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人教版九年级数学下册全册教案

发布时间:2013-09-22 21:06:05  

第一课时 二次函数

教学目标:二次函数的概念的理解和掌握

教学重点:二次函数的概念

教学过程:

一,创设情境,导入新课

问题一:多边形的对角线数d与边数n有什么关系?

解:d= n(n-3)= n- n

问题二:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量,如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?

解:y=20 (1+x)=

二:新课讲授

思考:上面的函数有什么共同点?

形成概念:一般的,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a=o)的函数,叫做二次函数。其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数,一次项系数和常数项

三,课堂练习:课本第3页练习题

第二课时 二次函数的图象与性质(1)

教学目标

会用描点法画出二次函数y?ax2的图象,概括出图象的特点及函

数的性质

教学重难点:函数y?ax2的图象与性质.

教学过程

我们已经知道,一次函数y?2x?1,反比例函数y?

象分别是 、

y?x的图象是什么呢?

(1)描点法画函数y?x的图象前,想一想,列表时如何合理选

值?以什么数为中心?当x取互为相反数的值时,y的值如何?

(2)观察函数y?x的图象,你能得出什么结论?

[实践与探索]

例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有

何共同点?有何不同点?

1 2223的图x

(1)y?2x2 (2)y??2x2

分别描点、连线,画出这两个函数的图象,这两个函数的图象都是抛物线,如图26.2.1. 共同点:都以y轴为对称轴,顶点都在坐标原点.

不同点:y?2x2的图象开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左边,曲线自左

向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升.

y??2x2的图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,在对称轴的左边,曲线自左

向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降.

回顾与反思 在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛物线,因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接. 课内练习

1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

22

(1)y?3x (2)y??3x (3)y?

12x 3

2.(1)函数y?

22

x的开口,对称轴是; 312

(2)函数y??x的开口,对称轴是,顶点坐标是

4

3.已知等边三角形的边长为2x,请将此三角形的面积S表示成x的函数,并画出图象的草图. 作业

1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.

2

(1)y??4x (2)y?

12x 4

2.填空:

(1)抛物线y??5x,当y有最值,是 (2)当m= 时,抛物线y?(m?1)xm

2

2

?m

开口向下.

2

(3)已知函数y?(k2?k)xk随x的增大而增大. 3.已知抛物线y?kxk

2

2

?2k?1

是二次函数,它的图象开口时,y

?k?10

中,当x?0时,y随x的增大而增大.

(1)求k的值; (2)作出函数的图象(草图).

4.已知抛物线y?ax2经过点(1,3),求当y=9时,x的值.

第三课时 二次函数的图象与性质(2)

教学目标

会画出y?ax2?k这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. 教学重难点:y?ax2?k的图象与性质 教学过程

同学们还记得一次函数y?2x与y?2x?1的图象的关系吗? ,你能由此推测二次函数y?x2与y?x2?1的图象之间的关系吗? ,那么y?x2与y?x2?2的图象之间又有何关系? [实践与探索]

例1.在同一直角坐标系中,画出函数y?2x2与y?2x2?2的图象.

描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.3所示.

3

回顾与反思 当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?

探索 观察这两个函数,它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的?又有哪些不同?你能由此说出函数y?2x2与y?2x2?2的图象之间的关系吗?

例2.在同一直角坐标系中,画出函数y??x2?1与y??x2?1的图象,并说明,通过怎样的平移,可以由抛物线y??x2?1得到抛物线y??x2?1.

描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.4所示.

可以看出,抛物线y??x?1是由抛物线y??x?1向下平移两个单位得到的. 回顾与反思 抛物线y??x?1和抛物线y??x?1分别是由抛物线y??x向上、向下平移一个单位得到的.

2

2

2

22

4

探索 如果要得到抛物线y??x2?4,应将抛物线y??x2?1作怎样的平移?

回顾与反思 y?ax2?k(a、k是常数,a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标

课内练习:在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象: y?1211x, y?x2?2, y?x2?2. 222

观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置.你能说

12x?k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗? 2

122.抛物线y?x?9的开口,顶点坐标是,它可4

12以看作是由抛物线y?x向平移 4出抛物线y?

3.函数y??3x2?3,当时,函数值y随x的增大而减小.当数取得最 值,最 值y= .

课外作业

1.已知函数y?1211x, y?x2?3, y?x2?2. 333

(1)分别画出它们的图象;

(2)说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;

12x?5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标. 3

121. 不画图象,说出函数y??x?3的开口方向、对称轴和顶点坐标,并说明它是由函4

12数y??x通过怎样的平移得到的. 4(3)试说出函数y?

2. 若二次函数y?ax?2的图象经过点(-2,10),求a的值.这个函数有最大还是最

小值?是多少?

第四课时 二次函数的图象与性质(3)

5 2

教学目标

会画出y?a(x?h)2这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质.

教学重难点:y?a(x?h)2的图像与性质

教学过程

我们已经了解到,函数y?ax2?k的图象,可以由函数y?ax2的图象上下平移所得,那么函数y?11(x?2)2的图象,是否也可以由函数y?x2平移而得呢?画图试一22

试,你能从中发现什么规律吗?

[实践与探索]

例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.

y?1211x,y?(x?2)2 ,y?(x?2)2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐222

标.

描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26.2.5所示.

6

它们的开口方向都向上;对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2;顶点坐标分别是 (0,0),(-2,0),(2,0).

回顾与反思 对于抛物线y?1(x?2)2,当时,函数值y随x的增大而减小;2

当x 时,函数值y随x的增大而增大;当x 时,函数取得最 值,最 值y= .

11(x?2)2和抛物线y?1(x?2)2分别是由抛物线y?x2向左、向右222

1122平移两个单位得到的.如果要得到抛物线y?(x?4),应将抛物线y?x作怎样的22探索 抛物线y?

平移?

例2.不画出图象,你能说明抛物线y??3x2与y??3(x?2)2之间的关系吗?

解 抛物线y??3x2的顶点坐标为(0,0);抛物线y??3(x?2)2的顶点坐标为(-2,0).

因此,抛物线y??3x2与y??3(x?2)2形状相同,开口方向都向下,对称轴分别是y轴和直线x??2.抛物线y??3(x?2)2是由y??3x2向左平移2个单位而得的. 回顾与反思 y?a(x?h)2(a、h是常数,a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐

2 课内练习:1.画图填空:抛物线y?(x?1)的开口,对称轴是标是 ,它可以看作是由抛物线y?x向

2.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象. 2

y??2x2,y??2(x?3)2 ,y??2(x?3)2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

课外作业

7

1.已知函数y??1211x,y??(x?1)2, y??(x?1)2. 222

(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象;

(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;

(3)分别讨论各个函数的性质.

2.根据上题的结果,试说明:分别通过怎样的平移,可以由抛物线y??

线y??12x得到抛物211(x?1)2和y??(x?1)2? 22

3.函数y??3(x?1)2,当时,函数值y随x的增大而减小.当时,函数取得最 值,最 值y= .

4.不画出图象,请你说明抛物线y?5x2与y?5(x?4)2之间的关系.

第五课时 二次函数的图象与性质(4)

教学目标

1.掌握把抛物线y?ax2平移至y?a(x?h)2+k的规律;

2.会画出y?a(x?h)2+k 这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. 教学重难点:y?a(x?h)2+k的图像与性质

教学过程

由前面的知识,我们知道,函数y?2x2的图象,向上平移2个单位,可以得到函数

22函数y?2x的图象,向右平移3个单位,可以得到函数y?2(x?3)y?2x2?2的图象;

22的图象,那么函数y?2x的图象,如何平移,才能得到函数y?2(x?3)?2的图象呢?

[实践与探索]

例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.

y?1211x,y?(x?1)2,y?(x?1)2?2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点222

坐标.

8

描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26.2.6所示.

它们的开口方向都向 ,对称轴分别为 、 、 ,顶点坐标分别为 、 、 .请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系. 回顾与反思 二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数y?a(x?h)2+k中k的值;左右平移,只影响h的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外,图象的平移与平移的顺序无关. 探索 你能说出函数y?a(x?h)+k(a、h、k是常数,a≠0)的图象的开口方向、对称

2

2

例2.把抛物线y?x?bx?c向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线

y?x2,求b、c的值.

分析 抛物线y?x的顶点为(0,0),只要求出抛物线y?x?bx?c的顶点,根据顶点坐标的改变,确定平移后的函数关系式,从而求出b、c的值.

9

2

2

b2b2b2b2

??c?(x?)?c?. 解 y?x?bx?c?x?bx?442422

b2b2

?2, 向上平移2个单位,得到y?(x?)?c?24

bb2

2?2, 再向左平移4个单位,得到y?(x??4)?c?24

bb2

?2),而抛物线y?x2的顶点为(0,0),则 其顶点坐标是(??4,c?24

?b??4?0??2 ?2b?c??2?0?4?

解得 ??b??8 ?c?14

探索 把抛物线y?x2?bx?c向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线y?x2,也就意味着把抛物线y?x2向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到抛物线y?x2?bx?c.那么,本题还可以用更简洁的方法来解,请你试一试.

例4 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?

解:略

课内练习1.将抛物线y?2(x?4)?1如何平移可得到抛物线y?2x ( )

A.向左平移4个单位,再向上平移1个单位

B.向左平移4个单位,再向下平移1个单位

C.向右平移4个单位,再向上平移1个单位

D.向右平移4个单位,再向下平移1个单位

2.把抛物线y??

2232x向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得的抛物线的函数210

关系式为 .

3.抛物线y?1?2x?121x可由抛物线y??x2向再向22

移 个单位而得到.

课外作业:1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.

y??3x2,y??3(x?2)2,y??3(x?2)2?1,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

2.将抛物线y??x2?2x?5先向下平移1个单位,再向左平移4个单位,求平移后的抛物线的函数关系式.

3.将抛物线y??

第六课时 二次函数的图象与性质(5)

教学目标

1.能通过配方把二次函数y?ax2?bx?c化成y?a(x?h)2+k的形式,从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标;

2.会利用对称性画出二次函数的图象.

教学重难点:二次函数y?ax2?bx?c的顶点坐标公式

我们已经发现,二次函数y?2(x?3)2?1的图象,可以由函数y?2x2的图象先向 平移 个单位,再向 平移 个单位得到,因此,可以直接得出:函数y?2(x?3)2?1的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .那么,对于任意一个二次函数,如y??x?3x?2,你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象吗?

[实践与探索] 21231x?x?如何平移,可得到抛物线y??x2?2x?3? 222

2例1.通过配方,确定抛物线y??2x?4x?6的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点

画图.

解 y??2x?4x?6 2

11

??2(x2?2x)?6

??2(x2?2x?1?1)?6

??2(x?1)?1?6

??2(x?1)2?8

因此,抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,8).

?2?

描点、连线,如图26.2.7所示.

回顾与反思 (1)列表时选值,应以对称轴x=1为中心,函数值可由对称性得到,.

(2)描点画图时,要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称描点,最后用平滑曲线顺次连结各点.

探索 对于二次函数y?ax?bx?c,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗?请你完成填空:对称轴 ,顶点坐标 .

课内练习1.(1)二次函数y??x?2x的对称轴是

(2)二次函数y?2x?2x?1的图象的顶点是,当时,y随x的增大而减小.

(3)抛物线y?ax?4x?6的顶点横坐标是-2,则a.

22.抛物线y?ax?2x?c的顶点是(,?1

),则a、c的值是多少? 22221

3

课外作业

1.已知抛物线y?125x?3x?,求出它的对称轴和顶点坐标,并画出函数的图象. 22

22.利用配方法,把下列函数写成y?a(x?h)+k的形式,并写出它们的图象的开口方向、

对称轴和顶点坐标.

(1)y??x?6x?1

22(2)y?2x?3x?4 22(3)y??x?nx (4)y?x?px?q

12

3.已知y?(k?2)xk2?2k?6是二次函数,且当x?0时,y随x的增大而增大.

(1)求k的值;(2)求开口方向、顶点坐标和对称轴.

第七课时 用函数观点看一元二次方程(

教学目标

1: 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系. 2:经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神. 教学重难点

1.探索方程与函数之间的联系的过程.

2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.

22现在我们学习了一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax+bx+c(a≠0),它

们之间是否也存在一定的关系呢?

2.选教材提出的问题,直接引入新课

Ⅱ.合作交流 解读探究

1.二次函数与一元二次方程之间的关系

探究:例 利用 函数图像求方程 的实数根(精确到 )

解:略

观察:教材18页,学生小组交流.

归纳:先由学生完成,然后师生评价,最后教师归纳.

Ⅲ.应用迁移 巩固提高

1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根

第八课时 实际问题与二次函数

教学目标

在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值.

教学重难点

实际生活中求最值问题

教学过程

导入

13

在实际生活中,我们常常会碰到一些带有“最”字的问题,如

探究一:某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大? 在这个问题中,设每件商品降价x元,该商品每天的利润为y元,则可得函数关系式为二次函数y??10x2?100x?2000.那么,此问题可归结为:自变量x为何值时函数y取得最大值?你能解决吗?

探究二:计算机把数据存储在磁盘上,磁盘是带有磁性物质的圆盘,磁盘上有一些同心圆轨道,叫磁道,现在有一张半径为45mm的磁盘。

(1) 磁盘最内磁道的半径为rmm,其中每0.015mm的弧长为1存储单元,这条磁道有多

少个存储单元?

(2) 磁盘上各磁道之间的宽度必须不少于0.3mm,磁的外圆周不是磁道,这张磁盘最

多有多少条磁道?

(3) 如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同,最内磁道的半径r是多少时,磁盘的

存储量最多?

(4) 解:略

探究三 图26.-3-3中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱桥离水面2m,水面宽4米,水面下降1m,水面宽度增加多少?

解:略

课内练习1.对于二次函数y?x?2x?m,当x= 时,y有最小值.

2.已知二次函数y?a(x?1)?b有最小值 –1,则a与b之间的大小关系是 ( )

A.a<b B.a=b C.a>b D.不能确定

3.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40件,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经过市场调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.

(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?

(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?

作业

1.求下列函数的最大值或最小值.

(1)y??x?2x; (2)y?2x?2x?1.

2.已知二次函数y?x?6x?m的最小值为1,求m的值.,

3.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分)之间满22222 14

足函数关系:y??0.1x2?2.6x?43(0?x?30).y值越大,表示接受能力越强.

(1)x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?

(2)第10分时,学生的接受能力是多少?

(3)第几分时,学生的接受能力最强?

第二十六章小结与复习

一、本章学习回顾

1. 知识结构

2.学习要点

(1)能结合实例说出二次函数的意义。

(2)能写出实际问题中的二次函数的关系式,会画出它的图象,说出它的性质。

(3)掌握二次函数的平移规律。

(4)会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。

(5)会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。

(6)熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。

(7)会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。

3.需要注意的问题

在学习二次函数时,要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中,在用待定系数法求二次函数关系式的过程中,在利用二次函数图象求解方程与方程组时,都体现了数形结合的思想。

二、本章复习题

一、填空题

1.已知函数y?mxm2?m,当m= 时,它是二次函数;当m= 时,抛物线的开口向上;当m= 时,抛物线上所有点的纵坐标为非正数.

2.抛物线y?ax经过点(3,-1),则抛物线的函数关系式为.

3.抛物线y?(k?1)x?k?9,开口向下,且经过原点,则

15 222

4.点A(-2,a)是抛物线y?x2上的一点,则 A点关于原点的对称点B是 ;A点关于y轴的对称点C是 ;其中点B、点C在抛物线y?x2上的是 .

5.若抛物线y?x2?4x?c的顶点在x轴上,则c的值是 .

6.把函数y??12x的图象向左平移2个单位,再向下平移3个单位,所得新图象的函6

数关系式为 .

7.已知二次函数y?x2?8x?m的最小值为1,那么m的值等于 .

8.二次函数y??x2?2x?3的图象在x轴上截得的两交点之间的距离为.

9.抛物线y?x2?2x?1的对称轴是,根据图象可知,当时,y随x的增大而减小.

10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是y轴,且经过点(-2,-2),则抛物线的函数关系式为 .

11.若二次函数y?x2?bx?c的图象经过点(2,0)和点(0,1),则函数关系式为 .

12.抛物线y?x2?2x?3的开口方向向,顶点坐标是,对称轴是与x轴的交点坐标是 ,与y轴的交点坐标是 ,当x= 时,y有最.

(x2,0),13.抛物线y?x?x?c与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0),若x1?x2?3,

那么c值为 ,抛物线的对称轴为 .

14.已知函数y?(m?1)x?2x?m?4.当m 原点的抛物线.

15.一条抛物线开口向下,并且与x轴的交点一个在点A(1,0)的左边,一个在点A(1,0)的右边,而与y轴的交点在x轴下方,写出这条抛物线的函数关系式

二、选择题

16.下列函数中,是二次函数的有 ( ) ①y?1?2x2 ②y?

222221 ③y?x(1?x) ④y?(1?2x)(1?2x) 2x16

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

17.若二次函数y?(m?1)x2?m2?2m?3的图象经过原点,则m的值必为 ( )

A、-1或3 B、-1 C、3 D、无法确定

18.二次函数y?x2?2(m?1)x?4m的图象与x轴 ( )

A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点

19.二次函数y?x2?2x?2有( )

A、最大值1 B、最大值2 C、最小值1 D、最小值2

20.在同一坐标系中,作函数y?3x2,y??3x2,y?12x的图象,它们的共同特点是 3

(D )

A、都是关于x轴对称,抛物线开口向上

B、都是关于y轴对称,抛物线开口向下

C、都是关于原点对称,抛物线的顶点都是原点

D、都是关于y轴对称,抛物线的顶点都是原点

21.已知二次函数y?kx2?7x?7的图象和x轴有交点,则k的取值范围是 ( )

77 B、K??且k?0 44

77C、K?? D、K??且k?0 44

112222.二次函数y?(x?1)?2的图象可由y?x的图象 ( ) 22A、K??

A.向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到

B.向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到

C.向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到

D.向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到

23.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以

每次提高2元的这种方法变化下去.为了投资少而获利大,每床每晚应提高 ( )

A、4元或6元 B、4元 C、6元 D、8元

24.若抛物线y?ax?bx?c的所有点都在x轴下方,则必有 ( )

A、a?0,b?4ac?0 B、a?0,b?4ac?0

17 222

C、a?0,b2?4ac?0 D、a?0,b2?4ac?0

25.抛物线y?2x2?4x?1的顶点关于原点对称的点的坐标是 ( )

A、(-1,3) B、(-1,-3) C、(1,3) D、(1,-3)

三、解答题

26.已知二次函数y?12x?2x?1. 2

(1)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值;

(2)求抛物线与x轴、y轴的交点;

(3)作出函数图象的草图;

(4)观察图象,x为何值时,y>0;x为何值时,y= 0;x为何值时,y<0?

27.已知抛物线过(0,1)、(1,0)、(-1,1)三点,求它的函数关系式.

28.已知二次函数,当x=2时,y有最大值5,且其图象经过点(8,-22),求此二次函数的函数关系式.

29.已知二次函数的图象与x轴交于A(-2,0),B(3,0)两点,且函数有最大值2.

(1)求二次函数的函数关系式;

(2)设此二次函数图象的顶点为P,求⊿ABP的面积.

30.利用函数的图象,求下列方程(组)的解:

(1)2x?x?3?0; 2?y??3x?1 (2)?. 2y?x?x?

31.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数:m=162-3x.

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;

(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?

相 似 形 第一课时 图形的相似

教学目标

通过一些相似的实例,让生观察相似图形的特点,感受形状相同的意义,理解相似图形的概念.能通过观察识别出相似的图形.能根据直觉在格点图中画出已知图形的相似图形.

教学重点

引导学生通过观察识别相似的图形,培养学生的观察分析及归纳能力.

18

教学难点

理解相似图形的概念.

教学过程

一、观察课本第34页图,每组图形中的两图之间有什么关系?

二、归纳:

每组图形中的两个图形形状相同,大小不同.

具有相同形状的图形叫相似图形.

师可结合实例说明:

⑴相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关.

⑵相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况.

⑶我们可以这样理解相似形:

两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.

⑷若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形.

三、你还见过哪些相似的图形?请举出一些例子与同学们交流.

四、观察课本第35页的三组图形,它们是否相似形?为什么?

五、想一想:

放大镜下的图形与原来的图形相似吗?

放大镜下的角与原来图形中的角是什么关系?

可让学生动手实验,然后讨论得出结论.

六、观察课本第43页图24.1.4中的三组图形,它们是否相似形?为什么?

让学生通过比较图24.1.3与图24.1.4,体会相似图形与不相似图形的“形状”特点.

八、巩固:

⒈课本第35页练习.

⒉课本第44页习题24.1.

对于第2题,学生的判断是对相似图形的一种直观认识,最好让学生充分交流彼此的看法.

九、小结:

你通过这节课的学习,有哪些收获?

十、作业:略.

第二课时 相似三角形

教学目标:使学生掌握相似图形的特征

教学重点:相似图形的性质

教学过程:

相似形:形状相同、大小不一定相同的图形。特例:全等形。

相似形的识别:对应边成比例,对应角相等。

19

成比例线段(简称比例线段):对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即

比例线段,简称比例线段。 ac?(或a:b=c:d),那么,这四条线段叫做成bd

例1:(1)放大镜下的图形和原来的图形相似吗?

(2)哈哈镜中的形象与你本人相似吗?

(3)你能举出生活中的一些相似形的例子吗/

例2:判断下列各组长度的线段是否成比例:

(1)2厘米,3厘米,4厘米,1厘米

(2)1·5厘米,2·5厘米,4·5厘米,6·5厘米

(3)1·1厘米,2·2厘米,3·3厘米,4·4厘米

(4)1厘米, 2厘米,2厘米,4厘米。

例3:某人下身长90厘米,上身长70厘米,要使整个人看上去成黄金分割,需穿多高的高跟鞋?

例4:等腰三角形都相似吗?

矩形都相似吗?

正方形都相似吗?

2、相似形三角形的判断:

a两角对应相等

b两边对应成比例且夹角相等

c三边对应成比例

3、相似形三角形的性质:

a对应角相等

b对应边成比例

例 如图27.1-6,四边形ABCD和EFGH相似,求角 , 的大小和EH的长度x. 解:略

练习:1.已知:x:y:z=2:3:4, 求:

(1)

2.已知:

1

dabc????k,求k的值。 a?b?cb?c?da?c?da?b?dx?y?z3x?2y?z(2)(3)若2x-3y+z=-2求x,y,z的 x?y?zx?2y?3z

20

第3课时 图形的相似(第1课时)

教学目标

1.掌握相似多边形的定义、表示法,并能根据定义判断两个多边形是否相似.

2.能根据相似比进行计算.

3. 通过与相似多边形有关概念的类比,得出相似三角形的定义, 领会特殊与一般的关系.

4.能根据定义判断两个多边形是否相似,训练学生的判断能力.

5.能根据相似比求长度和角度,培养学生的运用能力.

6. 通过与相似多边形有关概念的类比,渗透类比的教学思想,并领会特殊与一般的关系. 重点:相似三角形的初步认识.

教学过程

1、观察

共同特征:形状相同,大小不同.

相似图形:我们把这种形状相同的图形说成是相似图形

问题1:两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形

______或________得到,

问题2:举出现实生活中的几个相似图形的例子

例如,放映电影时,投在屏幕上的画面就是胶片上的图形的放大;

实际的建筑物和它的模型是相似的;

用复印机把一个图形放大或缩小所所得的图形,也都与原来的图形相似.

问题3:尝试着画几个相似图形?(多媒体出示)

2、教材“观察”

图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像,它们相似吗?(多媒体出示)

相似 不相似 不相似

课堂练习:教材p37页1、2。

21

第4课时 相似三角形的判定

教学目标:1.掌握相似多边形的定义、表示法,并能根据定义判断两个多边形是否相似.

2.能根据定义判断两个多边形是否相似,训练学生的判断能力.

教学重难点:掌握平行得相似的定理

教学过程:

探究一:如图27.2-1,任意两条直线L1,L2,再画三条于L3,L4,L5。分别度量L3,L4,L5在L1上截得的两条线段AB,BC和在 L2上截得的两条线段DE,EF的长度, 与 相等吗?任意平移L5,在度量AB,BC,DE,EF的长度, 与 相等吗?

经过证明,人们得到:平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等

由上得推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等。

巩固练习 课本P54,第4题

第5课时 相似三角形的判定

教学目标相似三角形

1.掌握相似三角形的判定方法,并会判定一个三角形是相似三角形

教学重点: 相似三角形的判定方法

教学过程

新课讲授

判定方法一:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所购成的三角形与原三角形相似。 判定方法二:如果两个三角形的三条对应边的比相等,那么这两个三角形相似。

判定方法三:如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。

例1 根据下列条件,判断ABC与 ABC是否相似。

22

课堂练习:课本P45练习1,2,3题

作业:课本54页,2

第6课时 相似三角形的判定

教学目标

1.掌握相似三角形的判定方法,并会判定一个三角形是相似三角形

教学重点: 相似三角形的判定方法

教学过程

新课讲授;

判定方法四:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个角相似

定理应用:例2

如图27.2-9,弦AB和CD相交于 O内一点P,求证PA.PB=PCPD

证:略

思考

对于两个直角三角形,我们还可以用HL判定它们全等。那么,满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗?

证:略

得出结论:斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似。

课堂练习:P48,练习1,2

第7课时 相似三角形应用举例

教学目标

能够运用三角形相似的知识,解决不能直接测量物体的长度和高度

教学重难点

运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度

教学过程

23

例3 如图27.2-11,如果木杆EF长2m, 它的影长FD为3m,测得OA为201m,求金字塔 的高度BO

解; ∵ BA ∥DE

∴ ∠BAO=∠EDF

又∵∠AOB=∠DFE= ∴△ABC ∽△DEF

∴ 因此金字塔的高度134m.

例2 如图,为了估算河的宽度,我们可在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与岸垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b交于点R,测得QS=45m,ST=90m。QR=60m。求河的宽度PQ

解;∵∠PQR=∠PST= ,∠P=∠P

∴△PQR∽△PST

∴ 即 解得PQ=90

因此河的宽度PQ为90m

三 课堂练习

1、 在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹杆的影长为3m,同一时刻测得一栋高楼的影长为90m,这栋楼的高度是多少

作业:课本50页,练习1,2

第8课时 相似三角形的周长与面积

一、教学目标

1. 理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

2. 能用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解决简单的问题。

教学目标理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

教学过程

新课引入:

1.回顾相似三角形的概念及判定方法。

2.复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。

以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系。

提出问题:

如果两个三角形相似,它们的周长之间什么关系?两个相似多边形呢?(学生小组讨论)

?ABC∽?A1B1C1,相似比为k AB=kA1B1,BC=kB1C1,CA=kC1A1 相似三角形周长的比等于相似比相似多边形周长的比等于相似比。

24

延伸问题:

探究:

(1)如图27.2-11(1),?ABC∽?A1B1C1,相似比为k1 ,它们的面积比是多少? 分析:如图27.2-11(1),分别作出?ABC和?A1B1C1的高AD和A1D1。 ∠ADB=∠A1D1B1=900又∠B=∠B1

?ABD∽?A1B1D1

=k12

相似三角形面积比等于相似比的平方

(2)如图27.2-11(2),四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1,相似比为k2,它们的面积比是多少?

分析: k22

k22

相似多边形面积比等于相似比的平方

应用新知:

例6:如图27.2-12,在?ABC和?DEF中,AB=2DE,AC=2DF,

∠A=∠D,?ABC的周长是24,面积是48,求 ?DEF的周长和面积。

图27.2-12 分析: ?ABC和?DEF中,AB=2DE,AC=2DF

又∠A=∠D

?ABC∽?DEF,相似比为 ?DEF的周长= 24=12,面积= 2 48=12。

让学生经历从特殊到一般的过程,体会有限数学归纳法的魅力,学生以小组讨论的形式开展学习有利于丰富学生的探究经验。

让学生经历从“相似三角形周长的比与相似比的关系到相似三角形面积比与相似比的关系”的过程,体会它们之间的形式雷同性与认知结构雷同性。

让学生再次经历从特殊到一般的过程,进一步体验有限数学归纳法的魅力。

让学生了解运用“相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方”的常见解题思路。

3,课堂练习P53,练习1,2,3

位似

第一课时

一、教学目标

1.了解位似图形及其有关概念,了解位似与相似的联系和区别,掌握位似图形的性质.

2.掌握位似图形的画法,能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.

二、教学重点、难点

25

1.重点:位似图形的有关概念、性质与作图.

2.难点:利用位似将一个图形放大或缩小.

三,教学过程

1.观察:在日常生活中,我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形,它们有什么特征?

2.问:已知:如图,多边形ABCDE,把它放大为原来的2倍,即

新图与原图的相似比为2.应该怎样做?你能说出画相似图形的一

种方法吗?

3、例题讲解

例1(补充)如图,指出下列各图中的两个图形是否是位似图形,如果是位似图形,请指出其位似中心.

分析:位似图形是特殊位置上的相似图形,因此判断两个图形是否为位似图形,首先要看这两个图形是否相似,再看对应点的连线是否都经过同一点,这两个方面缺一不可. 解:图(1)、(2)和(4)三个图形中的两个图形都是位似图形,位似中心分别是图(1)中的点A ,图(2)中的点P和图(4)中的点O.(图(3)中的点O不是对应点连线的交点,故图(3)不是位似图形,图(5)也不是位似图形)

例2(教材P61例题)把图1中的四边形ABCD缩小到原来的

分析:把原图形缩小到原来的1. 21,也就是使新图形上各顶点到2

位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为

1∶2 .

26

作法一:(1)在四边形ABCD外任取一点O;

(2)过点O分别作射线OA,OB,OC,OD;

(3)分别在射线OA,OB,OC,OD上取点

A′、B′、C′、D′, 使得OA?OB?OC?OD?1????; OAOBOCOD2

(4)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、

D′A′,得到所要画的四边形

A′B′C′D′,如图2.

问:此题目还可以如何画出图形?

作法二:(1)在四边形ABCD

外任取一点O;

(2)过点O分别作射线OA,

OB, OC,OD;

(3)分别在射线OA, OB,

OC, OD的反向延长线上取点

A′、B′、C′、D′,使得

OA?OB?OC?OD?1 ????;OAOBOCOD2

(4)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′,得到所要画的四边形A′B′C′D′,如图3.

作法三:(1)在四边形ABCD内任取一点O;

(2)过点O分别作射线OA,OB,OC,OD;

(3)分别在射线OA,OB,OC,OD上取点A′、B′、C′、D′, 使得OA?OB?OC?OD?1????; OAOBOCOD2

(4)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′,得到所要画的四边形A′B′C′D′,如图4.

(当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时,作法略——可以让学生自己完成)

四、课堂练习

1.教材P61.1、2

2.画出所给图中的位似中心.

27

1. 把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍.

作业

1.已知:如图,△ABC,画△A′B′C′,

使△A′B′C′∽△ABC,且使相似比为1.5,要求

(1)位似中心在△ABC的外部;

(2)位似中心在△ABC的内部;

(3)位似中心在△ABC的一条边上;

(4)以点C为位似中心.

第二课时

一、教学目标

1.巩固位似图形及其有关概念.

2.会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换,掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律.

二、教学重点、难点

1.重点:用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换.

2.难点:把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律.

三,教学过程

1.如图,△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3),B(2,1),

C(6,2),(1)将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1,

写出A1、B1、C1三点的坐标;

(2)写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点

A2、B2、C2的坐标;

(3)将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3,写出

A3、B3、C3三点的坐标.

2.在前面几册教科书中,我们学习了在平面直角坐标系中,如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换,相似也是一种图形的变换,一些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来表示.

28

3.探究:

(1)如图,在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为1,把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现? 3

(2)如图,△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3),B(2,1),

C(6,2),以点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大,

观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?

【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律:在平

面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似

比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

例题讲解

例1(教材P63的例题)

分析:略(见教材P63的例题分析)

解:略(见教材P63的例题解答)

问:你还可以得到其他图形吗?请你自己试一试!

解法二:点A的对应点A′′的坐标为(-6×(?),6×(?)),即A′′(3,-3).类似地,可以确定其他顶点的坐标.(具体解法与作图略)

例2(教材P64)在右图所示的图案中,你能找出平移、轴

对称、旋转和位似这些变换吗?

分析:观察的角度不同,答案就不同.如:它可以看作是

一排鱼顺时针旋转45°角,连续旋转八次得到的旋转图形;它

还可以看作位似中心是图形的正中心,相似比是4∶3∶2∶1

的位似图形,??.

解:答案不惟一,略.

四,课堂练习

1. 教材P64.1、2

2. △ABO的定点坐标分别为A(-1,4),B(3,2),O(0,0),

试将△ABO放大为△EFO,使△EFO与△ABO的相

似比为2.5∶1,求点E和点F的坐标.

3. 如图,△AOB缩小后得到△COD,观察变化前后的三

角形顶点,坐标发生了什么变化,并求出其相似比和

面积比.

29 1212

第二十八章 锐角三角函

第1课时 正弦函数

教学目标

(1)了解锐角三角函数的概念,能够正确应用sinA、cosA、tanA?表示直角三角形中两边的比;记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值,并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角;

(2)能够正确地使用计算器,由已知锐角求出它的三角函数值,?由已知三角函数值求出相应的锐角.

教学重点与难点

1.重点:正弦、余弦;正切三个三角函数概念及其应用.

2.难点:使学生知道当锐角固定时,它的对边、?邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦;正弦、余弦概念

教学过程

复习引入

教师讲解:杂志上有过这样的一篇报道:始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜.1972年比萨发生地震,这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之分,仍巍然屹立.可是,塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m,?而且还以每年倾斜1cm?的速度继续增加,?随时都有倒塌的危险.?为此,?意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏,2001年竣工,使顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm.

根据上面的这段报道中,?“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m,”这句话你是怎样理解的,它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗?

这个问题涉及到锐角三角函数的知识.学过本章之后,你就可以轻松地解答这个问题了!

探究新知

30

(1)问题的引入

教师讲解:为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,?在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管?

教师提出问题:怎样将上述实际问题用数学语言表达,要求学生写在纸上,?互相讨论,看谁写得最合理,然后由教师总结.

教师总结:这个问题可以归纳为,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35m,?求AB(课本图28.1-1).

B

AC

根据“在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”,即

1?A的对边BC?= 2斜边AB

可得AB=2BC=70m,也就是说,需要准备70m长的水管.

教师更换问题的条件后提出新问题:?在上面的问题中,?如果使出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管??要求学生在解决新问题时寻找解决这两个问题的共同点.

教师引导学生得出这样的结论:在上面求AB(所需水管的长度)的过程中,虽然问题条件改变了,但我们所用的定理是一样的:在一个直角三角形中,?如果一个锐角等于30°,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于

要山坡的坡度是30°这个条件不变,那么斜边与对边的比值不变.

教师提出第2个问题:既然直角三角形中,30°角的斜边与对边的比值不变,那么其他角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢??我们再换一个解试一试.?如课本图 31 1.也是说,只2

28.1-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=45°,∠A对边与斜边的比值是一个定值吗??如果是,是多少?

B

AC

教师要求学生自己计算,得出结论,然后再由教师总结:在Rt△ABC中,∠C=90°由于∠A=45°,所以Rt△ABC是等腰直角三角形,由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2,

因此

BC??

, AB2 即在直角三角形中,当一个锐角等于45°时,不管这个直角三角形的大小如何,?这

. 教师再将问题提升到更高一个层次:?从上面这两个问题的结论中可知,?在一个Rt△ABC中,∠C=90°,当∠A=30°时,∠A的对边与斜边的比都等于1,是一个固定2

值;?当∠A=45°时,∠A

的对边与斜边的比都等于,也是一个固定值.这就引发我2

们产生这样一个疑问:当∠A取其他一定度数的锐角时,?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?

教师直接告诉学生,这个问题的回答是肯定的,并边板书,?边与学生共同探究证明方法.这为问题可以转化为以下数学语言:

任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′(课本图28.1-3),使得∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′=a,那么BCB'C'与有什么关系. ABA'B'

32

'

B

A'C

www.czsx.com.cnC'

在课本图28.1-3中,由于∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′=a,所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′,BCABBCB'C'??,即. B'C'A'B'ABA'B'

这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,?∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.

(二)正弦函数概念的提出

教师讲解:在日常生活中和数学活动中上面所得出的结论是非常有用的.为了引用这个结论时叙述方便,数学家作出了如下规定:

如课本图28.1-4,在Rt△BC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA= =a. c

B

AbC对边a

在课本图28.1-4中,∠A的对边记作a,∠B的对边记作b,∠C的对边记作c. 例如,当∠A=30°时,我们有sinA=sin30°=1; 2

当∠A=45°时,我们有sinA=sin45°

(三)正弦函数的简单应用

教师讲解课本第79页例题1. 例1 如课本图28.1-5,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值. 33

B

3

A4

(1)CB3513A(2)

教师对题目进行分析:求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比;求sinB?就是要确定∠B的对边与斜边的比.我们已经知道了∠A对边的值,所以解题时应先求斜边的高. 解:如课本图28.5-1(1),在Rt△ABC中,

BC3AC4=,sinB==. AB5AB5 因此 sinA=

如课本图28.5-1(2),在Rt△ABC中,

BC5=,

?. AB13

AC12 因此,sinB==. AB13 sinA=

随堂练习

做课本第79页练习.

课时总结

在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A?的对边与斜边的比都是一个固定值.

在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A?的正弦,?记作sinA,

作业

1.如图1,已知点P的坐标是(a,b),则sinα等于( )

A.ab B. C

baD 34

y

P(a,b)

www.czsx.com.cnAA BC

BC

(1) (2) (3)

2.(2005,南京)如图2,在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,则tanB的值是( )

3434 B. C. D. 4355

5 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则sinB等于( ) 13A.

第2课时余弦、正切函数

复习引入

教师提问:我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的?为什么可以这样定义它. 学生回答后教师提出新问题:在上一节课中我们知道,如课本图28.1-6所示,?在Rt△ABC中,∠C=90°,当锐角A确定时,∠A的对边与斜边的比就随之确定了.?现在我们要问:其他边之间的比是否也确定了呢?为什么?

B

斜边c

A∠A的邻边b∠A的对边aC

探究新知

(一)余弦、正切概念的引入

?其证明方法与上一节课证明对边比斜边为定值的方法相同,都是通过两个三角形相似来证明.

35

学生证明过后教师进行总结:类似于正弦的情况,在课本图28.1-6中,当锐角A的大小确定时,∠A的斜边与邻边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的.我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=?A的邻边a=; c斜边?A的对边a=. ?A的邻边b 把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA=

教师讲解并板书:锐角AA的锐角三角函数.

对于锐角A的每一个确定的值,sinA有唯一确定的值与它对应,所以sinA是A的函数.同样地,cosA,tanA也是A的函数.

(二)余弦正切概念的应用

教师解释课本第80页例2题意:如课本图28.1-7,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=?6,sinA=3,求cosA、tanB的值. 5

B

6

AC

切值,就要求斜边与另一个直角边的值.?我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求.

教师分析完后要求学生自己解题.学生解后教师总结并板书.

BC, AB

BC5 ∴AB==6×=10, sinA3 解:sinA=

又∵

∴cosA=, AC4AC4=,tanB==. AB5BC3

36

随堂练习

学生做课本第81页练习1、2、3题.

课时总结

在直角三角形中,当锐角A的大小确定时,∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正切,记作tanA.

练习

做课本第85页习题28.1复习巩固第1题、第2题.(只做与余弦、正切函数有关的部分)

作业

一、选择题.

1.已知sina+cosa=m,sina·cosa=n,则m,n的关系是( ).

A.m=n B.m=2n+1 C.m2=2n+1 D.m2=1-2n

2.在直角三角形ABC中,∠A为锐角,且cosA=1,那么( ). 4

A.0°<∠A≤30° B.30°≤∠A≤45°

C.45°<∠A≤60° D.60°<∠A<90°

3.如图1,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α,则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为( ).

A.1

sinaB.1 C.sina D.

1 cosa

A

ADADBCBCBwww.czsx.com.cn

(1) (2) (3) (4)

4.如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BDC=90°,且AD=3,sin∠ABD= 37 3,sin∠5

DBC=12,则AB,BC,CD长分别为( ). 13

A.4,12,13 B.4,13,12 C.5,12,13 D.5,13,12

第3课时 特殊角的三角函数值

(第3课时)

复习引入

教师提问:一个直角三角形中,一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的?

在学生回答了这个问题后,教师再复述一遍,提出新问题:两块三角尺中有几个不同的锐角?是多少度?分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.

提醒学生:求时可以设每个三角尺较短的边长为1,?利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值.

探究新知

(一)特殊值的三角函数

学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结.

30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表:

教师讲解上表中数学变化的规律:对于正弦值,分母都是2,分子按角度增加分别为2.对于正切,60?个角的正切值.

38

要求学生记住上述特殊角的三角函数值.

教师强调:(sin60°)2用sin260°表示,即为(sin60°)·(sin60°).

(二)特殊角三角函数的应用

1.师生共同完成课本第82页例3:求下列各式的值.

(1)cos260°+sin260°.

(2)cos45?-tan45°. sin45?

教师以提问方式一步一步解上面两题.学生回答,教师板书.

解:(1)cos260°+sin260°=(122)+

=1 2 (2)cos45?-tan45°

sin45?

2.师生共同完成课本第82页例4:教师解答题意:

(1)如课本图28.1-9(1),在Rt△ABC中,∠C=90,

A的度数.

(2)如课本图28.1-9(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB

求a.

教师分析解题方法:要求一个直角三角形中一个锐角的度数,可以先求它的某一个三角函数的值,如果这个值是一个特殊解,那么我们就可以求出这个角的度数.

解:(1)在课本图28.1-9(1)中,

sinA=BC ?

AB ∴∠A=45°.

39

(2)在课本图28.1-9(2)中,

tana=AO ?

OBOB

∴a=60°.

教师提醒学生:当A、B为锐角时,若A≠B,则

sinA≠sinB,cosA≠cosB,tanA≠tanB.

随堂练习

学生做课本第83页练习第1、2题.

课时总结

学生要牢记下表:

对于sina与tana,角度越大函数值也越大;对于cosa,角度越大函数值越小. 练习

做课本第85页习题28.1复习巩固第3题.

作业.

一、选择题.

1.已知:Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=3,AB=15,则AC的长是( ). 5

A.3 B.6 C.9 D.12

2.下列各式中不正确的是( ).

A.sin260°+cos260°=1 B.sin30°+cos30°=1

40

C.sin35°=cos55° D.tan45°>sin45°

3.计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是( ).

A.2 B

C

D.1

4.已知∠A为锐角,且cosA≤1,那么( ) 2

A.0°<∠A≤60° B.60°≤∠A<90°

C.0°<∠A≤30° D.30°≤∠A<90°

5.在△ABC中,∠A、∠B都是锐角,且sinA=

A.直角三角形 B.钝角三角形

C.锐角三角形 D.不能确定

6.如图Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BC=3,

BCD=a,则tana?的值为( ).

A.AC=4,设∠1,

,则△ABC的形状是( ) 23434 B. C. D. 4355

第5课时 利用计算器求三角函数值

第4课时

复习引入

教师讲解:通过上面几节的学习我们知道,当锐角A是30°、45°或60?°等特殊角时,可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值;如果锐角A?不是这些特殊角,怎样得到它的三角函数值呢?我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值.

探究新知

(一)已知角度求函数值

教师讲解:例如求sin18°,

并输入角度值18,得到结果sin18°=0.309016994.

又如求

tan30°

36′,?利用键,并输入角的度、分值,就可以得到答案 41

0.591398351.

利用计算器求锐角的三角函数值,或已知锐角三角函数值求相应的锐角时,不同的计算器操作步骤有所不同.

因为30°36′=30.6°,所以也可以利用

30.6,?同样得到答案0.591398351.

(二)已知函数值,求锐角

教师讲解:如果已知锐角三角函数值,也可以使用计算器求出相应的锐角.例如,已知sinA=0.5018;用计算器求锐角A可以按照下面方法操作:

依次按键

0.5018,得到∠A=30.11915867°(如果锐角A精确到1°,则结果为30°).

还可以利用

A=30°07′08.97″(如果锐角A?精确到1′,则结果为30°8′,精确到1″的结果为30°7′9″).

使用锐角三角函数表,也可以查得锐角的三角函数值,或根据锐角三角函数值求相应的锐角.

教师提出:怎样验算求出的∠A=30°7′9″是否正确?让学生思考后回答,?然后教师总结:可以再用计算器求30°7′9″的正弦值,如果它等于0.5018,?则我们原先的计算结果就是正确的.

随堂练习 课本第

84页练习第1、2题.

课时总结

已知角度求正弦值用90°的锐角用

?对于余弦与正切也有相类似的求法.

练习

做课本第85页习题28.1复习巩固第4题,第5题.

28.2 解直角三角形

教学目标

理解直角三角形中边与边的关系,角与角的关系和边与角的关系,会运用勾股定 42

理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形,并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题;

教学重点与难点

1.重点:直角三角形的解法.

2.难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用.

复习引入

教师讲解:上一节我们介绍了直角三角函数.我们知道,一个直角三角形有许多元素的值,各三边的长,三个角的度数,三角的正弦、余弦、正切值.我们现在要研究的是,我们究竟要知道直角三角形中多少值就可以通过公式计算出其他值.

探究新知

概念的引入

教师讲解题目含意:要想使人完全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°(课本图28.2-1),现有一个长6m的梯子,问:

1.使用这个梯子最高可以完全攀上多高的墙(精确到0.1m)?

2.当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角

a等于多少(精确到1°)?这时人是否能够安全使用这个

梯子?

教师对问题的解法进行分析:对于问题1,当梯子与地

面所成的角a为75°时,?梯子顶端与地面的距离是使用这

个梯子所能攀到的最大高度.

教师要求学生将上述问题用数学语言表达,学生做完后

教师总结并板书:我们可以把问题1归结为:在Rt△ABC中,已知∠A=75°,斜边AB=6,求∠A的对边BC的长(如课本图28.2-1).

教师讲解问题1的解法:

由sinA=BC 得 BC=AB·sinA=6×sin75°. AB

43 由计算器求得 sin75°≈0.97,

所以 BC≈6×0.97≈5.8.

因此使用这个梯子能够完全攀到墙面的最大高度约是5.8m.

教师分析问题2:当梯子底端距离墙面2.4m时,求梯子与地面所成的角a的问题,?可以归结为:在Rt△ABC中,已知AC=2.4,斜边AB=6,求锐角a的度数(如课本图28.2-1). 教师解题:由于cosa=AC2.4==0.4, AB6

利用计算器求得a≈66°.因此当梯子底端距离墙面2.4m时,?梯子与地面所成的角大约是66°,由50°<66°<75°可知,这时使用这个梯子是安全的.

随堂练习

如下图,已知A、B两点间的距离是160米,从A点看B点的仰角是11°,AC长为

1.5米,求BD的高及水平距离CD.

学生做完此题后教师要讲评:

解题方法分析:由A作一条平行于CD的直线交BD于E,构造出Rt△ABE,然后进一步求出AE、BE,进而求出BD与CD.设置此题,即使成绩较好的学生有足够的训练,同时对较差学生又是巩固,达到分层次教学的目的.

解:过A作AE∥CD,于是有AC=ED,AE=CD.

在Rt△ABE中,sinA=BE AB

∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53(米).

cosA=AE AB

∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1(米).

∴BD=BE+ED=BE+AC=30.53+1.5=32.03(米).

CD=AE=157.1(米).

答:BD的高及水平距离CD分别是32.03米,157.1米.

44

课时总结

利用三角函数解应用题时,?首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的边和角,然后再运用三角函数知识解题.

作业

做课本第96页习题28.2复习巩固第1题、第2题.

作业

1.根据直角三角形的__________元素(至少有一个边),求出________?其它所有元素的过程,即解直角三角形.

2.Rt△ABC中,若sinA=4,AB=10,那么BC=_____,tanB=______. 5

3,则cosA的值是( ) 5 3.在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,那么sinA=________. 4.(2006年中考题),在△ABC中,∠C=90°,sinA=

A.349 B. C.5525D.16 25

5.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC.

(1)求证:AC=BD;(2)若sinC=12,BC=12,求AD的长. 13

A

www.czsx.com.cn

第2课时 解直角三角形

教学目标 :会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题;

教学重难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用.

教学过程

复习引入

教师讲解:上一节课我们通过实例大致了解了通过已知条件来求三角形其他元素解 45

法.这一节课我们将提出解直角三角形这一概念,并通过实例说明它的解法.

教师提出以下问题要求学生自行解答:三角形有六个元素,分别是三条边和三个内角.在课本图28.2-1的Rt△ABC中,

1.根据∠A=75°,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?

2.根据AC=2.4,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? 学生解答完后教师给出解法.

探究新知

(一)什么是解直角三角形

教师讲解什么是解直角三角形.事实上,在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果再知道两个元素(其中至少有一个是边),这个三角形就可以确定下来,?这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素.

在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,就是解直角三角形.

(二)解直角三角形用的知识

师生共同思考,在解直角三角形的过程中,要用到哪些已学过的知识.

教师总结:如课本图28.2-2所示,解直角三角形时一般要用到下面的某些知识:

(1)三边之间的关系

a2+b2+c2(勾股定理)

(2)两锐角之间的关系

∠A+∠B=90°.

(3)边角之间的关系: ?A的对边a?B的对边b sinA==,sinB== cc斜边斜边 cosA=?A的邻边b?B的邻边a=,cosB== cc斜边斜边?A的对边a?B的对边a=,tanB== ?A的邻边b?B的邻边b

46 tanA=

(三)解直角三角形实例 1.教师解释例1题意:

例1 如课本图28.2-3,在Rt△ABC中,∠C=90°,

直角三角形.

教师给出解法并板书.

BC 解:∵

tanA= ?

AC ∴∠A=60°.

∠B=90°-∠A=90°-60°=30°.

2.教师讲解例2题意,解题并板书:

例2 如课本图28.2-4,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,?解这个直角三角形.(精确到0.1)

解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55°.

b. ab2020

?? ∴a=≈28.6. tanBtan35?0.70b

∵sinB=,

cb2020

?? ∴c=≈35.1. sinBsin35?0.57

∵tanB= (四)应用实例

现在我们来看本章引言提出的有关比萨斜塔倾斜的问题.

先看1972年的情形:设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为A,?过B点向垂直中心线引垂线,垂足为点C(如课本图28.2-5),在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2m,AB=54.5m.

47

sin=BC5.2?≈0.0954. AB54.5

所以∠A≈5°08′.

教师要求学生求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线

的夹角.

随堂练习

课本第91页练习.

课时总结

解直角三角形就是已知直角三角形三条边,三个角中的2

个元素(?其中有一个必须是边)求其他元素的过程.解直角三角形常用的知识有:勾股定理,正弦、余弦、正切,两个内角和为90度.

作业

一、选择题.

1.Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinB=2,则BC的长为( ). 5

A.

B.4CD 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b分别是∠A、∠B的对边,如果sinA:sinB=2:3,那么a:b等于( ).

A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.9:4

3.在Rt△ABC中,∠C=90°,则sinA+cosA的值( ).

A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.不能确定

4.直角三角形中两边的比是1:2,则较短边所对的角的正弦值是( ).

A.11 B

C. D

22

5.△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,tanB的值是( ).

A.

513B.135C.121348 D

.12 5

第3课时 求不可到达的两点间距离

教学目标:利用解直角三角形的知识解决实际问题

教学重点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用.

教学过程

复习引入

教师讲解:本节课将利用解直角三角形知识解决生活中的许多问题.?2003?年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.?我们将应用直角三角形知识探究有关飞船运行的一些知识.

探究新知

(一)讲解例3

教师提出问题:当飞船完成变轨后,就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如课本图28.2-6,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时,?从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置??这样的最远点与P?点的距离是多少???(??地球半径约为6400km,结果精确到0.1km).

教师对问题进行分析:从飞船上能直接看到的地球

最远的点,应是视线与地球相切时的切点.如图28.2-6

示,⊙O表示地球,点F是飞船的位置,FQ是⊙O的上所切

楚,

出线,切点Q是从飞船观察地球时的最远点.PQ的长就地面上P、Q两点间的距离(?这一点教师务必讲解清千万不能用弦PQ去代替).为了计算PQ的长需先求

∠POQ(即∠a).

在解决例3的问题时,要综合运用圆和解直角三角形的知识.

教师要求学生思考解法,然后提问,学生回答后教师作出总结并板书;在图28.2-6中,FQ是⊙O的切线,△FCQ是直角三角形.

∵cosαOQ6400?≈0.95, OF6400?350

49 ∴α≈18°.

∴PQ的长为18?×6400≈1.34×640=2009.6. 180

由此可见,当飞船在P点正上方时,从飞船观测地球时的最远点距离P?点约2009.6km.

(二)讲解例4

教师分析题意:热气球的探测器显示,从热气球看

一栋高楼顶部的仰角为30°,?看这栋高楼底部的俯角

为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,问这栋高

栋有多高?(结果精确到0.1m)

教师对解法进行分析:我们知道,在视线与水平线

所成的角中,?视线在水平线上方的是仰角,视线在水

平线下方的是俯角.因此,在课本图28.2-7中,AD

是与水平面平行的直线,则α=30°,β=60°,?我们可以把这道题分成两个直角三角形来解.?在Rt?△ABD中,a=30°,AD=120,所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地在△ACD中可以求出CD.进而求出BC.

教师要求学生独立完成该题.学生做完后教师给出该题的答案并板书:

解:如课本图28.2-7,α=30°,β=60°,AD=120.

∵tanα= BDCD,tan?? ADAD

∴BD=AD·tanα=120×tan30°=120

× 3

CD=AD·tanβ=120×tan60°=120

277.1.

答:这栋楼房约为277.1m.

随堂练习

课本93页练习第1题、第2题.

课时总结

50

如果问题不能归结为一个直角三角形,则应当对所求的量进行分解,将其中的一部分量归结为直角三角形中的量.

练习:

做课本第97页习题28.2第6题、第7题、第8题.

作业

一、选择题.

1.某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则上升的最大高度是( ).

A.100msin?B.100sin?mC.100 m D.100cosβm cos?

2.从地面上的C、D两处望正西方向山顶A,仰角分别为30°和45°,C、D?两处相距200m,那么山高AB为( ).

A.100

)m B.

C.

D.200m

3.已知A、B两点,若点A对点B的仰角为θ,那么B对A的俯角是( ).

A.θ B.90°-θ C.2θ D.180°-θ

4.上午9时,一条船从A处出发,以每小时40海

里的速度向正东方向航行,9时30分到达B处,如图,

从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东

15°方向,那么B处船与小岛M的距离为( ).

A.20海里 B.

C.

D.

5.将1cosB+sinB改写成下列形式的式子,其中写错的是( ). 2

2

A.sin30°cosB+cos30°sinB; B.sin30°cosB+sin60°sinB

C.cos60°cosB+sin60°sinB; D.cos60°cosB+sin30°

sinB

51

6.如图,为测河两岸相对两抽水泵A、B的距离,

在距B点30m的C处(BC⊥BA),测得∠BCA=55°,

则A、B间的距离为( ).

A.30tan55°m B.30m tan55?

C.30sin55°m D.30cos55°m

第4课时 方位角与方向角问题

复习引入

本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题.

探究新知

(一)方位角与方向角

1.方向角 教师讲解:指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角.如课本图28.2-1中的目标方向线OA,OB,OC分别表示北偏东60°,南偏东30°,北偏西70°.特别地,若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角,如图28.2-1的目标方向线OD与正南方向成45°角,通常称为西南方向.

图28.2-1 图28.2-2

2.方位角

教师讲解:从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角.?如课本图28.2-2中,目标方向线PA,PB,PC的方位角分别是40°,135°,225°.

(二)用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点

教师讲解:在解决实际问题时,我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题,要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)?

之间的关系, 52

这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解.

解题时一般有以下三个步骤:

1.审题.按题意画出正确的平面或截面示意图,并通过图形弄清已知和未知.

2.将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题.如果没有现成是直角三角形可供使用,可通过作辅助线产生直角三角形,再把条件和问题转化到这个直角三角形.

3.根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、?角)之间关系解有关的直角三角形.

(三)例题讲解

教师解释题意:如课本图28.2-8所示,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,?距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,?到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(精确到0.01海里)

教师提示:这道题的解题思路与上一节课的例4相似.因为△APB不是一个直角三角形,所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形,△ACP与△PCB.PC?是东西走向的一条直线.AB是南北走向的一直线,所以AB与PC是相互垂直的,即∠ACP与∠BDP?均为直角.再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC;通过34度角与∠BPC?互余的关系求∠BPC.

教师分析后要求学生自行做完这道题.学生做完后教师再加以总结并板书. 解:如课本图28.2-8,在Rt△APC中,

PC=PA·cos(90°-65°)

=80×cos25°≈80×0.91=72.8.

在Rt△BPC中,∠B=34°,

53

PC, PB

PC72.872.8?? ∴PB=≈130.23. sinBsin34?0.559 ∵sinB=

因此,当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时,它距离灯塔P大约130.23海里.

教师讲解:解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,?要根据实际情况灵活运用相关知识.例如,当我们要测量如课本图28.2-9所示大坝的高度h时,只要测出仰角α和大坝的坡面长度L,就能算出h=Lsinα.但是,当我们要测量如课本图28.2-10所示的山高h时,问题就不那么简单了.这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L.

图28.2-9 图28.2-10

与测坝高相比,测山高的困难在于:坝坡是“直”的,而山坡是“曲”的.怎样解决这样的问题呢?

我们设法“化曲为直,以直代曲”.我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段,课本图28.2-11表示其中一部分小段.划分小段时,注意使每一小段上的山坡近似是“直”的,可以量出这段坡长L1,测出相应的仰角α,这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sinα.

图28.2-11

在每个小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,??.

然后我们再“积零为整”,把h1,h2,?相加,于是得到山高h.

以上解决问题中所用的“化整为零,积零为整”“化曲为直,以直代曲”的做法,就 54

是高等数学中微积分的基本思想,它在数学中有重要地位,在今后的学习中,你会更多地了解这方面的内容.

随堂练习

课本第95页练习第1题、第2题.

课时总结

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:

1.将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,?转化为解直角三角形的问题).

2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形.

3.得到数学问题的答案.

4.得到实际问题的答案.

练习

课本第97页习题28.2拓广探索第9题、第10题.

作业

一、选择题.

1.如图,轮船航行到C处时,观测到小岛B的方向是北偏西35°,那么同时从B观测到轮船的方向是( ).

A.南偏西35° B.东偏西35° C.南偏东55° D.南偏东35°

(第1题) (第5题) (第8题)

2.?身高相同的三个小朋友甲、?乙、?丙放风筝,?他们放出的线长分别是300m,250m,200m,线与地面所成的角分别为30°、45°、60°(假设风筝线是拉直的),则三人所放风筝( ).

55

A.甲的最高 B.乙的最低 C.丙的最低 D.乙的最高

3.一日上午8时到12时,若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°,?一棵树的高为10m,则树在地面上影长h的范围是( ).

A.5<h≤

B.10≤h≤

C.10<h<15 D.

4.△ABC中,AB=6,AC=3,则∠B最大值是( ).

A.30° B.45° C.60° D.无法确定

5.如图,水库大坝横断面为梯形,坝顶宽6m,坝高2m,斜坡AB的坡角为45°,?斜坡CD的坡度i=1:2,则坝底AD的长为( ).

A.42m B.(

m C.78m D.(

m

6.△ABC中,

2+(

=0且AB=4,则△ABC的面积是( ). A.

B.4 C.

D.2

投影与影视

第1课时

教学目标:

1、经历实践探索,了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念;

2、了角平行投影和中心投影的区别。

3、使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识。

教学重、难点

教学重点:理解平行投影和中心投影的特征;

教学难点:在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。

教学过程:

(一)创设情境

56

你看过皮影戏吗? 皮影戏又名“灯影子”,是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术,在关中地区很为流行。皮影戏演出简便,表演领域广阔,演技细腻,活跃于广大农村,深受农民的欢迎。(有条件的)放映电影《小兵张嘎》部分片段 ---小胖墩和他爸在日军炮台内为日本鬼子表演皮影戏

(二)你知道吗

出示投影:

北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉出灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成,当太阳光照在日晷中轴上产生投影,晷针的影子就会投向晷面,随着时间的推移,晷针的影的长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动,聪明的古人以此来显示时刻.

问题:那什么是投影呢?

出示投影让学生感受在日常生活中的一些投影现象。

一般地.用光线照射物体.在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.

有时光线是一组互相平行的射线.例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线(如图).由平行光线形成的投影是平行投影.例如.物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影.

由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如.物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影

.

57

(三)问题探究(在课前布置,以数学学

习小组为单位)

探究平行投影和中心投影和性质和区别

1、以数学习小组为单位,观察在太阳光

线下,木杆和三角形纸板在地面的投影。

2、 不断改变木杆和三角形纸板的位置,什么时候木杆的影子成为一点,三角形纸板的影子是一条线段?当木杆的影子与木杆长度相等时,你发现木杆在什么位置?三角形纸板在什么位置时,它的影子恰好与三角形纸板成为全等图形?还有其他情况吗?

3、由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质,因此,在这两种投影下,物体的影子也就有明显的差别。如图4-14,当线段AB与投影面平行时,AB的中心投影A‘B’把线段AB放大了,且AB∥A’B‘,△OAB~ OA‘B’.又如图4-15,当△ABC所在的平面与投影面平行时, △ABC的中心投影△A‘B’C‘也把△ABC放大了,从△ABC到△A‘B’C‘是我们熟悉的位似变换。

4、请观察平行投影和中心投影,它们有什么相同点与不同点?

平行投影与中心投影的区别与联系

58

(四)应用新知:

(1)地面上直立一根标杆AB如图,杆长为2cm。

①当阳光垂直照射地面时,标杆在地面上的投影是什么图形?

②当阳光与地面的倾斜角为60°时,标杆在地面上的投影是什么图形?并画出投影示意图;

(2)一个正方形纸板ABCD和投影面平行(如图),投射线和投影面垂直,点C在投影面的对应点为C’,请画出正方形纸板的投影示意图。

(3)两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线.它们是 59

平行投影还是中心投影?并说明理由。

解:分别连结标杆的顶端与投影上的对应点(图4-17).很明显,图(1)的投射线互相平行,是平行投影.图(2)的投射线相交于一点,是中心投影。

四、学习反思:

我们这节课学习了什么知识?

五、作业:

画出一个四边形的不同平行投影图和中心投影图

第2课时投影

教学目标:

1、了解正投影的概念;

2、能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影

教学重点:正投影的含义及能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影 教学难点:归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影

教学过程:

(一)复习引入新课

下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影,其中哪个是平行投影哪个是中心投影?图(2) (3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?

解:结论:图(1)中的投影线集中于一点,形成中心投影;图(2) (3)中,投影线互相平 60

行,形成平行投影;图(2)中,投影线斜着照射投影面;图(3)中投影线垂直照射投影面〔即投影线正对着投影面).

指出:在平行投影中,如果投射线垂直于投影面,那么这种投影就称为正投影。

(二)合作学习,探究新知

1、如图,把一根直的细铁丝(记为安线段AB)放在三个不同位置:

(1)铁丝平行于投影面;

(2)铁丝倾斜于投影面,

(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).

三种情形下铁丝的正投影各是什么形状

通过观察,我们可以发现;

(1)当线段AB平行于投影面P时,它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB = A1B1

(2)当线段AB倾斜于投影面P时,它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB > A2B2

(3)当线段AB垂直于投影面P时,它的正投影是一个点A3

2、如图,把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置:

(1)纸板平行于投影面;

(2)纸板倾斜于投影面;

(3)纸板垂直于投影面

61

结论:(1)当纸板P平行于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小一样;

(2)当纸板P倾斜于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小发生变化;

(3)当纸板P垂直于投影面Q时. P的正投影成为一条线段.

当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.

3、例1画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影.

(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P图(1);

(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面F,上底面ADEF垂直于投影面P,并且上底面的对角线AE垂直于投影面P图

(2).

分析口述画图要领

解答按课本板书

4、练习

(1)P112 练习和习题29.1 1、2、5

三、作业

P113 3、4

三视图(一)

教学目标

62

1.会从投影的角度理解视图的概念

2.会画简单几何体的三视图

3.通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关系、大小关系。

教学重、难点

重点:从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图

难点:对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图

教学过程

(一)创设情境,引入新课

这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗?

如不能,那么还需哪些投影面?

物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大

小,为了全面地反映一个物体的形状和大小,我们常

常再选择正面和侧面两个投影面,画出物体的正投影。

如图 (1),我们用三个互相垂直的平面

作为投影面,其中正对着我们的叫做正面,正面下方

的叫做水平面,右边的叫做侧面.一个物体(例如一个

长方体)在三个投影面内同时进行正投影,

在正面内得

63

到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图,在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图;在侧面内得到由左向右观察物体的视图,叫做左视图.

如图(2),将三个投影面展开在一个平面

内,得到这一物体的一张三视图(由主视图,俯视图和左视图组成).三视图中的各视图,分别从不同方面表示物体,三者合起来就能够较全面地反映物体的形状.

三视图中,主视图与俯视图表示同一物体的长,主视图与左视图表示同一物体的高.左视图与俯视图表示同一物体的宽,因此三个视图的大小是互相联系的.画三视图时.三个视图要放在正确的位置.并且使主视图与俯视图的长对正,主视图与左视图的高平齐.左视图与俯视图的宽相等

通过以上的学习,你有什么发现?

物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图,水平投影面上的正投影就是俯视图,侧投影面上的正投影就是左视图

(二)应用新知

例1画出下图2所示的一些基本几何体的三视图

.

分析:画这些基本几何体的三视图时,要注意从三个方面观察它们.具体画法为:

1.确定主视图的位置,画出主视图;

2.在主视图正下方画出俯视图,注意与主视图“长对正”。

3.在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”,与俯视图“宽相等”. 解:

64

练习:

1、

2、你能画出下图1中几何体的三视图吗 小明画出了它们的三种视图(图2),他画的对吗 请你判断一下.

四、小结

1、画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和大小,不要受到该方向的物体结构的干扰。

2、在画三视图时,三个三视图不要随意乱放,应做到俯视图在主视图的下方,左视图在主视图的右边,三个视图之间保持:长对正,高平齐,宽相等。

五、作业:

65

教材第112页第1题

三视图(二)

教学目标:

1、进一步明确正投影与三视图的关系

2、经历探索简单立体图形的三视图的画法,能识别物体的三视图;

3、培养动手实践能力,发展空间想象能力。

教学重点、难点

重点:简单立体图形的三视图的画法

难点:三视图中三个位置关系的理解

三、教学过程:

(一)复习引入

1、画一个立体图形的三视图时要注意什么?(上节课中的小结内容)

2、说一说:直三棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图

3、做一做:画出下列几何体的三视图

66

4、讲一讲:你知道正投影与三视图的关系获 图29.2-7

(二)讲解例题

例2.画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图.

分析:支架的形状,由两个大小不等的长方体构

成的组合体.画三视四时要注意这两个长方体的上下、

前后位置关系.

解:如图29.2-7是支架的三视图

例3.右图是一根钢管的直观图,画出它的三视图

分析.钢管有内外壁,从一定角度看它时,看不见内壁.为全面地反映立体图形的形状,画图时规定;看得见部分的轮廓线画成实线.因被其他那分遮挡

而看不见部分的轮廓线画成虚线. 图29.2-9 解:图如图29.2-7是钢管的三视图,其中的虚线表示钢管的内壁.

(三)巩固再现

1、P117练习

2、一个六角螺帽的毛坯如图,底面正六边形的边长为250mm,高为 200mm,内孔直径为200mm.请画出六角螺帽毛坯的三视图.

四、作业

教材第118页第9,10题

三视图(三)

教学目标:

67

1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型;

2、经历探索简单的几何体的三视图的还原,进一步发展空间想象能力。

教学重点,难点:根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型

教学过程:

(一)复习引入

前面我们讨论了由立体图形(实物)画出三视图,那么由三视图能否也想象出立体图形(实物)呢?引导学生结合例例例的三视图想象一下构造还原过程(发展空间想象能力)

(二)新课学习

例4根据下面的三视图说出立体图形的名称

.

分析:由三视图想象立体图形时,要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面,然后再综合起来考虑整体图形,

解:(1)从三个方向看立体图形,图象都是矩形,可以想象出:整体是长方体,如图(1)所示;

(2)从正面、侧面看立体图形,图象都是等腰三角形;从上面看,图象是圆;可以想象出:整体是圆锥,如图(2)所示.

例5,根据物体的三视图(如下图)描述物体的形状.

分析.由主视图可知,物体正面是正五边形,

由俯视

68

图可知,由上向下看物体是矩形的,且有一条棱(中间的实线)可见到。两条棱(虚线)被遮挡,由左视图知,物体的侧面是矩形的.且有一条棱〔中间的实线)可见到,综合各视图可知,物体是五棱柱形状的.

解:物体是五棱柱形状的,如下图所示.

(三)巩固再现

1如图所示图形是一个多面体的三视图,请根据视图说出该多面体的具体名称。

主视图左视图俯视图

三、小结:

1、一个视图不能确定物体的空间形状,根据三视图要描述几何体或实物原型时,必须将各视图对照起来看。

2、一个摆好的几何体的视图是唯一的,但从视图反过来考虑几何体时,它有多种可能性。例如:正方体的主视图是正方形,但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等。

3、对于较复杂的物体,有三视图形象出物体的原型,应搞清三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系。

四、作业

教材第126页第4题

教学内容: 三视图(四)

教学目标

1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型;

69

2、经历探索简单的几何体的三视图的还原,进一步发展空间想象能力;

3、了解将三视图转换成立体图开在生产中的作用,使学生体会到所学的知识有重要的实用价值。

教学重点、难点

重点:根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生产中的作用

难点:根据三视图想象基本几何体和实物原型的形状

教学资源:教材,教参,多媒体课件

教学过程

(一)复习引入

1、完成下列练习

(1)、如图所示是一个立体图形的三视图,请根据视图说出立体图形的名称_______。

(2)、一张桌子摆放若干碟子,从三个方向上看,三种视图如下图所示,则这张桌子上共有________个碟子。

(3)、某几何体的三种视图分别如下图所示,那么这个几何体可能是( )。

(A)长方体 (B)圆柱 (C)圆锥 (D)球

2、让学生欣赏事先准备好的机械制图中三视图与对应立体图形的图片,借助图片信息让学生体会到本章知识的价值。并借此可以讲述一下现在一些中专、中技甚至大学里开 70

设的模具和机械制图专业和课程就需要这方面的知识,激发学生的学习兴趣,导入本课。

(二)讲授新课

例6.某工厂要加工一批密封罐,设计者给出了密封罐的三视图(如下图),请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积

.

分析:对于某些立体图形,若沿其中一些线(例如棱柱的棱)剪开,可以把立体图形的表面展开成一个平面图形——展开图.在实际的生产中.三视图和展开图往往结合在一起使用.解决本题的思路是,由视图想象出密封罐的立体形状,再进一步画出展开图.从而计算面积.

解:由三视图可知,密封罐的形状是正六棱柱(如图(左)).

密封罐的高为50mm,底面正六边形的直径为100mm.边长为50mm,图(右)是它的展开图

.

由展开图可知,制作一个密封罐所需钢板的面积为

71

(三)练习巩固

1补充根据下面三视图请说出建筑物是什么样子的?共有几层?一共需要多少个小正方体

?

分析:由俯视图确定该建筑物在平面上的形状,由主视图、左视图确定空间的形状如图所示.

解:该建筑物的形状如图所示

:

有3层,共9个小正方体.

思考:一个物体的主视图如上右图所示, 请画出它的俯视图,耐心想一想有 几种不同的情形?

(四)作业

P126 6,7

72

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