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新北师大版七年级数学下导学案_第一章_整式的乘除

发布时间:2014-01-15 16:01:39  

第一章 整式的乘除

1.1 同底数幂的乘法

一、学习目标

1.经历探索同底数幂乘法运算性质过程,进一步体会幂的意义.

2.了解同底数幂乘法的运算性质,并能解决一些实际问题

二、学习重点:同底数幂的乘法运算法则的推导过程以及相关计算

三、学习难点:对同底数幂的乘法公式的理解和正确应用

四、学习设计

(一)预习准备

预习书p2-4

(二)学习过程

1. 试试看:(1)下面请同学们根据乘方的意义做下面一组题:

①23?24?(2?2?2)?(2?2?2?2)?27 ②53?55=_____________=5()③a3.a4=_____________=a( ) (2)根据上面的规律,请以幂的形式直接写出下列各题的结果:

102?104104?10510m?10n(11

10)m×(10n2. 猜一猜:当m,n为正整数时候,

am.an =(a?a?a???a)(a?a?a???a)??a???a???a=a(____)

???????.???????=a????

__________个a_____________个a___________个a

即am·an(m、n都是正整数)

3. 同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘

运算形式:(同底、乘法) 运算方法:(底不变、指加法)

当三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质, 用公式表示为

am·an·ap = am+n+p (m、n、p都是正整数)

练习1. 下面的计算是否正确? 如果错,请在旁边订正

(1).a3·a4=a12 (2).m·m4=m4 ( 3).a2·b3=ab5 (4).x5+x5=2x10

(5).3c4·2c2=5c6 (6).x2·xn=x2n (7).2m·2n=2m·n (8).b4·b4·b4=3b4

2.填空:(1)x5 ·( )= x 8 (2)a ·( )= a6

(3)x · x3( )= x7 (4)xm ·( )=x3m

(5)x5·x( )=x3·x7=x( ) ·x6=x·x( ) (6)an+1·a( )=a2n+1=a·a( )

例1.计算

(1)(x+y)3 · (x+y)4 (2)?x2?(?x)6

(3)(a?b)3?(b?a)5 (4)a3m?a2m?1(m是正整数)

第 - 1 - 页 共 36 页 教 学 反 思

变式训练.计算

8373534教 学 反 思 (1)??7??7 (2)??6??6 (3)??5??5???5?.

(4)?b?a?2??a?b? (5)(a-b)(b-a)4 (6) xn?xn?1?x2n?x

(n是正整数)

拓展.1、填空

(1) 8 = 2x,则 x =

(2) 8 × 4 = 2x,则 x =

(3) 3×27×9 = 3x,则 x = .

2、 已知am=2,an=3,求am?n的值 3、 b2?bm?2?b?bm?1?b3?bm?5b2

4、已知35x?1?81,求(4x?5)3的值。 5、已知am?3,an?4,求am?n的值。

回顾小结

1.同底数幂相乘法则要注重理解“同底、相乘、不变、相加”这八个字.

2.解题时要注意a的指数是1.

3.解题时,是什么运算就应用什么法则.同底数幂相乘,就应用同底数幂的乘法法

则;整式加减就要合并同类项,不能混淆.

4.-a2的底数a,不是-a.计算-a2·a2的结果是-(a2·a2)=-a4,而不是(-a)2+2=a4.

5.若底数是多项式时,要把底数看成一个整体进行计算

第 - 2 - 页 共 36 页

1.2 幂的乘方与积的乘方(1)

一、学习目标:1.能说出幂的乘方与积的乘方的运算法则.

2.能正确地运用幂的乘方与积的乘方法则进行幂的有关运算.

二、学习重点:会进行幂的乘方的运算。

三、学习难点:幂的乘方法则的总结及运用。

四、学习设计:

(一)预习准备

(1)预习书5~6页

(2)回顾:

计算(1)(x+y)2·(x+y)3 (2)x2·x2·x+x4·x

(3)(0.75a)3·(1a)4 (4)x3·xn-1-xn-2

4·x4

(二)学习过程:

一、1、探索练习:

(62)4表示_________个___________相乘.

a3表示_________个___________相乘.

(a2)3表示_________个___________相乘.

在这个练习中,要引学习生观察,推测(62)4与(a2)3的底数、指数。并用乘方的概念解答问题。

(62)4=________×_________×_______×________

=__________(根据an·am=anm)

=__________

(33)5=_____×_______×_______×________×_______

=__________(根据an·am=anm)

=__________ 64表示_________个___________相乘.

(a2)3=_______×_________×_______

=__________(根据an·am=anm)

=__________

(am)2=________×_________

=__________(根据an·am=anm)

=__________

第 - 3 - 页 共 36 页 教 学 反 思

(am)n=________×________×?×_______×_______ =__________(根据an·am=anm)

=________

即 (am)n =______________(其中m、n都是正整数)

通过上面的探索活动,发现了什么?

幂的乘方,底数__________,指数_________

2、例题精讲

类型一 幂的乘方的计算

例1 计算

⑴ (54)3 ⑵-(a2)3 ⑶?(?a)6?3

⑷[(a+b)2]4

随堂练习

1

(1)(a4)3+m ; (2)[(-2)3]2; ⑶[-(a+b)4]3

类型二 幂的乘方公式的逆用

例1 已知ax=2,ay=3,求a2x+y; ax+3y

随堂练习

(1)已知ax=2,ay=3,求ax+3y

(2)如果9x?3x?3,求x的值

随堂练习

已知:84×43=2x,求x

类型三 幂的乘方与同底数幂的乘法的综合应用

例1 计算下列各题

(1)(a2)2?a5 ⑵(-a)2·a7

⑶ x3·x·x4+(-x2)4+(-x4)2 (4)(a-b)2(b-a)

第 - 4 - 页 共 36 页 教 学 反 思

3、当堂测评

填空题:

(1)(m2)5=________;-[(-1)3]2=________;[-(a+b)2]3

2=________.

(2)[-(-x)5]2·(-x2)3=________;(xm)3·(-x3)2=________.

(3)(-a)3·(an)5·(a1-n)5=________; -(x-y)2·(y-x)3=________.

(4) x12=(x3)(_______)=(x6)(_______).

(5)x2m(m+1)=( )m+1. 若x2m=3,则x6m=________.

(6)已知2x=m,2y=n,求8x+y的值(用m、n表示).

判断题

(1)a5+a5=2a10 ( )

(2)(s3)3=x6 ( )

(3)(-3)2·(-3)4=(-3)6=-36 ( )

(4)x3+y3=(x+y)3 ( )

(5)[(m-n)3]4-[(m-n)2]6=0 ( )

4、拓展:

1、计算 5(P3)4·(-P2)3+2[(-P)2]4·(-P5)2

2、若(x2)n=x8,则m=_____________.

3、若[(x3)m]2=x12,则m=_____________。

4、若xm·x2m=2,求x9m的值。

5、若a2n=3,求(a3n)4的值。

6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.

回顾小结:1.幂的乘方 (am)n=_________(m、n都是正整数).

2.语言叙述: 3.幂的乘方的运算及综合运用。

第 - 5 - 页 共 36 页 教 学 反 思

1.2 幂的乘方与积的乘方(2)

一、学习目标:1.能说出幂的乘方与积的乘方的运算法则.

2.能正确地运用幂的乘方与积的乘方法则进行幂的有关运算

二、学习重点:积的乘方的运算。

三、学习难点:正确区别幂的乘方与积的乘方的异同。

四、学习设计:

(一)预习准备

(1)预习书7~8页

(2)回顾:

1、计算下列各式:

(1)x5?x2?_______ (2)x6?x6?_______ (3)x6?x6?_______

(4)?x?x3?x5?_______(5)(?x)?(?x)3?_______(6)3x3?x2?x?x4?_______

(7)(x3)3?_____ (8)?(x2)5?_____ (9)(a2)3?a5?_____

(10)?(m3)3?(m2)4?________ (11)(x2n)3?_____

2、下列各式正确的是( )

(A)(a5)3?a8 (B)a2?a3?a6 (C)x2?x3?x5(D)x2?x2?x4

(二)学习过程:

探索练习:

1、 计算:23?53?_________?_________?_______?(___?___)3

2、 计算:28?58?_________?_________?_______?(___?___)8

3、 计算:212?512?_________?_________?_______?(___?___)12

从上面的计算中,你发现了什么规律?_________________________

4、猜一猜填空:(1)(3?5)4?3(__)?5(___) (2)(3?5)m?3(__)?5(___)

(3)(ab)n?a(__)?b(___) 你能推出它的结果吗?

结论:

例题精讲

类型一 积的乘方的计算

例1 计算

(1)(2b2)5; (2)(-4xy2)2 (3)-(-1

2ab)2 (4)[-2(a-b)3]5.

第 - 6 - 页 共 36 页 教 学 反 思

随堂练习

(1)(3x3)6 (2)(?x3y)2 (3)(-1

2xy2)2 (4)[-3(n-m)2]3.

类型二 幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘、整式的加减混合运算

例2 计算

(1)[-(-x)5]2·(-x2)3 (2)(cndn?1)2(c2d)n

(3)(x+y)3(2x+2y)2(3x+3y)2 (4)(-3a3)2·a3+(-a)2·a7-(5a3)3

随堂练习

(1)(a2n-1)2·(an+2)3 (2) (-x4)2-2(x2)3·x·x+(-3x)3·x5

(3)[(a+b)2]3·[(a+b)3]4

类型三 逆用积的乘方法则

例1 计算 (1)82004×0.1252004; (2)(-8)2005×0.1252004.

随堂练习

0.2520×240 -32003·(12002

3)+1

2

第 - 7 - 页 共 36 页 教 学 反 思

类型四 积的乘方在生活中的应用

例1 地球可以近似的看做是球体,如果用V、r分别代表球的体积和半径,那么V=4πr3

3。

地球的半径约为6?103千米,它的体积大约是多少立方千米?

随堂练习

(1)一个正方体棱长是3×102 mm,它的体积是多少mm?

(2)如果太阳也可以看作是球体,它的半径是地球的102倍,那么太阳的体积约是多少立方千米呢?”

当堂测评

一、判断题

1.(xy)3=xy3( ) 2.(2xy)3=6x3y3( ) 3.(-3a3)2=9a6( )

4.(2

3x)3=8

3x3( ) 5.(a4b)4=a16b( )

二、填空题

1.-(x2)3=_________,(-x3)2=_________. 2.(-1

2xy2)2=_________.

3.81x2y10= ( )2. 4.(x3)2·x5=_________. 5.(a3)n=(an)x(n、x是正整数),则x=_________.

6.(-0.25)11×411=_______. (-0.125)200×8201=____________

4、拓展:

(1) 已知n为正整数,且x2n=4.求(3x3n)2-13(x2)2n的值.

(2) 已知xn=5,yn=3,求(xy)2n的值

(3) 若m为正整数,且x2m=3,求(3x3m)2-13(x2)2m的值.

回顾小结:

1.积的乘方 (ab)n= (n为正整数)

2.语言叙述:

3.积的乘方的推广(abc)n= (n是正整数).

第 - 8 - 页 共 36 页 教 学 反 思

1.3 同底数幂的除法

一、学习目标

了解同底数幂的除法的运算性质,并能解决一些实际问题

二、学习重点:会进行同底数幂的除法运算。

三、学习难点:同底数幂的除法法则的总结及运用

(一)预习准备

(1)预习书p9-13

(2)思考:0指数幂和负指数幂有没有限制条件?

(3)预习作业:

1.(1)28×28= (2)52×53= (3)102×105= (4)a3·a3=

2.(1)216÷28=(2)55÷53=3)107÷105= (4)a6÷a3=

(二)学习过程

上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系?

得出:同底数幂相除,?底数 ,指数 .

即:am÷an= (a?0,m,n都是正整数,并且m>n)

练习:

(1)a5?a? (2)??x?5???x?2? (3)y16?=y11

(4)b2m?2?b2= (5)?x?y?9??x?y?6? (6)(-ab)5÷(ab)2=

(7)(m?n)8?(n?m)3=(8)?y3m?3?ym?1=提问:在公式中要求 m,n都是正整数,并且m>n,但如果m=n或m<n呢?

计算:32÷32 103÷103 am÷am(a≠0)

22?32

3?333am

mm

32? 10?10?= a?a?am?a≠0)

32÷32=3( ) =3( ) 103÷103=10( ) =10( ) am÷am=a( ) =a( )(a≠0)

于是规定:a0=1(a≠0) 即:任何非0的数的0次幂都等于1

最终结论:同底数幂相除:am÷an=am-n(a≠0,m、n都是正整数,且m≥n)

想一想: 10000=104 , 16=24

1000=10( ), 8=2( )

100=10 ( ) , 4=2( )

10=10 ( ), 2=2( )

猜一猜: 1=10( ) 1=2( )

0.1=10( ) 12=2( )

0.01=10( ) 1

4=2( )

0.001=10( ) 1

8=2( )

第 - 9 - 页 共 36 页 教 学 反 思

负整数指数幂的意义:a?p?1

a为正整数)或a?p?(1

p(a?0,p)p

a(a?0,p

为正整数)

例1 用小数或分数分别表示下列各数:

(1)10?3?___________________________(2)70?8?2?_________________________

(3)1.6?10?4?___________________________________

练习:

1.下列计算中有无错误,有的请改正

(1)a10?a2?a5 (2)a5a?a?a5

(3)(?a)5?(?a)3??a2 (4)30?3

2.若(2a?3b)0?1成立,则a,b满足什么条件? 3.若(2x?5)0无意义,求x的值

4.若10x?7

4,10y?49,则102x?y等于? 5.若3x?a,3y?b,求的32x?y的值

6.用小数或分数表示下列各数:

(1)??355?

?118?? = (2)3?2= (3)4?2 =

?5??3

(4)??3

?6??= (5)4.2?10= (6)0.25?3=

7.(1)若2x=1

32,则x= (2)若?-2?x??-2?3??-2?2x,则x=

x

(3)若0.000 000 3=3×10x,则x? (4)若??3?4

?2???9,则x=

拓展:

8.计算:(?3)2n?1?[27?(?3)2n](n为正整数) 9.已知(x?1)x?2?1,求整数x的值。

回顾小结:同底数幂相除,底数不变,指数相减。

第 - 10 - 页 共 36 页 教 学 反 思

1.4整式的乘法(1)

一、学习目标:理解并掌握单项式的乘法法则,能够熟练地进行单项式的乘法计算

二、学习重点

:单项式乘法法则及其应用

三、学习难点:理解运算法则及其探索过程

(一)预习准备

(1)预习书p14-15

(2)思考:单项式与单项式相乘可细化为几个步骤?

(3)预习作业:

1.下列单项式各是几次单项式?它们的系数各是什么?

次数: 系数:

2.下列代数式中,哪些是单项式?哪些不是?

1

x

3.(1)(-a5)5= (2) (-a2b)3 =

(3)(-2a)2(-3a2)3 = (4)(-y n)2 y n-1=

(二)学习过程:

整式包括单项式和多项式,从这节课起我们研究整式的乘法,先学习单项式乘以单项式 例1. 利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质,计算下列单项式乘以单项式:

(1) 2x2y·3xy2 (2) 4a2x5·(-3a3bx)

解:原式=( )( )( ) 解:原式=( )( )( ) ( )

单项式乘以单项式的乘法法则:单项式相乘,把它的系数、相同字母分别相乘,对于只在一

个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式

注意:法则实际分为三点:

(1) ①系数相乘——有理数的乘法;此时应先确定结果的符号,再把系数的绝对值相乘

②相同字母相乘——同底数幂的乘法;(容易将系数相乘与相同字母指数相加混淆) ③只在一个单项式中含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式,不能丢掉这个因式.

(2)不论几个单项式相乘,都可以用这个法则.

(3)单项式相乘的结果仍是单项式.

例1 计算: (1) (-5a2b3)(-3a)= (2) (2x)3(-5x

2y)=

第 - 11 - 页 共 36 页 教 学 反 思

2

(3)2

3x3y2?????3

2xy2??? =_________ (4) (-3ab)(-a2c)2·6ab(c2)3=

注意:先做乘方,再做单项式相乘.

练习:1. 判断:

单项式乘以单项式,结果一定是单项式 ( )

两个单项式相乘,积的系数是两个单项式系数的积 ( )

两个单项式相乘,积的次数是两个单项式次数的积 ( )

两个单项式相乘,每一个因式所含的字母都在结果里出现( )

2. 计算:

(1)(2xy2)?(1

3xy) (2)(?2a2b3)?(?3a)

(3)(4?10)5?(5?104) (4)(?3a2b2)?(?a3b2)5

(5)(?2

3a2bc3)?(?3

4c5)?(1

3ab2c) (6)0.4x2y·(1

2xy)2-(-2x)3·xy3

拓展:

3.已知am=2,an=3,求(a3m+n)2的值 4.求证:52·32n+1·2n-3n·6n+2能被13整除

5.若(am?1bn?2)?(a2n?1?b)?a5b3,求m?n的值。

回顾小结:单项式与单项式相乘,把他们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同他的指数不变,作为积的因式。

第 - 12 - 页 共 36 页 教 学 反 思

1.4 整式的乘法(2)

一、学习目标

经历探索整式的乘法运算法则的过程,会进行简单的整式的乘法运算

二、学习重点:整式的乘法运算

三、学习难点:推测整式乘法的运算法则

(一)预习准备

(1)预习书p16-17

(2)思考:单项式与多项式相乘最容易出错的是哪点?

(3)预习作业:

(1)?m2?m2= (2)(xy)3?(xy)2=

(3)2(ab-3) = (4)(2xy2) ·3yx=

(5)(―2a3b) (―6ab6c) = (6)-3(ab2c+2bc-c) =(二)学习过程:

1.我们本单元学习整式的乘法,整式包括什么?

2.什么是多项式?怎么理解多项式的项数和次数?

整式乘法除了我们上节课学习的单项式乘以单项式外,还应该有单项式乘以多项式,今天将学习单项式与多项式相乘

做一做: 如图所示,公园中有一块长mx米、宽y米的空地,根据需要

在两边各留下宽为a米、b米的两条小路,其余部分种植花草,求

种植花草部分的面积. (1) 你是怎样列式表示种植花草部分的面积的?是否有不同的

表示方法?其中包含了什么运算?

方法一:可以先表示出种植花草部分的长与宽,由此得到种植花草部分面积为

方法二:可以用总面积减去两条小路的面积,得到种植花草部分面积为

由上面的探索,我们得到了

上面等式从左到右运用了乘法分配律,将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式

单项式与多项式相乘:就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加 例1 计算:

(1)(?12xy2?10x2y?21y3)(?6xy3) (2)(?2a2)?(ab?

b2)?5a(a2b?ab2)

第 - 13 - 页 共 36 页 教 学 反 思

练习:1.判断题:

(1) 3a3·5a3=15a3 ( )

(2)6ab?7ab?42ab ( )

(3)3a4?(2a2?2a3)?6a8?6a12 ( )

(4) -x2(2y2-xy)=-2xy2-x3y ( )

2.计算题:

(1) a(1a2?2a) (2) y2(1

6y?y2) (3) 2a(?2ab?1ab2

23)

(4) -3x(-y-xyz) (5) 3x2(-y-xy2+x2) (6) 2ab(a2b-1a4b2

3c)

(7) (x3)2―2x3[x3―x(2x2―1)] (8) xn(2xn+2-3xn-1+1)

拓展:

3.已知有理数a、b、c满足 |a―b―3|+(b+1)2+|c-1|=0,求(-3ab)·(a2c-6b2c)的值。

4.已知:2x·(xn+2)=2xn+1-4,求x的值。

5.若a3(3an-2am+4ak)=3a9-2a6+4a4,求-3k2(n3mk+2km2)的值。

回顾小结:单项式和多项式相乘,就是根据分配律用单项式去多乘多项式的每一项,再把所得的积相加。

第 - 14 - 页 共 36 页 教 学 反 思

1.4 整式的乘法(3)

一、学习目标

1.理解多项式乘法的法则,并会进行多项式乘法的运算

二、学习重点:多项式乘法的运算

三、学习难点:探索多项式乘法的法则,注意多项式乘法的运算中“漏项”、“符号”的问题

(一)预习准备

(1)预习书p18-19

(2)思考:如何避免“漏项”?

(3)预习作业:

(1)(?3xy)3?________ (2)(?3

2x3y)2?________

(3)(?2?107)4?________ (4)(?x)?(?x)2?_________

(5)?a2?(?a)6?_________ (6)?(x3)5?__________

(7)(?a2)3?a5?______ (8)(?2a2b)3?(?a5bc)2?___________

(9)?2x(2x2?3x?1) (10)(?1

2x?2

3y?5

12)(?6xy)

(二)学习过程:

如图,计算此长方形的面积有几种方法?如何计算?

方法1:S=

方法2:S=

方法3:S=

方法4:S=

由此得到: (m+b)(a+n) = = 运用乘法分配律进行解释,请将其中的一个多项式看作一个整体,再运用单项式与多项式相乘的方法进行计算 (把(a+n)看作一个整体)

多项式与多项式相乘:先用一个 乘以另一个多项式的 ,再把所得的积 例1 计算:(1)(1?x)(0.6?x)

(2)(2x?y)(x?y)

第 - 15 - 页 共 36 页 教 学 反 思

(3)(x?2y)2 (4)(?2x?5)2

注意:(1)用一个多项式的每一项依次去乘另一个多项式的每一项,不要漏乘,在没有合

并同类项之前,两个多项式相乘展开后的项数应是原来两个多项式项数之积。

(2)多项式里的每一项都包含前面的符号,两项相乘时先判断积的符号,再写成代数

和形式。

(3)展开后若有同类项必须合并,化成最简形式。

例2 计算:

(1)(x?2)(y?3)?(x?1)(y?2) (2)a2(a?1)2?2(a?1)(a?2)

练习:

(1)(x?2)(x?3) (2)(a?4)(a?1) (3)(y?1y?1

23

(4)(?2x?1)2 (5)(?3x?y)(?3x?y) (6)(x?2)(x2?2x)?(x?2)(x2?2x)

1.(x?5)(x?20)?x2?mx?n 则m=_____ , n=________

2.若(x?a)(x?b)?x2?kx?ab ,则k的值为( )

(A) a+b (B) -a-b (C)a-b (D)b-a

3.已知(2x?a)(5x?2)?10x2?6x?b 则a=______ b=______

拓展:

4.在x2?px?8与x2?3x?q的积中不含x3与x项,求P、q的值

回顾小结:多项式和多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。

第 - 16 - 页 共 36 页 教 学 反 思

1.5 平方差公式(1) 一、学习目标

会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的计算

二、学习重点:掌握平方差公式的特点,能熟练运用公式

三、学习难点:理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式

四、学习设计 (一)、预习准备

1、预习书p20-21 2、思考:能运用平方差公式的多项式相乘有什么特点?

3、预习作业:

(1)?x?2??x?2? (2)(m+3)(m-3) (3)(-x+y)(-x-y)

(4)?1?3a??1?3a? (5)?x?5y??x?5y? (6)(2x+1)(2x-1)

(二)、学习过程

以上习题都是求两数和与两数差的积,大家应该不难发现它们的规律.用公式可以表示为:

?a?b??a?b?? 我们称它为平方差公式

平方差公式的推导

(a+b)(a-b)= (多项式乘法法则)= (合并同类项)即:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差

平方差公式结构特征:

① 左边是两个二项式相乘,这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数; ② 右边是乘式中两项的平方差。即用相同项的平方减去相反项的平方

例1计算:

(1)(?2x?3)(3?2x) (2)(3b?2a)(2a?3b) (3)(?4a?1)(?4a?1)

变式训练:1、用平方差公式计算:

(1)(1x?1

23y)(1

2x?1

3y); (2)(?2m2?7)(7?2m2);

2.(2008·金华)如果x?y??4,x?y?8,那么代数式x2?y2的值为____________ 注意:(1)公式的字母a、b可以表示数,也可以表示单项式、多项式;

(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式

第 - 17 - 页 共 36 页 教 学 反 思

例2.下列各式都能用平方差公式吗?

(1)?a?b??a?c? (2)?x?y???y?x? (3)??m?n??m?n?

(4)(?a?3)(?a?3) (5)(a?3)(?a?3) (6)(?a?3)(a?3)

(7)(2a?3b)(2a?3b) (8)(?2a?3b)(2a?3b)

(9)(?2a?3b)(?2a?3b) (10)(?2a?3b)(2a?3b)

(11)?ab?3x???3x?ab?

能否用平方差公式,最好的判断方法是:两个多项式中:两项相等,两项互为相反数 在平方差这个结果中谁作被减数,谁作减数,你还有什么办法确定?

相等数的平方减去相反数的平方

变式训练:1、判断

(1)?2a?b??2b?a??4a2?b2 ( ) (2)??1

?2x?1???

??1

?2x?1??1

??2x2?1 ( )

(3)?3x?y???3x?y??9x2?y2 ( ) (4)??2x?y???2x?y??4x2?y2 ( )

(5)?a?2??a?3??a2?6 ( ) (6)?x?3??y?3??xy?9 ( )

2、填空:

(1)?2x?3y??2x?3y?? (2)?4a?1????16a2?1

(3)????1ab?3???1a2b2

?7?49?9 (4)??2x???3y??4x2?9y2

拓展:

1、计算:(1)(a?b?c)2?(a?b?c)2 (2)x4??2x2?1??2x2?1???x?2??x?2??x2?4?

2.先化简再求值?x?y??x?y??x2?y2?的值,其中x?5,y?2

3.(1)若x2?y2?12,x?y?6,则x?y(2)已知(2a?2b?1)(2a?2b?1)?63,则a?b?____________

回顾小结:熟记平方差公式,会用平方差公式进行运算。

第 - 18 - 页 共 36 页 教 学 反 思

1.5 平方差公式(2)

一、学习目标

1.进一步使学生掌握平方差公式,让学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异

二、学习重点:公式的应用及推广

三、学习难点:公式的应用及推广

四、学习设计

(一)预习准备

(二)预习书p21-22

(三)思考:如何确定平方差公式中哪个是多项式中的和哪个是多项式的差?

(四)预习作业:

你能用简便方法计算下列各题吗?

(1)103?97 (2)998?1002 (3)59.8?60.2

(4)(x?3)(x?3)(x2?9) (5)??x?1??21??1?

?2????x?4????x?2??

学习设计:

1、做一做:如图,边长为a的大正方形中有一个边长为bb(1)请表示图中阴影部分的面积:S? (2多少?

你能表示出它的面积吗? 长= 宽= S? (3)比较1,2的结果,你能验证平方差公式吗?

∴ =

进一步利用几何图形的面积相等验证了平方差公式 平方差公式中的a、b式加括号;学会灵活运用平方差公式。有些式子表面上不能应用公式,但通过适当变形实质上能应用公式.?如:(x?y?z)(x?y?z)中相等的项有 和 ;相反的项有 ,因此(x?y?z)(x?y?z)?[()?y][()?y]?()2?()2 形如这类的多项式相乘仍然能用平方差公式

例1.计算

(1)(x?y?z)(x?y?z) (2)(a?b?c)(a?b?c)

第 - 19 - 页 共 36 页 教 学 反 思

(1)题中可利用整体思想,把x?y看作一个整体,则此题中相同项是(x?y),相反项是?z和z;

(2)题中的每个因式都可利用加法结合律改变形式,则a是相同项,相反项是?b?c和b?c 变式训练:计算:

(1)[2a2?(a?b)(a?b)][(c?a)(c?a)?(b?c)(c?b)];(2)(a?b?c)2?(a?b?c)2

方法小结 我们在做恒等变形时,一定要仔细观察:一是观察式子的结构特征,二是观察数量特征,看是否符合公式或是满足某种规律,同时逆用公式可使运算简便。

2、知识回顾:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;?如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号

例2 1.在等号右边的括号内填上适当的项:

(1)a?b?c?a?( ) (2)a?b?c?a?( )

(3)a?b?c?a?( ) (4)a?b?c?a?( )

2.下列哪些多项式相乘可以用平方差公式?若可以,请用平方差公式解出

(1)(a?b?c)(a?b?c) (2)(a?b?c)(a?b?c)

(3)?a?b?c??a?b?c? (4)(a?2b?2c)(a?2b?2c)

变式训练:

1、(2?1)(22?1)(24?1)(28?1)?1 2、(22?42???1002)?(12?32???992)

3、观察下列各式:

(x?1)(x?1)?x2?1

(x?1)(x2?x?1)?x3?1

(x?1)(x3?x2?x?1)?x4?1

根据前面的规律可得:

(x?1)(xn?xn?1???x?1)?________________

回顾小结:1.什么是平方差公式?一般两个二项式相乘的积应是几项式?

2.平方差公式中字母a、b可以是那些形式?

3.怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式?

第 20 页 共 36 页 教 学 反 思

1.6 完全平方公式(1)

一、学习目标

1.会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的计算

2.了解完全平方公式的几何背景

二、学习重点:会用完全平方公式进行运算

三、学习难点:理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算

四、学习设计

(一)预习准备

(1)预习书p23-26

(2)思考:和的平方等于平方的和吗?

(3)预习作业: (1)(3a?2b)(3a?2b)? (2)(3a?2b)(3a?2b)?=

(3)(p?1)2?(p?1)(p?1)?4)(m?2)2?(5)(p?1)2?(p?1)(p?1)? (6)(m?2)2?

28)(a?b)2?

观察预习作业中(3)(4)题,结果中都有两个数的平方和,而2p?2?p?1,4m?2?m?2, 恰好是两个数乘积的二倍.(3)、(4)与(5)、(6)比较只有一次项有符号之差,(7)、(8)更具有一般性,我认为它可以做公式用.

因此我们得到完全平方公式: 两数和(或差)的平方,等于它们的 ,加(或减)它们的积的 倍. 公式表示为:(a?b)2? (a?b)2?

口诀:首平方,尾平方,两倍乘积放中央(加减看前方,同号加异号减)

例1.应用完全平方公式计算:

(1)(4m?n)2 (2)(y?1)2 (3)(?a?b)2 (4)(?2x?y)2

2

变式训练:

1.纠错练习.指出下列各式中的错误,并加以改正:

(1)(2a?1)2?2a2?2a?1 (2)(2a?1)2?4a2?1 (3)(?a?1)2??a2?2a?1

2.下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算

(1)?x?y???y?x? (2)?a?b??b?a?

(3)?ab?3x???3x?ab? (4)??m?n??m?n?

分析:完全平方公式和平方差公式不同:

形式不同:(a?b)2?a2?2ab?b2 (a?b)(a?b)?a2?b2

结果不同:完全平方公式的结果是三项,平方差公式的结果是两项

第 21 页 共 36 页 教 学 反 思

3.计算:

(1)(?1?2x)2 (2)(?2x?1)2

(3)??2m?n??2m?n? (4)??1a?1

2b???

??1

?3a?1

?32b???

例2.计算:

(1)(x?2y)(x?2y)(x2?4y2); (2)(1a?3b)2(1

22a?3b)2;

(3)(2x?3y?4)(2x?3y?4).

方法小结 (1)当两个因式相同时写成完全平方的形式;(2)先逆用积的乘方法则,再用乘法公式进行计算;(3)把相同的结合在一起,互为相反数的结合在一起,可构成平方差公式。

变式议练2.计算:

(1)(4x2?y2)[(2x?y)2?(2x?y)2]; (2)(x?y)2(x?y)2(x2?y2)2

(3)(x?y?z)(x?y?z)。

拓展:1.已知x?1

x?3,则x2?1

x2?________________

2.(2008·成都)已知y?1

3x?1,那么122

3x?2xy?3y?2的值是________________

3、已知x2?2(m?1)xy?16y2是完全平方公式,则m

4、若(x?y)2?12,(x?y)2?16,则xy

回顾小结:

1.完全平方公式和平方差公式不同:

形式不同.

结果不同:完全平方公式的结果是三项,即 (a ?b)2=a2 ?2ab+b2;

平方差公式的结果是两项, 即(a+b)(a?b)=a2?b2.

2. 解题过程中要准确确定a和b,对照公式原形的两边, 做到不丢项、

不弄错符号、2ab时不少乘2。

3. 口诀:首平方,尾平方,两倍乘积放中央,加减看前方,同加异减。

第 22 页 共 36 页 教 学 反 思

1.6完全平方公式(2)

一、学习目标

1.会运用完全平方公式进行一些数的简便运算

二、学习重点:运用完全平方公式进行一些数的简便运算

三、学习难点:灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算

四、学习设计

(一)预习准备

(1)预习书p26-27

(2)思考:如何更简单迅捷地进行各种乘法公式的运算?

(3)预习作业: 1.利用完全平方公式计算

(1)982 (2)2032 (3)1022 (4)1972

2.计算:

(1)(x?3)2?x2 (2)(ab?1)2?(ab?1)2

(二)学习过程

平方差公式和完全平方公式的逆运用

由?a?b??a?b??a2?b2 反之 a2?b2??a?b??a?b?

?a?b?2?a2?2ab?b2 反之 a2?2ab?b2??a?b?2

1、填空:

(1)a2?4?(a?2)()(2)25?x2?(5?x)()(3)m2?n2?()()

(4)x2?64?()()(5)4m2?49?(2m?7)()

(6)a4?m4?(a2?m2)()?(a2?m2)()()

(7)若x2?4x?k?(x?2)2 ,则

(8)若x2?kx?9是完全平方式,则

例1 计算:1.?a?1?2??a2?2a?4? 2.?2xy?1?2??2xy?1?2

现在我们从几何角度去解释完全平方公式:

从图(1)中可以看出大正方形的边长是a+b,

它是由两个小正方形和两个矩形组成,?所

大正方形的面积等于这四个图形的面积之和.

则S= =

即:

如图(2)中,大正方形的边长是a,它的面积是

;矩形

DCGE与矩形BCHF是全等图形,长都是 ,宽都是 ,所以它们的面积都是 ;正方形HCGM的边长是b,

第 23 页 共 36 页 教 学 反 思

其面积就是 ;正方形AFME的边长是 ,所以它的面积是 .从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积.?也就是:(a-b)2=公式.

例2.计算:

(1)(x?y?3)2 (2)(a?b?c)2

变式训练:

(1)(a?b?3)2 (2)(x?y?2)(x?y?2)

(3)(a?b?3)(a?b?3) (4)(x+5)2–(x-2)(x-3)

(5)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (6)(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)

拓展:1、(1)已知x?y?4,xy?2,则(x?y)2

(2)已知(a?b)2?7,(a?b)2?3,求a2?b2?________,ab?________

(3)不论a、b为任意有理数,a2?b2?4a?2b?7的值总是( )

A.负数 B.零 C.正数 D.不小于2 2、(1)已知x2?3x?1?0,求x2?1

x2和x4?1

x4的值。

(2)已知a?b?3,b?c??1,求a2?b2?c2?ab?bc?ca的值。

(3).已知x2?y2?2xy?6x?6y?9?0,求x?y的值

回顾小结

1. 完全平方公式的使用:在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a、b表示的意义,它们可以是数、也可以是单项式,还可以是多项式,所以要记得添括号。

2.解题技巧:在解题之前应注意观察思考,选择不同的方法会有不同的效果,要学会优化选择。

第 24 页 共 36 页 教 学 反 思

1.7 整式的除法(1)

一、学习目标:1.经历探索整式除法法则的过程,会进行简单的整式除法运算(只要求单项

式除以单项式,多项式除以单项式,并且结果都是整式).

2.理解整式除法运算的算理,发展有条理的思考及表达能力.

二、学习重点:可以通过单项式与单项式的乘法来理解单项式的除法,要确实弄清单项式除

法的含义,会进行单项式除法运算。三、学习难点:确实弄清单项式除法的含义,会进行单项式除法运算。

四、学习设计:

(一)预习准备

(1)预习书28~29页

n?1

(2)回顾: 1、x4?x? 2、an?a? 3、x6??x3

2、(1)a7?a4 (2)?x5???x?2 (3) a4m?2?am?1 (4)?a?1?3??a?1?2

3、(1)?ab?4?(ab) (2)?y3m?3?yn?1 (3)?x?y?5?(y?x)3??x?y?2

(二)学习过程:

1、探索练习,计算下列各题,并说明你的理由。

(1)?x5y??x2 (2)?8m2n2???2m2n? (3)?a4b2c???3a2b?

2、例题精讲

类型一 单项式除以单项式的计算

例1 计算:

(1)(-x2y3)÷(3x2y); (2)(10a4b3c2)÷(5a3bc).

第 25 页 共 36 页 教 学 反 思

变式练习:

(1)(2a6b3)÷(a3b2); (2)(x3y2)÷(x2y).

类型二 单项式除以单项式的综合应用

例2 计算:

(1)(2x2y)3·(-7xy2)÷(14x4y3); (2)(2a+b)4÷(2a+b)2.

变式练习:

(1)(x2y2n)÷(x2)·x3; (2)3a(a+5)4÷〔a(a+5)3〕·(a+5)-1

类型三 单项式除以单项式在实际生活中的应用

例3 月球距离地球大约3.84×105千米,一架飞机的速度约为8×102千米/时如果乘坐此飞机飞行这么远的距离,大约需要多少时间?

3、当堂测评

填空:(1)6xy÷(-12x)= .

(2)-12x6y5÷ =4x3y2.

(3)12(m-n)5÷4(n-m)3

2

(4)已知(-3x4y3)3÷(-3xny2)=-mx8y7,则.

第 26 页 共 36 页 教 学 反 思

计算:

(1) (x2y)(3x3y4)÷(9x4y5). (2)(3xn)3÷(2xn)2(4x2)2.

4、拓展:

(1)已知实数a,b,c满足|a-1|+|b+3|+|3c-1|=0,求(abc)125÷(a9b3c2)的值。

(2)若ax3my12÷(3x3y2n)=4x6y8,求(2m+n-a)-n的值。

回顾小结:单项式相除,其实质就是系数相除,除式和被除式都含有的字母的幂按同底数 幂的除法去做,只在被除式中含有的字母及其指数作为单独因式直接写在商中,不要漏掉.

第 27 页 共 36 页 教 学 反 思

1.7 整式的除法(2)

一、学习目标:1、熟练地掌握多项式除以单项式的法则,并能准确地进行运算.

2、理解整式除法运算的算理,发展有条理的思考及表达能力.

二、学习重点:多项式除以单项式的法则是本节的重点.

三、学习难点:整式除法运算的算理及综合运用。

四、学习设计:

(一)预习准备

预习书30--31页

(二)学习过程:

1、探索:对照整式乘法的学习顺序,下面我们应该研究整式除法的什么内容?

引例:(8x3-12x2+4x)÷4x=

法则:

2、例题精讲

类型一 多项式除以单项式的计算

例1 计算:

(1)(6ab+8b)÷2b; (2)(27a3-15a2+6a)÷3a;

练习:

计算:(1)(6a3+5a2)÷(-a2); (2)(9x2y-6xy2-3xy)÷(-3xy);

(3)(8a2b2-5a2b+4ab)÷4ab.

第 28 页 共 36 页 教 学 反 思

类型二 多项式除以单项式的综合应用

例2 (1)计算:〔(2x+y)2-y(y+4x)-8x〕÷(2x)

(2)化简求值:〔(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)〕÷(4x) 其中x=2,y=1

练习:(1)计算:〔(-2a2b)2(3b3)-2a2(3ab2)3〕÷(6a4b5).

(2)如果2x-y=10,求〔(x2+y2)-(x-y)2+2y(x-y)〕÷(4y)的值

3、当堂测评

填空:(1)(a2-a)÷a=

(2)(35a3+28a2+7a)÷

(3)( —3x6y3—6x3y5—27x2y4)÷(3

5xy3.

选择:〔(a2)4+a3a-(ab)2〕÷a = ( )

A.a9+a5-a3b2 B.a7+a3-ab2

C.a9+a4-a2b2 D.a9+a2-a2b2

第 29 页 共 36 页 教 学 反 思

计算:

(1)(3x3y-18x2y2+x2y)÷(-6x2y); (2)〔(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4〕÷(xy).

4、拓展:

(1)化简 2n?4?2?2n2?2n?3; (2)若m2-n2=mn,求m2n2n2?m2的值.

回顾小结:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。

第一章《整式的运算》复习教案(1)

复习目标:

掌握整式的加减、乘除,幂的运算;并能运用乘法公式进行运算。

一、知识梳理:

1、幂的运算性质:

第 30 页 共 36 页 教 学 反 思

(1)同底数幂的乘法:am﹒an=am+n(同底,幂乘,指加)

逆用: am+n =am﹒an(指加,幂乘,同底)

(2)同底数幂的除法:am÷an=am-n(a≠0)。(同底,幂除,指减)

逆用:am-n = am÷an(a≠0)(指减,幂除,同底)

(3)幂的乘方:(am)n =amn(底数不变,指数相乘)

逆用:amn =(am)n

(4)积的乘方:(ab)n=anbn 推广:

逆用, anbn =(ab)n(当ab=1或-1时常逆用)

(5)零指数幂:a0=1(注意考底数范围a≠0)。

(6)负指数幂:(底倒,指反)

2、整式的乘除法:

(1)、单项式乘以单项式:

法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余的字母连同它的指数不变,作为积的因式。

(2)、单项式乘以多项式:m(a+b+c)=ma+mb+mc。

法则:单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。

(3)、多项式乘以多项式:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。

(4)、单项式除以单项式:

单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。

(5)、多项式除以单项式:(a?b?c)?m?a?m?b?m?c?m.

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。

3、整式乘法公式:

(1)、平方差公式: (a?b)(a?b)?a2?b2 平方差,平方差,两数和,乘,两数差。

公式特点:(有一项完全相同,另一项只有符号不同,结果=(相同)2?(不同)2

(2)、完全平方公式: (a?b)2?a2?2ab?b2 首平方,尾平方,2倍首尾放中央。 (a?b)2?a2?2ab?b2

逆用:a2?2ab?b2?(a?b)2,a2?2ab?b2?(a?b)2.

完全平方公式变形(知二求一):

第 31 页 共 36 页 教 学 反 思

a2?b2?(a?b)2?2aba2?b2?(a?b)2?2ab a2?b2?1

[(a?b)2?(a?b)2]

a2?b2?(a?b)2?2ab?(a?b)2?2ab?22

2[(a?b)?(a?b)]

(a?b)2?(a?b)2?4ab ab?4[(a?b)2?(a?b)2]

4.常用变形:(x?y)2n=(y-x)2n, (x?y)2n?1=-(y-x)2n+1

二、根据知识结构框架图,复习相应概念法则:

1、幂的运算法则: ①am?an? (m、n都是正整数)

②(am)n? (m、n都是正整数)

③(ab)n? (n是正整数)

④am?an?(a≠0,m、n都是正整数,且m>n) ⑤a0?(a≠0)

⑥a?p?a≠0,p是正整数)

练习1、计算,并指出运用什么运算法则

①x5?x4?x3 ②(1)m?(0.5)n ③(?2a2b3c)2

2

④(?9)3?(1)3?(?2)3 ⑤bn?5

33?bn?2?(?b)?2

2、整式的乘法:

单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式 平方差公式:?a?b??a?b??

完全平方公式:?a?b?2? ,?a?b?2?

练习2:计算

①(1a2b3)?(?15a2b2) ②(1x2y?2xy?y2

32)?3xy

第 32 页 共 36 页 教 学 反 思

③(3x?9)(6x?8) ④(3x?7y)(2x?7y) ⑤(x?3y)2

3、整式的除法

单项式除以单项式,多项式除以单项式

练习3:①(a2bc)2?(ab2c) ②(4a3b?6a2b2?12ab2)?(2ab)

第一章《整式的运算》复习教案(2)

复习目标:

1、掌握幂的运算法则,并会逆向运用;熟练运用乘法公式。

2、掌握整式的运算在实际问题中的应用。

一、知识应用练习

第 33 页 共 36 页 教 学 反 思

1、计算

①(??3)0 ②(1)?2 ③(?2a)a?(?2a)2

2

④?(3x?2y)(3x?2y)?(x?2y)(5x?2y)??(4x)

二、例题选讲:

例1、已知xa?4,xb?9,求xa?2b的值。

例2、已知a?b?10,ab?24,求(1)(a?b)2;(2)a2?b2.

三、巩固练习:

1.已知xa?4,xb?9,求xa?b的值。

2.已知am?5,a2n?7,求a3m?4n的值。

3.已知(x?y)2?16,(x?y)2?4,求xy的值。

四、课堂练习:

1、计算:

(1)a3?a3???2a3?2???a2?3 (2)?x?2?2??x?1??x?1?

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(3)??x2?3?3x2?x4?2x?2? (4)?2a?b?2???2a?b?2

(5)?(xy?2)(xy?2)?2x2y2?4??(xy)

2、A与4x2?2x?1的差为4x2?1,求A.

3、若2x?y?3,求4x?2y的值。

4.常用变形:(x?y)2n=(y-x)2n, (x?y)2n?1=-(y-x)2n+1

二、根据知识结构框架图,复习相应概念法则:

1、幂的运算法则: ①am?an?(m、n都是正整数)

②(am)n?(m、n都是正整数)

③(ab)n?(n是正整数)

④am?an? (a≠0,m、n都是正整数,且m>n)

⑤a0?(a≠0)

⑥a?p?a≠0,p是正整数)

练习3、计算,并指出运用什么运算法则

第 35 页 共 36 页 教 学 反 思

①x5?x4?x3 ②(1

2)m?(0.5)n ③(?2a2b3c)2

④(?9)3?(1)3?(?2)3 ⑤bn?5

33?bn?2?(?b)?2

2、整式的乘法:

单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式 平方差公式:?a?b??a?b??

完全平方公式:?a?b?2? , ?a?b?2? 练习4:计算

①(1a2b3)?(?15a2b2) ②(1x2y?2xy?y2

32)?3xy

③(3x?9)(6x?8) ④(3x?7y)(2x?7y) ⑤(x?3y)2

3、整式的除法

单项式除以单项式,多项式除以单项式

练习5:①(a2bc)2?(ab2c) ②(4a3b?6a2b2?12ab2)?(2ab)

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