还是完全平方式吗?问题在哪?我们可 以通过变形让它出现完全平方式吗?
(如何把平方项的符号变为正)

谈感触:

(1)有些式子中平方项,或积的2倍需要做 适当的式变形才会明显。 (2)当两平方项

都为负时,可通过添括号将 其变形为正。

4.除掉它
多种分解方法综合应用 例3 分解下列多项式

(1) 3ax ? 6axy ? 3ay
2

2

解:原式

? 3a x ? 2 xy ? y
2

?

2

?

? 3a ( x ? y )

2

对付因式分解,我们学过哪些三 脚猫功夫? 这里你觉得应该先用哪一招?

(2) 2 x y ? x ? xy
2 3
解:原式

2
2 2

? x(2 xy ? x ? y )
? ? x(?2 xy ? x ? y )
2 2

? ? x( x ? y )

2

提出x之后,遇到了一个困难,平方项为 负,如何处理?
(再提公因式-1)

不如直接提-x

?3? ( x

2

? 1) ? 4 x
2
2
2

2
2

解:原式 ?

( x ? 1 ? 2 x)( x ? 1 ? 2 x)
2

? ( x ? 1) ( x ? 1)
此题用哪一招?
还能继续分解吗?

警告:将多项式分解彻底,不要让妖怪 有翻身的机会!

说收获: (1)见招使招! (2)一般地,有公因式先提掉,再用公式法!

三、浴血奋战
巩固练习
(1) a 3 ? 4a 2 ? 4a
(2) ax2 ? 2axy ? ay2

(3) ? 3x 2 ? 6 xy ? 3 y 2 (4) ? 2 xy ? x 2 ? y 2
(5) (2a ? b) ? 8ab
2

(6) x( x ? 1) ? 3x ? 4

遇到了什么新问题,你会解决吗? 请你课后和同学一起想办法?

四、真经在手
课堂小结: ? 1.你会辨认完全平方式了吗? ? 2.用完全平方公式进行因式分解时可能会遇到 哪些困难?你会解决它吗? ? 3.多种方法综合运用进行因式分解时,一般先 做什么再做什么? ? 可能会遇到哪些意想不到的意外?

四、任务在身
布置作业:
课本119页 第2 题


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