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中考数学解析汇编四十四章 阅读理解型问题

发布时间:2013-09-23 07:38:07  

阅读理解型问题

21.(2012四川达州,21,8分)(8分)问题背景

若矩形的周长为1,则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x,面积为s,则s与x的函数关系式为: s??x2?可求得该函数的最大值.

提出新问题

若矩形的面积为1,则该矩形的周长有无最大值或最小值?若有,最大(小)值是多少? 分析问题

若设该矩形的一边长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为:y?2(x?) (x﹥0),问题就转化为研究该函数的最大(小)值了. 解决问题

借鉴我们已有的研究函数的经验,探索函数y?2(x?)(x﹥0)的最大(小)值.

1

,利用函数的图象或通过配方均x(x﹥0)

2

1x

1x

(1)实践操作:填写下表,并用描点法画出函数y?2(x?)(x﹥0)的图象:

(2)观察猜想:观察该函数的图象,猜想当

1x

1

x时,函数y?2(x?)(x﹥0)

x

有最 值(填“大”或“小”),是 .

(3)推理论证:问题背景中提到,通过配方可求二次函数s??x?

2

1

x(x﹥0)的最 2

大值,请你尝试通过配方求函数y?2(x?)(x﹥0)的最大(小)值,以证明你的

2

1x

猜想. 〔提示:当x>0时,x?(x)〕

解析:对于(1)按照画函数图象的列表、描点、连线三步骤进行即可;对于(2),由结合图表可知有最小值为4;对于(3),可按照提示,用配方法来求出。 答案:(1)

????????????????..(1分)

????????????????.(3分)

(2)1、小、

4???????????????????????????..(5分)

?1?2(3)证明:y?2?(x)? 2?(x)??

??1?2?(x)2?2??2? 2(x)??

?2(x?1

x)2?4??????????????????(7分) 当x?1

x?0时,y的最小值是4

即x=1时,y的最小值是4?????????????????????..(8分)

点评:本题以阅读理解型的形式,考查学生画函数图象的基本步骤及结合图表求函数最值的观察力,考察了学生的模仿能力、配方思想和类比的能力。

28.(2012江苏省淮安市,28,12分)阅读理解

如题28-1图,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重叠部分;将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合.无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,我们就称∠BAC是△ABC的好角.

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.

情形一:如题28-2图,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合;

情形二:如题28-3图,沿 △ABC的∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;将余下的部分沿∠B1A1C的平分线 A1B2折叠,此时点B1与点C重合.

探究发现

(1)△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是不是△ABC的好角.(填:

“是”或“不是”).

(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)

之间的等量关系.

根据以上内容猜想:若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设

∠B>∠C)之问的等量

关系为 .

应用提升

(3)小丽找到一个三角形,三个角分别为15o,60o,l05o,发现60o和l05o的两个角都是此三角形的好角.

请你完成,如果一个三角形的最小角是4o,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.

【解析】(1)利用三角形外角的性质和折叠对称性即可解决;(2)根据第(1)问的结论继续探索;(3)利用“好角”的定义和三角形内角和列出方程解之.具体过程见以下解答.

【答案】解: (1) 由折叠的性质知,∠B=∠AA1B1.因为∠AA1B1=∠A1B1C+∠C,而∠B=2∠C,所以∠A1B1C=∠C,就是说第二次折叠后∠A1B1C与∠C重合,因此∠BAC是△ABC的好角.

(2)因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角,所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C.如图12-4所示.

B1B2B3C

图12-4

因为∠ABB1=∠AA1B1,∠AA1B1=∠A1B1C+∠C,又∠A1B1C=∠A1A2B2,∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C,所以∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C.

由上面的探索发现,若∠BAC是△ABC的好角,折叠一次重合,有∠B=∠C;折叠二次重合,有∠B=2∠C;折叠三次重合,有∠B=3∠C;…;由此可猜想若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B=n∠C.

(3)因为最小角是4o是△ABC的好角,根据好角定义,则可设另两角分别为4mo,4mno(其中m、n都是正整数).

由题意,得4m+4mn+4=180,所以m(n+1)=44.

因为m、n都是正整数,所以m与n+1是44的整数因子,因此有:m=1,n+1=44;m=2,n+1=22;m=4,n+1=11;m=11,n+1=4;m=22,n+1=2.所以m=1,n=43;m=2,n=21;m=4,n=10;m=11,n=3;m=22,n=1.

所以4m=4,4mn=172;4m=8,4mn=168;4m=16,4mn=160;4m=44,4mn=132;4m=88,4mn=88.

所以该三角形的另外两个角的度数分别为:4o,172o;8o,168o;16o,160o;44o,132o;88o,88o.

【点评】本题主要考查轴对称图形、等腰三角形、三角形形的内角和定理及因式分解等知识点的理解和掌握,本题是阅读理解题,解决本题的关键是读懂题意,理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则,然后套用题目提供的对应关系解决问题,具有一定的区分度. 23.(2012湖北咸宁,23,10分)如图1,矩形MNPQ中,点E,F,G,H分别在NP,PQ,QM,MN上,若?1??2??3??4,则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.图2,图3,图4中,四边形ABCD为矩形,且AB?4,BC?8.

H E 图1

P

2 3

B

E

图4 (第23题)

C

图3

G

H

M

D E

G

F 2

F

F Q N

理解与作图:

(1)在图2、图3中,点E,F分别在BC,CD边上,试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH. 计算与猜想:

(2)求图2,图3中反射四边形EFGH的周长,并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值?

启发与证明:

(3)如图4,为了证明上述猜想,小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M,试利用小华同学给我们的启发证明(2)中的猜想. 【解析】(1)根据网格结构,作出相等的角得到反射四边形;

(2)图2中,利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度,然后可得周长;图3中利用勾股定理求出EF=GH,FG=HE的长度,然后求出周长,得知四边形EFGH的周长是定值; (3)证法一:延长GH交CB的延长线于点N,再利用“角边角”证明Rt△FCE≌Rt△FCM,根据全等三角形对应边相等可得EF=MF,EC=MC,同理求出NH=EH,NB=EB,从而得到MN=2BC,再证明GM=GN,过点G作GK⊥BC于K,根据等腰三角形三线合一的性质求出MK=

1

MN=8,再利用勾股定理求出GM的长度,然后可求出四边形EFGH的2

周长;

证法二:利用“角边角”证明Rt△FCE≌Rt△FCM,根据全等三角形对应边相等可得EF=MF,EC=MC,再根据角的关系推出∠M=∠HEB,根据同位角相等,两直线平行可得HE

∥GF,同理可证GH∥EF,所以四边形EFGH是平行四边形,过点G作GK⊥BC于K,根据边的关系推出MK=BC,再利用勾股定理列式求出GM的长度,然后可求出四边形EFGH的周长.

【答案】(1)作图如下: ······························································································ 2分

(2)解:在图2中,EF?FG?GH?HE?22?42?20?25,

∴四边形EFGH的周长为8. ·················································································· 3分 在图3中,EF?GH?22?12?5,FG?HE?32?62?45?35.

∴四边形EFGH的周长为2??2?3?8. ··················································· 4分 猜想:矩形ABCD的反射四边形的周长为定值. ························································ 5分

(3)如图4,证法一:延长GH交CB的延长线于点N.

3

N B E K

图4 C G D M

∵?1??2,?1??5,

∴?2??5.

而FC?FC,

∴Rt△FCE≌Rt△FCM.

∴EF?MF,EC?MC. ·························································································· 6分 同理:NH?EH,NB?EB.

∴MN?2BC?16. ······································································································ 7分 ∵?M?90???5?90???1,?N?90???3,

∴?M??N. ∴GM?GN. ············································································· 8分

1过点G作GK⊥BC于K,则KM?MN?8. ·························································· 9分 2

∴GM?GK2?KM2?42?82?4.

∴四边形EFGH的周长为2GM?85. ··································································· 10分 证法二:∵?1??2,?1??5, ∴?2??5.

而FC?FC, ∴Rt△FCE≌Rt△FCM.

∴EF?MF,EC?MC. ·························································································· 6分 ∵?M?90???5?90???1,?HEB?90???4,

而?1??4, ∴?M??HEB.

∴HE∥GF. 同理:GH∥EF.

∴四边形EFGH是平行四边形.

∴FG?HE. 而?1??4,

∴Rt△FDG≌Rt△HBE. ∴DG?BE.

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