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2013年各地中考数学分类汇编试卷《四边形》(正方形)

发布时间:2014-01-14 09:52:30  

2013年中考---正方形

1、(2013?昆明)如图,在正方形ABCD中,点P是AB上一动点(不与A,B重合),对角线AC,BD相交于点O,过点P分别作AC,BD的垂线,分别交AC,BD于点E,F,交AD,BC于点M,N.下列结论:

222①△APE≌△AME;②PM+PN=AC;③PE+PF=PO;④△POF∽△BNF;⑤当△PMN∽△AMP时,点

P是AB的中点.

其中正确的结论有( )

2、(2013年临沂)如图,正方形ABCD中,AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D

时停止运动,设运动时间为t(s),△OE的面积为s(cm),

则s(cm)与t(s)的函数关系可用图像表示为

22 (

B) (D)

(C)

答案:B 解析:经过t秒后,BE=CF=t,CE=DF=8-t,S?BEC?1?t?4?2t, 2

111S?ECF??(8?t)?t?4t?t2,S?ODF??(8?t)?4?16?2t, 222

1212所以,S?OEF?32?2t?(4t?t)?(16?2t)?t?4t?16,是以(4,8)为顶点,开口22

向上的抛物线,故选B。

3、(8-3矩形、菱形、正方形22013东营中考)如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF;(3)AO=OE;

(4)S?AOB?S四边形DEOF中正确的有( )

A. 4个

12.B.解析:在正方形ABCD中,因为CE=DF,所以AF=DE,又因为

AB=AD,所以?ABF??DAE,所以AE=BF,?AFB??DEA,?SB. 3个 C. 2个 D. 1个 ?DAE??ABF,因为?DAE??DEA?90?,所以?DAE??ABF?90?,即?AOF?90?,所以AE⊥BF,因为S?AOB

四边形DEOF(第12题图) ?S?AOF?S?AOF,所以S?AOB? S四边形DEOF,故(1),(2),(4)正确.

4、(2013凉山州)如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC

为边长的正方形ACEF的周长为( )

A.14 B.15 C.16 D.17

考点:菱形的性质;等边三角形的判定与性质;正方形的性质.

分析:根据菱形得出AB=BC,得出等边三角形ABC,求出AC,长,根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4,求出即可.

解答:解:∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=BC,

∵∠B=60°,

∴△ABC是等边三角形,

∴AC=AB=4,

∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=434=16,

故选C.

点评:本题考查了菱形性质,正方形性质,等边三角形的性质和判定的应用,关键是求出AC的长.

5、(2013?资阳)如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )

6、(2013?雅安)如图,正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:①BE=DF,②∠DAF=15°,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE.其中正确结论有( )个.

7、(2013菏泽)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为( )

A.16 B.17 C.18 D.19

考点:相似三角形的判定与性质;正方形的性质.

专题:计算题.

分析:由图可得,S1的边长为3,由AC=BC,BC=CE=

然后,分别算出S1、S2的面积,即可解答.

解答:解:如图,设正方形S2的边长为x,

根据等腰直角三角形的性质知,AC=x,x=CD,

∴AC=2CD,CD==2,

222∴EC=2+2,即EC=;

2∴S2的面积为EC==8;

∵S1的边长为3,S1的面积为333=9,

∴S1+S2=8+9=17.

故选B.

CD,可得AC=2CD,CD=2,EC=;

点评:本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质,考查了学生的读图能力.

8、(2013?咸宁)如图,正方形ABCD是一块绿化带,其中阴影部分EOFB,GHMN都是正方形的花圃.已知自由飞翔的小鸟,将随机落在这块绿化带上,则小鸟在花圃上的概率为( )

9、(2013台湾、30)如图,四边形ABCD、AEFG均为正方形,其中E在BC上,且B、E两点不重合,并连接BG.根据图中标示的角判断下列∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系何者正确?( )

A.∠1<∠2 B.∠1>∠2 C.∠3<∠4 D.∠3>∠4

考点:正方形的性质.

分析:根据正方形的每一个角都是直角求出∠BAD=∠EAG=90°,然后根据同角的余角相等可得∠1=∠2,根据直角三角形斜边大于直角边可得AE>AB,从而得到AG>AB,再根据三角形中长边所对的角大于短边所对的角求出∠3>∠4.

解答:解:∵四边形ABCD、AEFG均为正方形,

∴∠BAD=∠EAG=90°,

∵∠BAD=∠1+∠DAE=90°,

∠EAG=∠2+∠DAE=90°,

∴∠1=∠2,

在Rt△ABE中,AE>AB,

∵四边形AEFG是正方形,

∴AE=AG,

∴AG>AB,

∴∠3>∠4.

故选D.

点评:本题考查了正方形的四条边都相等,每一个角都是直角的性质,同角的余角相等的性质,要注意在同一个三角形中,较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用.

10、(2013台湾、23)附图为正三角形ABC与正方形DEFG的重迭情形,其中D、E两点分别在AB、BC上,且BD=BE.若AC=18,GF=6,则F点到AC的距离为何?( )

A.2 B.3 C.12﹣4 D.6﹣6

考点:正方形的性质;等边三角形的性质.

分析:过点B作BH⊥AC于H,交GF于K,根据等边三角形的性质求出∠A=∠ABC=60°,然后判定△BDE是等边三角形,再根据等边三角形的性质求出∠BDE=60°,然后根据同位角相等,两直线平行求出AC∥DE,再根据正方形的对边平行得到DE∥GF,从而求出AC∥DE∥GF,再根据等边三角形的边的与高的关系表示出KH,然后根据平行线间的距离相等即可得解. 解答:解:如图,过点B作BH⊥AC于H,交GF于K,

∵△ABC是等边三角形,

∴∠A=∠ABC=60°,

∵BD=BE,

∴△BDE是等边三角形,

∴∠BDE=60°,

∴∠A=∠BDE,

∴AC∥DE,

∵四边形DEFG是正方形,GF=6,

∴DE∥GF,

∴AC∥DE∥GF, ∴KH=183﹣63﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6,

∴F点到AC的距离为6

故选D.

﹣6.

点评:本题考查了正方形的对边平行,四条边都相等的性质,等边三角形的判定与性质,等边三角形的高线等于边长的倍,以及平行线间的距离相等的性质,综合题,但难度不大,熟记各图形的性质是解题的关键.

11、(2013年南京)已知如图所示的图形的面积为24,根据图中的条件,可列出方程: 。

答案:本题答案不唯一,如(x?1)=25;

解析:把缺口补回去,得到一个面积25的正方形,边长为x+1。

12、(2013?苏州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点A、C分别在x,y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上,且QO=OC,连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为 (2,4﹣2)

. 2

13、(2013?嘉兴)如图,正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在边AB,BC上,AE=BF=1,小球P从点E出发沿直线向点F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当小球P第一次碰到点E时,小球P与正方形的边碰撞的次数为 6 ,小球P所经过的路程为 6 .

14、(2013?钦州)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是 10 .

15、(2013?包头)如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE、BE、CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C= 135 度.

16、(2013?

德州)如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上,下列结论:

①CE=CF;②∠AEB=75°;③BE+DF=EF;④S正方形ABCD=2+.

其中正确的序号是 ①②④ (把你认为正确的都填上).

17、(2013?烟台)如图,正方形ABCD的边长为4

,点E在BC上,四边形EFGB也是正方形,以B为圆心,BA长为半径画,连结AF,CF,则图中阴影部分面积为 4π .

18、(2013四川南充,14,3分)如图,正方形ABCD

为22,过点A作AE⊥AC,AE=1,连接BE

,则

tanE=_____________.

答案:2 3的边长解析:

19、(2013年武汉)如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF

交BD于G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是 .

答案:?1

解析: AEFD

B

第16题图C

20、(绵阳市2013年)对正方形ABCD进行分割,如图1,其中E、F分别是BC、CD的中点,M、N、G分别是OB、OD、EF的中点,沿分化线可以剪出一副“七巧板”,用这些部件可以拼出很多图案,图2就是用其中6块拼出的“飞机”。若△GOM的面积为1,则“飞机”的面积为 14 。

[解析]连接AC,四边形ABCD是正方形,

FAC⊥BD,E、F分别BC、CD的中 CD

点,EF//BD,AC⊥EF,CF=CE,△EFC是等腰G直角三角形,直线AC是△EFC底边上的高所E在直线,根据等腰三角形“三线合一”,AC

M必过EF的中点G,点A、O、G和C在同一条

AB直线上,OC=OB=OD,OC⊥OB,FG是△DCO的七巧板飞机

1中位线,OG=CG= M、N分别是OB、OD2图1图2

111的中点,OM=BM= OB,ON=DN= ,OG=OM=BM=ON=DN= BD,等腰直角三角形GOM的面积224

11222为1, OM?OG= OM=1,OM=2 ,BD=4 OM=42 ,2AD= BD=32,AD=4,图2中飞机面积图122

中多边形ABEFD的面积,飞机面积=正方形ABCD面积-三角形CEF面积=16-2=14。

21、(2013年南京) 如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分

?ABC,P是BD上一点,过点P作PM?AD,PN?CD,垂

足分别为M、N。

(1) 求证:?ADB=?CDB;

(2) 若?ADC=90?,求证:四边形MPND是正方形。

解析:

证明:(1) ∵BD平分?ABC,∴?ABD=?CBD。又∵BA=BC,BD=BD,

∴△ABD ? △CBD。∴?ADB=?CDB。 (4分)

(2) ∵PM?AD,PN?CD,∴?PMD=?PND=90?。

又∵?ADC=90?,∴四边形MPND是矩形。

∵?ADB=?CDB,PM?AD,PN?CD,∴PM=PN。

∴四边形MPND是正方形。 (8分)

22、(2013?鄂州)如图正方形ABCD的边长为4,E、F分别为DC、BC中点.

(1)求证:△ADE≌△ABF.

(2)求△AEF的面积.

D

23、(2013?毕节地区)四边形ABCD是正方形,E、F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF.

(1)求证:△ADE≌△ABF;

(2)填空:△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A 点,按顺时针方向旋转 90 度得到;

(3)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积.

24、(2013?黔东南州)如图,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点F.求证:AM=EF.

25、(2013鞍山)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是

AD延长线上一点,且DF=BE.

(1)求证:CE=CF;

(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?

考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

专题:证明题;探究型.

分析:(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF.

(2)由(1)得,CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.

解答:(1)证明:在正方形ABCD中,

∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,

∴△CBE≌△CDF(SAS).

∴CE=CF.(3分)

(2)解:GE=BE+GD成立.(4分)

理由是:∵由(1)得:△CBE≌△CDF,

∴∠BCE=∠DCF,(5分)

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°,(6分)

又∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.

∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,

∴△ECG≌△FCG(SAS).

∴GE=GF.(7分)

∴GE=DF+GD=BE+GD.(8分)

点评:本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想,在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段,从而证出关系是不是成立.

26、(2013?铁岭)如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.

(1)求证:四边形AEBD是矩形;

(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并说明理由.

27、(2013?包头)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC上的一个动点,连接DE,交AC于点F.

(1)如图①,当时,求的值;

OA; (2)如图②当DE平分∠CDB时,求证:AF=

(3)如图③,当点E是BC的中点时,过点F作FG⊥BC于点G,求证:CG=BG.

28、(2013?曲靖)如图,点E在正方形ABCD的边AB上,连接DE,过点C作CF⊥DE于F,过点A作AG∥CF交DE于点G.

(1)求证:△DCF≌△ADG.

(2)若点E是AB的中点,设∠DCF=α,求sinα的值.

29、(2013?天津)如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上. (Ⅰ)△ABC的面积等于 6 ;

(Ⅱ)若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形,请你在如图所示的网格中,用直尺和三角尺画出该正方形,并简要说明画图方法(不要求证明) 取格点P,连接PC,过点A画PC的平行线,与BC交于点Q,连接PQ与AC相交得点D,过点D画CB的平行线,与AB相交得点E,分别过点D、

E画PC的平行线,与CB相交得点G,F,则四边形DEFG即为所求 .

30、(2013?绥化)已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边做正方形ADEF,连接CF

(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证CF+CD=BC;

(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;

(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;

①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;

②若正方形ADEF的边长为2,对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.

31、(2013济宁)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、DC上的点,且AF⊥BE.

(1)求证:AF=BE;

(2)如图2,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?并说明理由.

考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

专题:证明题.

分析:(1)根据正方形的性质可得AB=AD,∠BAE=∠D=90°,再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF,然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等,再根据全等三角形的证明即可;

(2)过点A作AF∥MP交CD于F,过点B作BE∥NQ交AD于E,然后与(1)相同. 解答:(1)证明:在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,

∴∠DAF+∠BAF=90°,

∵AF⊥BE,

∴∠ABE+∠BAF=90°,

∴∠ABE=∠DAF,

∵在△ABE和△DAF中,

∴△ABE≌△DAF(ASA),

∴AF=BE;

(2)解:MP与NQ相等.

理由如下:如图,过点A作AF∥MP交CD于F,过点B作BE∥NQ交AD于E,

则与(1)的情况完全相同.

点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,主要利用了正方形的四条边都相等,每一个角都是直角的性质,同角的余角相等的性质,利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一,要熟练掌握并灵活运用.

32、(2013?常德)如图,已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆,∠ADE=90°,延长ED到C使DC=AD,以AD,DC为邻边作正方形ABCD,连接AC,连接BE交AC于点H.求证:

(1)AC是⊙O的切线.

(2)HC=2AH.

33、(2013?衡阳)如图,P为正方形ABCD的边AD上的一个动点,AE⊥BP,CF⊥BP,垂足分别为点E、F,已知AD=4.

22(1)试说明AE+CF的值是一个常数;

(2)过点P作PM∥FC交CD于点M,点P在何位置时线段DM最长,并求出此时DM的值.

34、(2013?衡阳附加题不算分)一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求:在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问:

(1)能否找到这样的4个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求?在图1中画出安装点的示意图,并用大写字母M、N、P、Q表示安装点;

(2)

能否找到这样的3个安装点,使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求?在图2中画出示意图说明,并用大写字母M、N、P表示安装点,用计算、推理和文字来说明你的理由.

35、(2013?呼和浩特)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F,

(1)的值为 ;

(2)求证:AE=EP;

(3)在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.

36、(2013泰安)如图,四边形ABCD为正方形.点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(0,﹣3),反比例函数y=的图象经过点C,一次函数y=ax+b的图象经过点C,一次函数y=ax+b的图象经过点A,

(1)求反比例函数与一次函数的解析式;

(2)求点P是反比例函数图象上的一点,△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,求P点的坐标.

考点:反比例函数与一次函数的交点问题.

分析:(1)先根据正方形的性质求出点C的坐标为(5,﹣3),再将C点坐标代入反比例函数y=中,运用待定系数法求出反比例函数的解析式;同理,将点A,C的坐标代入一次函数y=ax+b中,运用待定系数法求出一次函数函数的解析式;

(2)设P点的坐标为(x,y),先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,列出关于x的方程,解方程求出x的值,再将x的值代入y=﹣,即可求出P点的坐标.

解答:解:(1)∵点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(0,﹣3),

∴AB=5,

∵四边形ABCD为正方形,

∴点C的坐标为(5,﹣3).

∵反比例函数y=的图象经过点C,

∴﹣3=,解得k=﹣15,

∴反比例函数的解析式为y=﹣;

∵一次函数y=ax+b的图象经过点A,C, ∴

解得, ,

∴一次函数的解析式为y=﹣x+2;

(2)设P点的坐标为(x,y).

∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,

2∴3OA?|x|=5,

∴32|x|=25,

解得x=±25.

当x=25时,y=﹣

当x=﹣25时,y=﹣=﹣; =.

∴P点的坐标为(25,﹣)或(﹣25,).

点评:本题考查了正方形的性质,反比例函数与一次函数的交点问题,运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式,三角形的面积,难度适中.运用方程思想是解题的关键.

37、(2013?资阳)在一个边长为a(单位:cm)的正方形ABCD中,点E、M分别是线段AC,CD上的动点,连结DE并延长交正方形的边于点F,过点M作MN⊥DF于H,交AD于N.

(1)如图1,当点M与点C重合,求证:DF=MN;

(2)如图2,假设点M从点C出发,以1cm/s的速度沿CD向点D运动,点E同时从点A出发,以cm/s速度沿AC向点C运动,运动时间为t(t>0);

①判断命题“当点F是边AB中点时,则点M是边CD的三等分点”的真假,并说明理由. ②连结FM、FN,△MNF能否为等腰三角形?若能,请写出a,t之间的关系;若不能,请说明理由.

38、(2013杭州压轴题)如图,已知正方形ABCD的边长为4,对称中心为点P,点F为BC边上一个动点,点E在AB边上,且满足条件∠EPF=45°,图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称,设它们的面积和为S1.

(1)求证:∠APE=∠CFP;

(2)设四边形CMPF的面积为S2,CF=x,.

①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围,并求出y的最大值;

②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时,求y的值.

考点:四边形综合题.

分析:(1)利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论;

(2)本问关键是求出y与x之间的函数解析式.

①首先分别用x表示出S1与S2,然后计算出y与x的函数解析式.这是一个二次函数,求出其最大值;

②注意中心对称、轴对称的几何性质.

解答:(1)证明:∵∠EPF=45°,

∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°;

而在△PFC中,由于PF为正方形ABCD的对角线,则∠PCF=45°,

则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°,

∴∠APE=∠CFP.

(2)解:①∵∠APE=∠CFP,且∠FCP=∠PAE=45°, ∴△APE∽△CPF,则.

AB=, 而在正方形ABCD中,AC为对角线,则AC=又∵P为对称中心,则AP=CP=, ∴AE===.

如图,过点P作PH⊥AB于点H,PG⊥BC于点G,

P为AC中点,则PH∥BC,且PH=BC=2,同理PG=2.

S△APE==323=,

∵阴影部分关于直线AC轴对称,

∴△APE与△APN也关于直线AC对称,

则S四边形AEPN=2S△APE=

而S2=2S△PFC=23; =2x,

﹣2x, ∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣

∴y===+﹣1.

∵E在AB上运动,F在BC上运动,且∠EPF=45°,

∴2≤x≤4.

令=a,则y=﹣8a+8a﹣1,当a=2=,即x=2时,y取得最大值. 而x=2在x的取值范围内,代入x=2,则y最大=4﹣2﹣1=1.

∴y关于x的函数解析式为:y=+﹣1(2≤x≤4),y的最大值为1. ②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,

而此两块图形也关于直线AC成轴对称,则阴影部分图形自身关于直线BD对称,

则EB=BF,即AE=FC,

∴=x,解得x=,

代入x=,得y=﹣2.

点评:本题是代数几何综合题,考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换(轴对称与中心对称)、图形面积的计算等知识点,涉及的考点较多,有一定的难度.本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式,在计算几何图形面积时涉及大量的计算,需要细心计算避免出错.

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