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中考数学解析汇编四十五章 开放探索型问题

发布时间:2013-09-23 07:38:07  

开放探索型问题

12. (2012山东日照,12,3分)如图,在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中,作内接正方形A1B1C1D1;在等腰直角三角形OA1B1中,作内接正方形A2B2C2D2;在等腰直角三角形OA2B2中,作内接正方形A3B3C3D3;??;依次作下去,则第n个正方形AnBnCnDn的边长是( ) A.1

3n?1 B.111 C. D. 3n?13n?23n

长为x,x=

2

1 解析:设正方形A1B1C1D1的边则AC1= C1D1= D1 B =x,故3x=1,同理,正方形A2B2C2D2的边长为AAC2 2 1;31,??,故可猜想第n个正方形32

1AnBnCnDn的边长是n. 3A B 1 1 解答:选B.

点评:本题是规律探究性问题,解题时先从较简单的特例入手,从中探究出规律,再用得到的规律解答问题即可.本题考查了等腰直角三角形的性质以及学生分析问题的能力.解题的关键是求正方形A1B1C1D1的边长.

(2012河北省25,10分)25、(本小题满分10分)

如图14,A(-5,0),B(-3,0),点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,CD∥AB,∠CDA=90°,点P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位的速度运动,运动时间为t秒

(1)求点C的坐标;

(2)当∠BCP= 15°时,求t的值;

(3)以点P为圆心,PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在直线)相切时,求t的值。

【解析】在直角三角形BCO中,∠CBO=45°OB=3,可得OC=3,因此点C的坐标为(0,3);

(2)∠BCP= 15°,只是提及到了角的大小,没有说明点P的位置,因此分两种情况考虑:点P在点B的左侧和右侧;(3)⊙P与四边形ABCD的边(或边所在直线)相切,而四边

形有四条边,肯定不能与AO相切,所以要分三种情况考虑。

【答案】解(1)∵∠BCO=∠CBO=45° ∴OC=OB=3

又∵点C在y轴的正半轴上,

∴点C的坐标为(0,3)????????????2分

(2)当点P在点B右侧时,如图2.

若∠BCP=15°,得∠PCO=30°,故OP=OCtan30°=3 此时t?4?????????????4分

当点P在点B左侧时,如图3,由. ∠BCP=15°得∠PCO=60°

故PO=OCtan60°=3, 此时t=4+3

∴t的值为4+3或4+3????????????6分

(3)由题意知,若⊙P与四边形ABCD的边都相切,有以下三种情况:

①当⊙P与BC相切于点C时,有∠BCP=90°,从而∠

OCP=45°,得到OP=3,此时t=1?????7分

②当⊙P与CD相切于点C时,有PC⊥CD,即点P与点O重

合,此时t=4???????????8分

③当⊙P与AD相切时,由题意,∠DAO=90°, ∴点A为

切点,如图4,PC2?PA2??9?t?, 2

PO2??t?4?,于是?9?t???t?4??32,解得t=5.6 222

∴t的值为1或4或5.6????????10分

【点评】本题主要是分情况讨论和解直角三角形的应用,在今后的教学中多渗透考虑问题要全面(不重不漏),培养学生优秀的学习品质。有一定难度。

(2012河北省26,12分)26、(本小题满分12分)

如图15-1和图15-2,在△ABC中,AB=13,BC=14,cos?ABC?5。 13

探究 如图15-1,AH⊥BC于点H,则AH=___________,AC=____________,△ABC的面积S△ABC=_____________。

拓展 如图15-2,点D在AC上(可以与点A、C重合),分别过点A,C

作直线BD的垂线,垂足为E、F,设BD=x,AE=m,CF=n,(当点D与点A

重合时,我们认为S△ABC=0)

(1)用含x,m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;

(2)求(m+n)与x的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值;

(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围。 发现 请你确定一条直线,使得

程),并写出这个最小值。 A、B、C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过

【解析】探究 根据三角函数和勾股定理可以很快求出AH和AC 的值,进而求出三角形的面积。

拓展(1)利用所给数据,写出表示两个三角形面积的代数式;(2)利用(1)中的式子,用x表示m和n,再求(m+n)的值。点D在AC上,BD的长度可以认为是点D到AC的距离,所以当BD⊥AC时,x最小,是三角形AC边上的高,最大值是BC的长度,容易求出的最大值和最小值;(3)根据垂线段最短和轴对称可知,点D唯一时,只能是点D是垂足时和点D在点A关于垂足的对称点的下方时两种情况。

发现 满足条件的直线就是AC所在直线,A、B、C三点到这条直线的距离之和的最小值就是(m+n)的最小值。

【答案】解:探究

12 15 84????????????????????3分

拓展

(1)由三角形面积公式得S△ABD?11mx,S△CBD?nx????????????4分 22

(2)由(1)得m?2S△A

xBD,n?2S△CBD

x, ∴m+n=2S△ABD2S△CBD168?=????????5分 xxx

2S△ABC2?845656?x?14 ?? ∴x的取值范围为515155

56时,(m+n)的最大值为15;????????5由于AC边上的高为∵(m+n)随x的增大而减小, ∴当x=

7分

当x=14时,(m+n)的最小值为12. ??????????8分

(3)x的取值范围是x?56或13?x?14??????????10分 5

发现

AC所在的直线??????????11分 最小值为56??????????12分 5

【点评】此题为探究题型,前半部分难度较小,在确定x的取值范围时,学生不容易想到;第(3)中x的取值范围也不容易想到,是本题的难点。探究就是上边知识点的一个应用,相对来说简单一些。整体来说,此题难度偏难,有一定挑战性。

24. (20122湖北省恩施市,题号24 分值12)如图12,已知抛物线y=-x+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点,与y轴交与点N。其顶点为D。

(1求抛物线及直线A、C的函数关系式;

(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;

(3)若抛物线对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上任意一点,过E作EF∥BD,交抛物线于点F,以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;

(4)若点P是该抛物线上位于直线AC上方的一动点,求△APC面积的最大值

2

2【解析】(1)直接将A、C两点的坐标代入y=-x+bx+c和y=kx+b即可。

(2)本题实质是在直线x=3上找一点M使MN+MD的值最小。作N关于x=3的对称点,连接

11D N,求直线D N和x=3的交点可得m的值;

(3)BD、EF是平行四边形的邻边,分点E在线段AC和线段AC(或CA)延长线上两种可能来考虑。BD长可求,EF=BD,点F和点E横坐标相同,点F纵坐标等于点E纵坐标加(或减)BD长度,设点E(x,y),则点F坐标(x,y+3)[或(x,y-3)],代入抛物线表达式可求解;

(4)作CQ⊥x轴于Q,作PG⊥x轴,交AC于H,则点H和点P横坐标相同,设二者横坐标为x,根据直线与抛物线表达式可用分别表示出相应纵坐标,进而用x表示PH的长度,根据△PAC面积等于1PH3AQ(AQ为定值)可讨论其最值。 2

【答案】解:设直线AC的解析式为:y=kx+n,点 A(-1,0),C(2,3)在A\C上,可得:

?0??k?n 解得:k=1,n=1 ?3?2k?n?

∴AC的解析式为:y=x+1;

2把A(-1,0),C(2,3)y=-x+bx+c

?0??1?b?c解得b=2,c=3, ??3??4?2b?c

∴抛物线的解析式为y= -x+2x+3,

∴N(0,3)D(1,4).

1111(2) 作N关于x=3的对称点N,连接DN,则N(6,3).设直线D N的解析式为y=px+q,则

有: 2

?4?p?q12112111??,∴p=,q=,∴D N的解析式y=x+,当M(3,m)在D N上时,?5555?3?6p?q

12118

MN+MD的值最小,∴m=?33+=; 555

(3)易知B(1,2),又D(1,4)∴BD=2.因为点E在AC上,设点E(x,x+1),

221°当点E在线段AC上时,点F(x.x+3),代入y= -x+2x+3,得x+3=-x+2x+3,

解得x=0或=1(不符合题意舍去),∴E;

222°当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F(x.x-1),代入y= -x+2x+3,得x-1=-x

+2x+3,解得x=1?1??1?1??1?,所以E(,)E(,) 22222

1??1?1??1?,)或(,)时以B、D、2222综上所述,当点E(0, 1)、(

E、F为顶点的四边形能否为平行四边形;

(4)作CQ⊥x轴于Q,作PG⊥x轴,交AC于H。

222设H(x,x+1),则P(x, -x+2x+3),所以PH=(-x+2x+3)-(x+1)= -x+ x+2,

又∵S△PAB=S△PAH+ S△PBH=11312272PH3AQ=(-x+ x+2)33=?(x-)+, 22228

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