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勾股定理的证明(比较全的证明方法)[1]

发布时间:2014-01-14 15:51:55  

勾股定理的证明
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勾股定理的证明
两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣,因为这个定理太贴近人

们的生活实际,以至于古往今来,下至平民百姓,上至帝王总统都愿意探讨
和研究它的证明.因此不断出现关于勾股定理的新证法.

1.传说中毕达哥拉斯的证法 2.赵爽弦图的证法

3.刘徽的证法 4.美国第20任总统茄菲尔德的证法
5.其他证法

A

B

这棵树漂亮吗?如果在树上挂上 几串彩色灯泡,再挂上些小铃铛、小 彩球、小礼盒、小的圣诞老人,是不 是更像一棵圣诞树. 也许有人会问:“它与勾股定理 有什么关系吗?” 仔细看看,你会发现,奥妙在树 干和树枝上,整棵树都是由下方的这 个基本图形组成的:一个直角三角形 以及分别以它的每边为一边向外所作 的正方形.

这个图形有什么作用呢?不要小看它哦!古希腊的数学家毕达 哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理.

传说中毕达哥拉斯的证法
关于勾股定理的证明,现在人类保存下来的最早的 文字资料是欧几里得(公元前300年左右)所著的《几 何原本》第一卷中的命题47:“直角三角形斜边上的正 方形等于两直角边上的两个正方形之和”.其证明是用 面积来进行的. G
已知:如图,以在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,分别以a、b、c 为边向外作正方形.
K A H C b c a B F

求证:a2 +b2=c2.
D E

传说中毕达哥拉斯的证法
证明:从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形(如图),作CN⊥DE 交AB于M,那么正方形ABED被分成两个矩形.连结CD和KB. ∵由于矩形ADNM和△ADC同底(AD),等高(即平行线AD和CN间的距离),

∴S矩形ADNM=2S△ADC.
又∵正方形ACHK和△ABK同底(AK)、等高(即 平行线AK和BH间的距离), ∴S正方形ACHK=2S△ABK. ∵AD=AB,AC=AK,∠CAD=∠KAB, ∴△ADC≌△ABK. 由此可得S矩形ADNM=S正方形ACHK .
K A b M H C a

G F

c

B

同理可证S矩形MNEB=S正方形CBFG.
∴S矩形ADNM+S矩形MNEB=S正方形ACHK+S正方形CBFG. 即S正方形ADEB=S正方形ACHK+S正方形CBFG , 也就是 a2+b2=c2.
D N E

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赵爽弦图的证法
我国对勾股定理的证明采取的是 割补法,最早的形式见于公元三、四 世纪赵爽的《勾股圆方图注》.在这 篇短文中,赵爽画了一张他所谓的 c “弦图”,其中每一个直角三角形称 为“朱实”,中间的一个正方形称为 “中黄实”,以弦为边的大正方形叫 “弦实”,所以,如果以a、b、c分别 表示勾、股、弦之长,

朱实 中黄实 b a
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( b- a ) 2

ab 那么: c ? 4 ? ? ( b ? a )2 2
2

得: c2 =a2+ b2.

刘徽的证法
刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明: 勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出

入相补,各 从其类,因就其余不移动也.合成弦方之幂,开 方除之,即弦也.
I

令正方形ABCD为朱方,正方 形BEFG为青方.在BG间取一点H, 使AH=BG,裁下△ADH,移至 △CDI,裁下△HGF,移至△IEF,
D E C F

是为“出入相补,各从其类”,其
余不动,则形成弦方正方形 DHFI.勾股定理由此得证.
A

B

H

G
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总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理.它是几何中一个比较重要的定理,应用十分广 泛.迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有500余种.其中,美国第二十任总统伽 菲尔德的证法在数学史上被传为佳话. 总统为什么会想到去证明勾股定理呢?难道他是数学家或数学爱好者?答案是 否定的.事情的经过是这样的: 1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步, 欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突 然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争 论,时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个 小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角 形.于是伽菲尔德便问他们在干什么?只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生, 如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到: “是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的 斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方 加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时 语塞,无法解释了,心理很不是滋味. 于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过 反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.

总统巧证勾股定理
D
a

C

c
b

c

b

A

E a B

美国第二十任 总统伽菲尔德
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向常春的证明方法
S梯形ABCD ? 1 1 1 (a ? b ? b)(a ? b) ? a 2 ? ab 2 2 2

S梯形ABCD ? S四边形AECD ? S ?EBC 1 2 1 ? c ? (a ? b )b 2 2 1 2 1 1 2 ? c ? ab ? b 2 2 2
1 2 1 1 2 1 1 2 ? a ? ab ? c ? ab ? b 2 2 2 2 2
b

A

a c c

D

E
a-b

B

b

C

从而得到 : a 2 ? b2 ? c 2

注:这一方法是向常春 于1994年3月20日构想发 现的新法.






b a c c c a a b

我们用拼图的方法来说明 勾股定理是正确的.
证明:上面的大正方形的面积为:c 2 ? 4 ?

1 ab 2

b

c b

a

1 下面大的正方形的面积为:a 2 ? b 2 ? 4 ? ab 2
从右图中我们可以看出,这两个正方形的 边长都是a+b,

所以面积相等,即
a

a a a b c b c

b a b b b

1 1 2 2 c ? 4 ? ab ? c ? b ? 4 ? ab 2 2 c 2 ? a 2 ? b2
2

a

观察下面的图形,你还能发现什么吗?


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