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华师版九年级数学下册圆之圆周角课件

发布时间:2014-01-16 09:47:44  

28.1圆的认识

一、回顾
如下图,同学们能找到圆心角吗?它 具有什么样的特征?

顶点在圆心,两 边与圆相交的角叫做 圆心角。

二、认识圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢?

像图(3)中的角就是圆周角,而图 (1)、(2)、(4)、(5)中的角都不 是圆周角。

思考: 如何判断一个角是不是圆周角 ?
顶点在圆上,两边与圆相交的角叫做 圆周角 。 练习:指出下图中的圆周角。
A

C

O D

E

×
(1)

O

O



×
(3)
O

×

O

(2)

(4)

O

×

B



(5)

F (6)

三、探索半圆或直径所对的圆周角 的度数
如图,线段AB 是⊙O的直径,点C 是⊙O上任意一点 (除点A、B), 那 么,∠ACB就是直径 AB所对的圆周角. 想想看,∠ACB会是 怎么样的角?为什 么呢?

演示 图 23.1.9

证明:因为OA=OB=OC, ∴ △AOC、△BOC 都是等腰三角形 ∠OAC=∠OCA, ∠OBC=∠OCB 又 ∠OAC+∠OBC+∠ACB= 180 ° 图 23.1.9
180? ∠ACB=∠OCA+∠OCB= 2 =90°

因此,不管点C在⊙O上何处(除点A、B), ∠ACB总等于90°

结论
半圆或直径所对的圆周角都相等, 都等于90°(直角)。 反过来也是成立的,即 90°的圆周角所对的弦是圆的直径。

四、探究同一条弧所对的圆周 角和圆心角的关系
1、分别量一量图23.1.10中弧AB所对的两 个圆周角的度数比较一下 . 再变动点 C 在 圆周上的位置,看看圆周角的 度数有没有变化. 你发 现其中有什么规律吗?

2、分别量出图23.1.10中弧AB 所对的圆周角和圆心角的度数, 比较一下,你发现什么?
演示

图 23.1.10

? 我们可以发现,圆周角的度数没有变化,并 且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的 度数的一半 ? 我们可以猜想: ? 在一个圆中,一条弧所对的任意一个圆周角 的大小都等于该弧所对的圆心角的一半

为了验证这个猜想,如图所示,可将圆对 折,使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C, 这时可能出现三种情况: (1) 折痕是圆周角的一条边, (2) 折痕在圆周角的内部, (3) 折痕在圆周角的外部。

(1)圆心在∠BAC的一边上.(已知BC所对 的圆心角是∠BOC,圆周角是 ∠BAC )

定理的证明
A

由于OA=OC 因此∠C=∠BAC 而∠BOC=∠BAC+∠C 1 所以∠BAC= 2 ∠BOC

O B
C

(2)圆心在∠BAC的内部. (已知BC所对的圆 心角是∠BOC,圆周角是 ∠BAC )

作直径AD.

B

1 由于∠BAD= 2∠BOD A 1 ∠DAC= 2∠DOC, 所以∠BAD+∠DAC= O 1 (∠BOD+∠DOC) C 2 1 D 即∠BAC= 2 ∠BOC

(3)圆心在∠BAC的外部. (已知BC所对 的圆心角是∠BOC,圆周角是 ∠BAC )

作直径AD. 1 由于∠DAB= 2 ∠DOB

1 ∠DAC= 2∠DOC, 所以∠DAC-∠DAB= 1(∠DOC-∠DOB) 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2

A O D B C

结论:
在同一个圆或等圆中

,同弧或等弧 所对的圆周角相等, 都等于该弧或等 弧所对的 圆心角的一半; 相等的圆周角所对的弧也相等。 如图:则有 1

∠ACB= 2 ; 1 ∠ADB= ?AOB ; 2 ∠ ACB =∠ADB .

?AOB

内容小结:
(1)一个概念(圆周角)顶点在圆上,角的两边与
圆相交的角。

(2)一个定理:一条弧所对的圆周角等于

该弧所对的圆心角的一半;
(3)二个推论: 同圆内,同弧或等弧所对的圆周角 相等;相等的圆周角所对的弧相等。 半圆或直径所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径。

例1

如图,AB为⊙O的直径, ∠A=80°,求∠ABC的度数。 解:∵AB为⊙O的直径
A

∴∠C=90°,
又∠A=80° ∴ ∠B=10 °
B

O

图 23.1.12

练习一: 1.求圆中角X的度数。
35°
O
A
70° x

120°

120°

.

O X
A

.

B

2、 如图,在直径为AB的半 圆中,O为圆心,C、D为半 圆上的两点,∠COD=500, 则∠CAD=_________ 25°

例2.如图:OA、OB、OC都是⊙O的 半径,∠AOB=2∠BOC. 求证:∠ACB=2∠BAC. 分析: O 证明: ∠ACB= 1 ∠AOB 2 ∠BAC= 1 ∠BOC A C 2 B ∠AOB=2∠BOC ∠ACB=2∠BAC

练习:
1.如图,已知圆心角∠AOB的度 数为100°,求圆周角∠ACB的度 数。 答案:130° A O B

C

练习二: 如图,P是△ABC的外接圆上的一点 ∠APC=∠CPB=60°。求证:△ABC是等 边三角形。 A 证明:∵∠ABC和∠APC · 都是 ⌒ 所对的圆周角。 O AC C ∴∠ABC=∠APC=60° B (同弧所对的圆周角相等) 同理,∵∠BAC和∠CPB都是 ⌒ 所对 BC 的圆周角,∴∠BAC=∠CPB=60°。 ∴△ABC等边三角形。
P


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