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结识抛物线(用)

发布时间:2014-01-16 09:47:54  

在下列函数中①y=2x ②y=-3x-2 2 ③ y? x 1、它们的图像分别是什么样子?请画 出草图(即大致图像)。 2、说说你画图的依据。

y
0

y=2x

y=-3x-2

y
0

x
正比例函数
2 y? x

x
一次函数

y
0

x
反比例函数

猜一猜

二次函数y= 3x ? 2 x ? 5
2

y?x

2

的图像是什么样子呢? 你知道吗?
我想知道二次函 数的图像是否也 为直线或双曲线 ,我该怎么解决 这一问题呢?

y ? ?x

2

1、画函数图像 2、如何画函数图 像 呢?

画函数图像的一般步骤是: 列表、描点、连线 。

学 习 目 标 一

驶向胜利的彼岸

探索二次函数 y

的图像与性质。

?x

2

y ,

? ?x

2

做一做:二次函数 y ? x

2

的图像

驶向胜利的彼岸

X的值可以取 哪些呢?

1列表:观察y=x 的表达式,选择值,并计 算相应的y值,完成下表:
x y=x2 … … -3 9 -2 4 -1 2 y 0 0 10 8 1 2 2 4 3 9 … …

2

2、描点 3、连线

y = x2

6 4 2 1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

抛物线y=x2在x轴的 二次函数y=x2的 上方(除顶点外),顶点 图象形如物体抛射 是它的最低点 ,开口 时所经过的路线,我 y 2 向上,并且向上无限 们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 伸展;当10 x=0时,函数y y轴对称,y轴就 对称轴与抛物 的值最小,最小值是 0. ?(1)你能描述图象的形状吗 ?与同伴进行交流 . 是它的对称轴 . 线的交点叫做 8

观察图象,回答问题串

y= x

?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什 6 么?图像与对称轴有交点吗?请你找出几对对称点 , 并与同伴交流. 4 ?(3)图象 与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么?

抛物线的顶点.

当x<0 (在对称轴的 2 ?(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化?当x>0呢? 左侧)时,y随着x的增大而 1 减小. -4 -3 -2 -1 0 1 2 当x>0 3 当 4 时, x y=4 x=2 (在对称轴的 当x=-2时,y=4 -2 x=1x 时, y=1 右侧)时, 当 y随着 的增大而 ?(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何 当x=-1时,y=1 增大.

知道的?

做一做P40 4

在学中做—在做中学
?猜一猜(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状?
?(2)先想一想,然后作出它的图象. ?(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系?
x
y=-x2




-3
-9

-2
-4

-1
-1

0
0

1
-1

2
-4

3
-9




你能根据表格中的 数据作出猜想吗?

1.列表: 2.描点:
-4

x y=-x2

… …

-3 -2 -1
-9 -4

0
0

1
1

2
4

3
9

… …

y

-1

2 -2 -1

-3

3.连线:

-1 -2
-4 -6 -8 -10

0 1 2 3 4 x

y=-x2

(1)从上面二次函数 2 y ? x 的图像中我们 获得了一些信息, 类似地、从 2 y ? ? x 图像中你又能获得 哪些信息?

做一做P40 8

y

y= x2

看图说话
它们的图像关 于x轴对称。 x 关于原点成 中心对称图 形

0

在同一坐标 中函数y=x2 和y=-x2的图 象有何区别

与联系?

y=-x2

y ? x2

观察右图,
完成填空。
0

y ? ?x2

抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 极值

y=x2
(0,0)

y=-x2
(0,0) y轴

y轴

在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方(除顶点外)
向上 向下

动画演示

y?x

2

二次函数y=x2,当x<0时 (在对 称轴的左侧),y随 着x的增大而减小。

当x=-2时,y=-4 当 时, y=-1 当x=1 x=-1 时, y=-1 当x=2时,y=-4
0

二次函数y=x2,当x>0时 (在对称轴的右侧),y随 着x的增大而增大。
二次函数y=-x2,当x<0时 (在对称轴的左侧),y随 着x的增大而增大。

y ? ?x
返回

二次函数y=-x2,当x>0时 (在对称轴的右侧),y随 着x的增大而减小。

2

课 堂

y ? x2
二次函数y=±x2的性质 1、顶点坐标与对称轴

2、位置与开口方向
3、增减性与极值

y ? ?x2

抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 极值

y=x2
(0,0)

y=-x2
(0,0) y轴

y轴

在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方(除顶点外)
向上 向下

动画演示 当x=0时,最小值为0。 当x=0时,最大值为0。

y?x

2
E

A

F

抛物线 C y=x2与 y=-x2关 于x轴 4 对称

1

在同一坐标系 内,抛物线y=x2与 抛物线y= -x2的位 置有什么关系?

1
B

0

抛物线 4 y=x2与 2关 2 y=-x y ? ?x D 于原点 轴对称

1.二次函数y=x2的图象是一条 抛物线 ,开 口 向上 ,对称轴为 Y轴 . 对称轴的左侧(x<0),y随x的增大而 减小 ; 对称轴的右侧,y随x的增大而 增大 . 抛物线与x轴的交点是(0,0) ,与y轴也交于此 低 点,是图象的最_________ 点,也叫做顶点.

2.二次函数y=-x2图象是一条 抛物线 ,开 口向下 ,对称轴为 Y轴. 对称轴的左侧(x<0),y随x的增大而 增大 ; 减小 对称轴的右侧,y随x的增大而________ . (0,0) 抛物线与x轴的交点是 ,与y轴也交于此 高 点,是图象的最________ 点,也叫做顶点.

3.观察二次函数y=x2的图象,可以知道当x <0时,随着x的增大,y值 减小 ;当x>0时, 随着x的增大,y值 增大 . 4.观察二次函数y=-x2的图象,可以知道当 x<0时,随着x的增大,y值 增大 ;当x>0时, 随着x的增大,y值 减小 .

5.观察y=x2图象可知,无论x取何值,y ﹥ 2 0.观察y=-x 图象可知,无论x取何值,y ﹤ 0.
6.抛物线y=-x2上有一点A(2,__ ), 点A关 -4 于y轴的对称点A’坐标为(__ , __),这个点 -2 -4 ____( 填“在”或“不在” )y= - x2 的图象 在 上.

(0,0) 7.抛物线y=x2的顶点坐标为 .若点A (a,4)在其图象上,则a的值是 ±2 .若 点B(3,b)在其图象上,则b= 9 .

8.抛物线y=-x2的顶点坐标为(0,0) .若点 A(3,m)在其图象上,则m= .若点 B(n,-4)在其图象上,则n的值是 .

9.如图

,A、B分别为y=x2上两点,且线段 AB⊥y轴,若AB=6,则 A点坐标为___________, B点坐标为___________. 10.点A、B分别为y=-x2上两点,且线段 AB⊥y轴,若AB=5,则 A点坐标为___________, B点坐标为___________.

4 9 11.二次函数y=x2,若2≤x≤3,则___≤y≤___; 若 9 16 -4≤x≤-3,则___≤y≤___; 若- 1≤x≤3,则 1 9 ___≤y≤___; 12.已知a>0,点(a,y1)、(a+1,y2)都 ﹤ 在函数y=x2的图象上,则y1______y2. (填 “<”或“>” )

? 13.求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐 标.

? 求出函数y=x+2与函数y=x2的图象的交 点坐标.

14.已知点A(1,a)在抛物 线y=x2上. (1)求A点的坐标. (2)在x轴上是否存在点P, 使得△OAP是等腰三角形? 若存在,求出点P的坐标; 若不存在,说明理由.

谈谈你在 本章学习 中的收获 和感想

一、内容上:二次函数 2 y=ax (a≠0)的性质 1图象的形状 5对称轴 2位置 6增减性 3开口方向 7最值 4顶点坐标 二、学法上:类似于一次 函数、反比 例函数的学习, 注重数与形的结合 。

下课了!

结束寄语

?只有不断的思考,才会 有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.

小结

拓展

回味无穷
驶向胜利 的彼岸

由二次函数y=x2和y=-x2可知:
? 1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.

? 2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口 向上,并且向上无限伸展; 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向 下,并且向下无限伸展.
? 3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增 大而减小; 在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0 时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而 增大; 在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0
y ? x2

y ? ?x2


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