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1.3_线段的垂直平分线(1)性质定理与判定定理

发布时间:2014-01-15 09:04:36  

3.线段的垂直平分线(1) 性质定理与判定定理

回顾

思考

线段的垂直平分线
?我们曾经利用折纸的方法得到: ?线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. ?你能证明这一结论吗? 已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点. M 求证:PA=PB. P

分析:(1)要证明PA=PB,

就需要证明PA,PB所在的 △APC≌△BPC, 而△APC≌△BPC的条件由已知 故结论可证.

A N

C

B

AC=BC,MN⊥AB,可推知其能满足公理(SAS).

老师期望:你能写出规范的证明过程.

开启

智慧

几何的三种语言

?定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等. M ?如图, ?∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任 意一点(已知), ?∴PA=PB(线段垂直平分线上A 的点到这条线段两个端点距离 相等).
P

C N

B

老师提示:这个结论是经常用来
证明两条线段相等的根据之一.

进步的标志



?你能写出“定理 线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点距离相等” 的逆命题吗? ?逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上. P ?它是真命题吗? 如果是.请你证明它. 已知:如图,PA=PB. B 求证:点P在AB的垂直平分线上. A 分析:要证明点P在线段AB的垂直平分线 上,可以先作出过点P的AB的垂线(或AB 的中点,),然后证明另一个结论正确.

思 考 分 析

想一想:若作出∠P的角平分线,结论是 否也可以得证?

驶向胜利 的彼岸

我能行

1

逆定理

?逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上. ?如图, ?∵PA=PB(已知), ?∴点P在AB的垂直平分线上(到一条 线段两个端点距离相等的点,在这条 A 线段的垂直平分线上).
M P

C

B

老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.

N

从这个结果出发,你还能联想到什么?

驶向胜利 的彼岸

做一做

1

尺规作图
C

?用尺规作线段的垂直平分线.
?已知:线段AB,如图. ?求作:线段AB的垂直平分线. ?作法: ?1.分别以点A和B为圆心,以大于

A

B

AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和 D. ? 2. 作直线CD. ?则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线, 并与同伴进行交流.

D

老师提示:
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中 点,所以我们也用这种方法作线段的中点.

驶向胜利 的彼岸

随堂练习 1

挑战自我

?如图,已知AB是线段CD的垂直平

分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm, 那么ED= 7 cm;如果∠ECD=600, 那么∠EDC= 60 0.
C A B

E

老师期望:
你能说出填空结果的根据.

D

驶向胜利 的彼岸

试一试P27 2

梦想成真

1.已知直线和上一点P,利用尺规作的垂线,使它经过 点P.

P


l

小结

拓展

回味无穷
M
P

? 定理 ? 线段垂直平分线上的

点到这条线段 两个端点距离相等. ? 如图, ? ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点 (已知), ? ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点距离相等). ? 逆定理 到一条线段两个端点距离 A 相等的点,在这条线段的垂直平分 线上. ? 如图, ? ∵PA=PB(已知), ? ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条 线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上).

C N

B

独立 作业

知识的升华

P9习题1.5 1,2,3题.

祝你成功!

独立作业

1

习题1.5

?1.利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线 .

?老师期望:

?先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.

驶向胜利 的彼岸

独立作业

2

习题1.5

?2. 如图,A,B表示两个仓库,要在A,B一侧的河 岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等, 码头应建造在什么位置?
A● B●

老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.

驶向胜利 的彼岸

独立作业

3

习题1.4

?3.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线 交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC 的长.
A

D
E B

老师期望: 做完题目后,一定要“ ”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去.

C



驶向胜利 的彼岸

下课了!

结束寄语

? 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. ? 证明的规范性在于:条理清晰 ,因果相应,言必有据.这是初 学证明者谨记和遵循的原则.


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